王啟光 封國(guó)林 鄭志海 支蓉 丑紀(jì)范

1 蘭州大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院，蘭州 730000

2 國(guó)家氣候中心氣候研究開放實(shí)驗(yàn)室，北京 100081

基于Lorenz系統(tǒng)提取數(shù)值模式可預(yù)報(bào)分量的初步試驗(yàn)

王啟光1封國(guó)林2鄭志海2支蓉2丑紀(jì)范1

1 蘭州大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院，蘭州 730000

2 國(guó)家氣候中心氣候研究開放實(shí)驗(yàn)室，北京 100081

針對(duì)數(shù)值預(yù)報(bào)模式中存在的非線性混沌特性，從提取可預(yù)報(bào)分量的思路出發(fā)，闡述了在數(shù)值模式中提取可預(yù)報(bào)分量的方法，并利用Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行了相關(guān)數(shù)值試驗(yàn)。研究發(fā)現(xiàn)，Lorenz系統(tǒng)初始誤差在相空間中的增長(zhǎng)速度是不同的，某些方向的誤差增長(zhǎng)速度較慢，即存在對(duì)初值擾動(dòng)不敏感、相對(duì)穩(wěn)定的可預(yù)報(bào)分量。根據(jù)數(shù)值模式切線性誤差算子的特征值演化規(guī)律，提取出數(shù)值模式的可預(yù)報(bào)分量，并將模式變量在其基底上進(jìn)行投影變換，建立了可預(yù)報(bào)分量數(shù)值模式。在此基礎(chǔ)上，研究了Lorenz系統(tǒng)的混沌狀態(tài)、模式參數(shù)誤差及外部隨機(jī)噪聲對(duì)提取可預(yù)報(bào)分量的影響，發(fā)現(xiàn)基于可預(yù)報(bào)分量的數(shù)值模式，具有更好的預(yù)報(bào)技巧。

數(shù)值預(yù)報(bào) 可預(yù)報(bào)分量 奇異值分解 Lorenz系統(tǒng)

1 引言

大氣是一個(gè)復(fù)雜的外有強(qiáng)迫、內(nèi)有耗散的非線性巨系統(tǒng)，在太陽、海洋、陸地等外強(qiáng)迫因素的作用下，其內(nèi)部發(fā)生一系列物理化學(xué)變化及相互作用，這為天氣氣候預(yù)測(cè)帶來很大困難。早在1963年，Lorenz（1963）發(fā)現(xiàn)大氣和其他不穩(wěn)定動(dòng)力系統(tǒng)類似，其可預(yù)報(bào)時(shí)效是有限的，他從流體的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，通過簡(jiǎn)化方程獲得了具有三個(gè)自由度的系統(tǒng)，并在計(jì)算機(jī)上用他所建立的微分方程模擬氣候變化，意外地發(fā)現(xiàn)初始條件的極微小差別卻可以引起模擬結(jié)果的巨大變化，這說明天氣過程以及描述它們的非線性方程是如此的不穩(wěn)定。基于此的研究工作 （Lorenz，1969，1982；Chou，1989；Ding and Li，2007；李建平和丁瑞強(qiáng)，2008；丁瑞強(qiáng)和李建平，2009）表明，逐日天氣可預(yù)報(bào)時(shí)效的理論上限一般為2周，超過這個(gè)理論上限的天氣預(yù)報(bào)被認(rèn)為毫無準(zhǔn)確率可言。然而，觀測(cè)和動(dòng)力理論研究均表明，即使在更長(zhǎng)的時(shí)間尺度內(nèi)，天氣過程中仍然客觀存在可預(yù)報(bào)的分量。例如，行星尺度的大氣活動(dòng)中心，其特征時(shí)間尺度往往比天氣尺度更長(zhǎng)；Chao et al.（1982）通過研究大氣的非絕熱耗散，發(fā)現(xiàn)了比Rossby波移動(dòng)更慢的非絕熱波，并認(rèn)為它代表了半永久的活動(dòng)中心，是長(zhǎng)期數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的預(yù)報(bào)對(duì)象；基于MJO季節(jié)內(nèi)振蕩的熱帶高空環(huán)流場(chǎng)的預(yù)報(bào)時(shí)效可達(dá)30天 （李崇銀等，2003；祝從文等，2004；陳光華和黃榮輝，2009；韓榮青等，2010；Ding et al.，2010，2011）。但數(shù)值預(yù)報(bào)模式與此相關(guān)的模擬預(yù)報(bào)能力還存在嚴(yán)重不足。一方面，隨著觀測(cè)技術(shù)的不斷變革，觀測(cè)資料日益豐富，加之資料同化、集合預(yù)報(bào)等方法的有效運(yùn)用，使得模式的初始條件得到良好的改善。同時(shí)，數(shù)值預(yù)報(bào)模式中物理參數(shù)化方案的改進(jìn)，計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的提高等，從而使模式對(duì)實(shí)際大氣行為的刻畫更為具體，分辨率更高，這些對(duì)逐日數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的發(fā)展和水平的提高都做出卓有成效的貢獻(xiàn)。另一方面，人們對(duì)中期和長(zhǎng)期天氣過程發(fā)生、發(fā)展的認(rèn)識(shí)還很不充分，由于該過程是一個(gè)大氣初值信息不斷衰減，外部強(qiáng)迫影響逐步增強(qiáng)的過程，存在可預(yù)報(bào)源信息量不足的問題 （丑紀(jì)范，1974，1983；王鵬飛等，2009）。而且現(xiàn)有的數(shù)值模式和資料相對(duì)于大氣的真實(shí)狀態(tài)而言仍然十分粗糙，加之模式變量間的非線性相互作用以及計(jì)算誤差等客觀因素的影響 （莊照榮等，2010；李志強(qiáng)和俞永強(qiáng)，2011），致使利用數(shù)值預(yù)報(bào)模式進(jìn)行長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)仍存在很大困難。

當(dāng)前，對(duì)較長(zhǎng)時(shí)段的延伸期天氣預(yù)報(bào)研究主要以統(tǒng)計(jì)手段為主，但這沒有充分利用已掌握的物理規(guī)律，無法區(qū)分統(tǒng)計(jì)規(guī)律是本質(zhì)的還是偶然的。在數(shù)值模式預(yù)報(bào)方面，由于初值和模式的不準(zhǔn)確，使得預(yù)報(bào)誤差在描述大氣運(yùn)動(dòng)的非線性模式中不可避免地快速增長(zhǎng)，數(shù)值延伸期預(yù)報(bào)的效果幾近于隨機(jī)情況。針對(duì)以上問題，丑紀(jì)范等 （2010）提出了提取數(shù)值模式中可預(yù)報(bào)分量的理論，將數(shù)值模式的狀態(tài)變量分為可預(yù)報(bào)的穩(wěn)定分量和不可預(yù)報(bào)的混沌分量，在預(yù)報(bào)過程中需要有針對(duì)性地采取不同的預(yù)報(bào)方案和策略。這有別于傳統(tǒng)集合預(yù)報(bào)中尋找初始擾動(dòng)發(fā)展最快方向的思路 （Ehrendorfer and Tribbia，1997；穆穆等，2007），只需對(duì)初始擾動(dòng)不敏感的分量利用數(shù)值模式進(jìn)行確定性預(yù)報(bào)，其余部分建議用歷史資料給出概率分布，為改善數(shù)值模式的預(yù)報(bào)質(zhì)量提供了一個(gè)全新的方向。鄭志海 （2010）通過EOF分解壓縮自由度的方法，在歷史時(shí)空資料中分離出在實(shí)際大氣和數(shù)值模式中均具有較強(qiáng)可預(yù)報(bào)性的分量，并利用歷史資料信息對(duì)可預(yù)報(bào)分量進(jìn)行相似誤差訂正，繼而采取集合預(yù)報(bào)的方法，較好地提高了6～15天中長(zhǎng)期數(shù)值預(yù)報(bào)技巧。但如何直接在數(shù)值模式中定量得到誤差增長(zhǎng)緩慢的基底，從而實(shí)現(xiàn)可預(yù)報(bào)分量提取的工作仍需進(jìn)一步研究。

研究一種數(shù)值預(yù)報(bào)方法的有效性時(shí)，往往先從簡(jiǎn)單模式出發(fā) （穆穆和段晚鎖，2003；Feng and Dong，2003；任宏利，2006）。已有研究表明，三維Lorenz系統(tǒng)可以在某種程度上代表實(shí)際大氣的一些特征（Anderson，1997），該模式已被廣泛地應(yīng)用于各種理論和方法研究中 （Gauthier，1992；封國(guó)林等，2009）。因此，本文選用Lorenz系統(tǒng)研究數(shù)值模式中可預(yù)報(bào)分量的提取過程，建立基于可預(yù)報(bào)分量的數(shù)值模式，探討了初值擾動(dòng)、系統(tǒng)混沌狀態(tài)、模式誤差和隨機(jī)噪聲對(duì)可預(yù)報(bào)分量模式的影響。

2 原理方法與模式介紹

2.1 提取可預(yù)報(bào)分量理論及方法

數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的本質(zhì)是通過大氣在一個(gè)時(shí)刻觀測(cè)值求解刻畫大氣內(nèi)部物理過程的動(dòng)力學(xué)方程，從而由已知的初始時(shí)刻的大氣狀態(tài)預(yù)報(bào)未來時(shí)刻的大氣狀態(tài)。大氣數(shù)值預(yù)報(bào)模式可以簡(jiǎn)化表示為：

其中，φ（x，t）為模式預(yù)報(bào)變量，x和t分別表示空間坐標(biāo)和時(shí)間，H是φ的微分算子，對(duì)應(yīng)于實(shí)際的數(shù)值模式。t0為初始時(shí)刻，φ0為初值。將 （1）式離散化后，可以得到一個(gè)非線性模式的解，它只依賴于初始條件：φT＝K（φ0），其中φ0∈Rn為初始時(shí)刻t0的近似真實(shí)的觀測(cè)場(chǎng)，φT∈Rn為T時(shí)刻的預(yù)報(bào)場(chǎng)，K是數(shù)值模式根據(jù)初始條件到T時(shí)刻的積分。如果在初始場(chǎng)上加一個(gè)小擾動(dòng)φ′0，則在時(shí)刻T有一個(gè)預(yù)報(bào)增量η，它們之間的非線性關(guān)系可表示為：

如果預(yù)報(bào)增量η對(duì)初始擾動(dòng)φ′0不敏感，即滿足O（η）～O（φ′0），則表明在時(shí)刻T，動(dòng)力學(xué)方程對(duì)初值不敏感，是可預(yù)報(bào)的，反之則是不可預(yù)報(bào)的。當(dāng)φ′0很小時(shí)，即‖φ′0‖?‖φ0‖，那么根據(jù) （2）式可得到預(yù)報(bào)增量與初始擾動(dòng)的近似切線性關(guān)系：

其中，Lφ0，T為線性算子，它依賴于初始場(chǎng)φ0和預(yù)報(bào)時(shí)刻T，Rn空間的線性算子Lφ0，T即為一矩陣。它和傳統(tǒng)的切線性模式不同，不再需要將數(shù)值模式演變的軌跡在每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)都切線性化，而是將預(yù)報(bào)過程看成一個(gè)非線性映射K：Rn→Rn，不再考慮積分過程中的演變，認(rèn)為預(yù)報(bào)誤差增量是由于初始小擾動(dòng)由非線性映射而來，Lφ0，T是對(duì)非線性映射的切線性化。由奇異值分解理論可知 （張永領(lǐng)等，2006），對(duì)任意向量L，存在兩個(gè)正交矩陣U和V，

其中，

Λ是L的特征值 （λ1≤λ2≤…λn）組成的對(duì)角矩陣，U和V分別是L左、右特征向量組成的矩陣。每列ui、vi是Rn空間的一個(gè)向量，全體構(gòu)成一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，任一向量φ0（或φT）可按此基展開，一般稱（u1，u2，…，un）為演化特征向量，（v1，v2…，vn）為初始特征向量?？梢宰C明，對(duì)于特征值 （λ1≤λ2≤…λn），λp為 （1，2，…，p＜n）初始誤差前p個(gè)分量的最大放大倍數(shù)，如果λp小于某個(gè)閾值，則可認(rèn)為前p個(gè)分量對(duì)初值誤差不敏感，是可以預(yù)報(bào)的，剩下的n－p個(gè)分量不可預(yù)報(bào)。

為確定前p個(gè)可預(yù)報(bào)分量，可以利用式（4）將切線性誤差算子進(jìn)行分解，根據(jù)誤差增長(zhǎng)情況取特征值λi較小時(shí)所對(duì)應(yīng)的誤差增長(zhǎng)方向進(jìn)行模式積分預(yù)報(bào)，而對(duì)于λi超過某一閾值對(duì)應(yīng)的分量方向先行濾除，即可得到前p個(gè)可預(yù)報(bào)分量。對(duì)非線性數(shù)值預(yù)報(bào)模式而言，求解其切線性誤差算子可以假設(shè)其非線性解為 （Kalnay，2005），

其中，K為模式根據(jù)初始時(shí)刻t0到t時(shí)刻的積分，可以在基本模式積分x（t）上加一個(gè)小擾動(dòng)x′（t），則有

式 （6）中的x′（t）可以用和式 （5）同樣的差分格式通過時(shí)間積分得到，當(dāng)擾動(dòng)較小時(shí)，此處可以看成，

其中，誤差算子L（t0，t）＝?K／?x將初始時(shí)刻t0的擾動(dòng)映射為t時(shí)的最終擾動(dòng)。若忽略到擾動(dòng)項(xiàng)中的二次項(xiàng)和更高階項(xiàng)，

因此沿著n個(gè)單位向量x′i（t0）＝εei建立一個(gè)大小為ε的小擾動(dòng)球作為初始擾動(dòng)，以式 （8）進(jìn)行計(jì)算，通過該方法選擇初始擾動(dòng)后，減去式 （5）即可得到線性誤差算子矩陣。

2.2 Lorenz系統(tǒng)

Lorenz系統(tǒng)一般形式為：

考慮到物理背景，一般取δ＝10.0，b＝8／3，0＜r＜∞，令系統(tǒng)（9）左端為零，得到Lorenz系統(tǒng)的三個(gè)定常解 （王啟光等，2008）：

當(dāng)r＞24.74時(shí)，在整個(gè)相空間內(nèi)不存在任何穩(wěn)定的平衡態(tài)，這就是所謂的混沌狀態(tài)。該狀態(tài)仍然存在著一定的時(shí)空結(jié)構(gòu)，即存在不同尺度的準(zhǔn)周期特征。Lorenz系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)具有初值敏感性、短期可預(yù)測(cè)性，長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性以及相空間遍歷性。由于混沌系統(tǒng)對(duì)初值極其敏感，隨著時(shí)間的演化，初值的微小差異會(huì)逐漸被放大，直至引起系統(tǒng)未來狀態(tài)的顯著不同，甚至得到完全相反的結(jié)果。

2.3 預(yù)報(bào)效果的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

對(duì)于Lorenz模式數(shù)值試驗(yàn)的預(yù)報(bào)結(jié)果檢驗(yàn)有別于復(fù)雜數(shù)值預(yù)報(bào)模式的檢驗(yàn)，后者主要關(guān)注預(yù)報(bào)誤差場(chǎng)在空間型預(yù)報(bào)技巧的提高，而Lorenz模式的預(yù)報(bào)檢驗(yàn)應(yīng)更著重于預(yù)報(bào)的有效時(shí)間長(zhǎng)度，當(dāng)兩個(gè)平衡態(tài)之間的轉(zhuǎn)換報(bào)錯(cuò)了，預(yù)報(bào)誤差就會(huì)突然增大到無技巧的狀態(tài)，所以本文對(duì)Lorenz系統(tǒng)采用如下定義的相對(duì)預(yù)報(bào)誤差 （任宏利，2006），

其中，T為預(yù)報(bào)時(shí)間，F(xiàn)代表預(yù)報(bào)，R代表實(shí)況。由大量的預(yù)報(bào)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)R（T）超過1.0時(shí)，預(yù)報(bào)就已經(jīng)失效了，所以將此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間作為預(yù)報(bào)臨界時(shí)間TC，到達(dá)該時(shí)刻后預(yù)報(bào)將失去意義。

3 誤差增長(zhǎng)及其算子特征值演化規(guī)律

本節(jié)選取Lorenz系統(tǒng)參數(shù)值為δ＝10.0，b＝8／3，r＝28.0，由于該系統(tǒng)對(duì)于z軸具有對(duì)稱性，同時(shí)根據(jù)初值與不穩(wěn)定平衡態(tài)的遠(yuǎn)近程度，分別選取初值 （1.0，－1.0，6.0）、（7.0，7.0，25.0）、（9.0，9.0，27.0）進(jìn)行積分?jǐn)?shù)值試驗(yàn)，簡(jiǎn)記 為INI1、INI2、INI3。運(yùn)用數(shù)值計(jì)算的方法，采用積分步長(zhǎng)為0.01，積分30個(gè)時(shí)間單位，得到樣本量為3000的三維時(shí)間序列，一般可認(rèn)為1個(gè)時(shí)間單位對(duì)應(yīng)實(shí)際大氣演化過程中的5天，即每20步積分相當(dāng)于1天 （任宏利，2006）。為研究Lorenz系統(tǒng)誤差增長(zhǎng)情況，首先分別對(duì)三個(gè)不同初值的三個(gè)方向添加ε≤0.01的球形擾動(dòng)作為初始誤差集，初值擾動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為20000個(gè)，得到的初值誤差演化如圖1所示。

圖1中展示了模式初始狀態(tài)、模式演化10步、模式演化1000步、模式演化2000步四個(gè)不同的狀態(tài)。圖1a、e、i分別代表INI1、INI2、INI3條件下，添加球形隨機(jī)擾動(dòng)時(shí)，模式初始誤差場(chǎng)在相空間中的分布。初始時(shí)刻，相空間中的模式誤差限制在初值點(diǎn)周圍半徑為0.01的球形區(qū)域范圍內(nèi)。從圖1可以發(fā)現(xiàn)，在同一個(gè)初值條件下，隨著積分時(shí)間的增加，初始的微小誤差在不同方向增長(zhǎng)速度明顯不同，誤差場(chǎng)擾動(dòng)球的形狀逐漸由球形變?yōu)闄E球，有的方向誤差快速增長(zhǎng)，誤差范圍逐步擴(kuò)大，而另外一些方向誤差緩慢增長(zhǎng)甚至收縮，隨積分時(shí)間的進(jìn)一步增加，誤差在相空間中的結(jié)構(gòu)變?yōu)閺澢木€狀，并最終擴(kuò)散到整個(gè)相空間的吸引子上。例如當(dāng)初值為INI1時(shí)，積分時(shí)間到第10步 （圖1b），誤差在x－y平面投影變?yōu)殚L(zhǎng)橢圓，值域的范圍約為0.08，在x－y平面的對(duì)角線方向誤差明顯變大，而在x－z和y－z平面上的投影仍是圓形，值域范圍基本保持初始狀態(tài)0.02不變；當(dāng)積分步長(zhǎng)達(dá)到1000時(shí) （圖1c），誤差在x－y、x－z、y－z三平面投影范圍分別約為1.5、3、4，比初值誤差范圍都增大了數(shù)百倍，可以推斷，此時(shí)模式變量的演化曲線將發(fā)生明顯的分離，模式變量將變的不可預(yù)報(bào)；當(dāng)積分步長(zhǎng)為2000時(shí) （圖1d），最大相差0.02的初值誤差場(chǎng)，已經(jīng)遍布整個(gè)相空間吸引子中，起始時(shí)刻的球形擾動(dòng)誤差已變?yōu)榈湫偷?“蝴蝶”形狀，誤差值域范圍比初始狀態(tài)擴(kuò)大了數(shù)千倍。圖1還表明，相同值域范圍的初始擾動(dòng)在不同的初值條件下，其誤差發(fā)展速度明顯也是不同的，例如，初值為INI3，積分10步時(shí)在各個(gè)平面投影的值域范圍基本維持在0.02（圖1j），在x－y和x－z平面中投影變?yōu)闄E圓；當(dāng)積分步長(zhǎng)為1000時(shí) （圖1k），誤差在x－y、x－z、y－z平面投影范圍分別約為0.04，0.06，0.06，比初始誤差值僅增長(zhǎng)了幾倍，可以推斷，此時(shí)模式變量的演化曲線基本還是相吻合的，模式的可預(yù)報(bào)性仍然存在；當(dāng)積分步長(zhǎng)為2000步時(shí)，相空間中誤差場(chǎng)形狀變?yōu)殚L(zhǎng)橢球狀 （圖1l），因此誤差在某些方向增長(zhǎng)仍然較小，模式仍存在一定的可預(yù)報(bào)性。初值為INI2時(shí)，誤差增長(zhǎng)的速度在各方向也是不同的，在相同演化步長(zhǎng)時(shí)，其誤差增長(zhǎng)比INI3條件下快，而比INI1慢 （圖1eh）。比較三初值條件下誤差演化的情況，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值模式的預(yù)報(bào)過程中，客觀存在誤差增長(zhǎng)相對(duì)緩慢的可預(yù)報(bào)分量。研究結(jié)果還表明模式誤差的發(fā)展速度和初值所處相空間中的位置直接有關(guān)，這同已有的研究結(jié)論是吻合的 （Zou et al.，2006）。

為研究隨機(jī)擾動(dòng)量級(jí)對(duì)誤差演化的影響，將上面的擾動(dòng)范圍增大10倍，即ε≤0.1，在INI2條件下誤差演化結(jié)果如圖2（見文后彩圖）所示。比較圖2a－d和圖1e－h(huán)，雖然初值擾動(dòng)的量級(jí)明顯增大，但相空間中誤差的演化仍然呈現(xiàn)某些方向增長(zhǎng)快，而另外一些方向增長(zhǎng)慢的狀態(tài)，并且誤差增長(zhǎng)方向和速度基本與ε≤0.01時(shí)相同。這進(jìn)一步說明誤差增長(zhǎng)較慢的可預(yù)報(bào)分量與數(shù)值模式內(nèi)在的固有屬性有關(guān)，在相似的初值條件下的可預(yù)報(bào)分量，具有相似的演化規(guī)律，為可預(yù)報(bào)分量的提取及其應(yīng)用提供了良好的物理基礎(chǔ)。

圖1 （a－d）INI1、（e－h(huán)）INI2、（i－l）INI3添加隨機(jī)擾動(dòng)ε≤0.01誤差演化情況：（a、e、i）初始狀態(tài)；（b、f、j）10步；（c、g、k）1000步；（d、h、l）2000步Fig.1 The evolution of the errors under different initial values marked by（a－d）INI1，（e－h(huán)）INI2，（i－l）INI3when random perturbation was added to the Lorenz system with errorε≤0.01：（a，e，i）The initial status；（b，f，j）the evolution steps are 10；（c，g，k）the evolution steps are 1000；（d，h，l）the evolution steps are 2000

圖1 （續(xù)）

基于以上模式誤差增長(zhǎng)規(guī)律的分析，下面分別就INI1、INI2、INI3條件下，將Lorenz模式各變量誤差分別取0.01和0.1時(shí)，利用式 （1）～（9）計(jì)算出切線性誤差算子L，進(jìn)而得到特征值λi隨積分時(shí)間的演化曲線 （如圖3所示）。

從圖3中可以看出，切線性誤差算子L的特征值λi隨積分時(shí)間的增長(zhǎng)差別明顯，反映出初始誤差在初始向量的不同方向上增長(zhǎng)的速度不同這一特性。在初值INI1、ε＝0.01條件下，λ3在短時(shí)間內(nèi)增長(zhǎng)迅速，在積分50步后其演化軌跡即與λ1、λ2分離 （圖3a），而λ1、λ2此時(shí)基本維持在 （0，1）之間，積分時(shí)間達(dá)到1500步以后，λ1、λ2、λ3都顯著增大，表明此時(shí)模式變量誤差在各個(gè)方向都明顯增長(zhǎng)，模式中基本無可預(yù)報(bào)分量而言，系統(tǒng)完全進(jìn)入混沌狀態(tài)，誤差在相空間中的分布類似于圖1d；當(dāng)ε＝0.1時(shí)λ3迅速增長(zhǎng)的狀態(tài)更為明顯，λ3在50步時(shí)即接近300，表示初始向量空間中，該方向上誤差增長(zhǎng)迅速。當(dāng)初值為INI2、ε＝0.01時(shí)，λ3在積分1000步后才開始明顯增長(zhǎng)，將達(dá)到1500步時(shí)λ1、λ2、λ3都開始增大，但是λ1、λ2增長(zhǎng)的量級(jí)比λ3小得多；ε＝0.1時(shí)，λ3在積分500步即快速增長(zhǎng)，而λ1、λ2在1000步以內(nèi)基本未增長(zhǎng)，在1400步左右時(shí)三者才都快速增長(zhǎng)。初值INI3的切線性誤差算子特征值比其他兩種初值情況增長(zhǎng)的都緩慢，在ε＝0.01、0.1條件下，λ3分別在2000步和1500步后發(fā)生分離，λ1和λ2迅速增長(zhǎng)的時(shí)間都要明顯靠后。由第2節(jié)可知，λi的值反映了初始誤差在初始向量對(duì)應(yīng)方向上的增長(zhǎng)倍數(shù)，Lorenz系統(tǒng)在非線性演化過程中誤差增長(zhǎng)在不同方向上的差別，為從初始向量基底上提取模式變量的可預(yù)報(bào)分量提供了可能。

進(jìn)一步，以初值INI2為例，模式各變量分別添加ε＝0.01和ε＝0.1的初始擾動(dòng)，對(duì)模式積分500步以內(nèi)得到的L進(jìn)行奇異向量分解，得到的特征值演化如圖4（見文后彩圖）所示。從圖4中可以看出特征值λi在各方向上的增長(zhǎng)在模式演化初期基本一致且都在 （0，1）之間，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，λ3逐漸增大，對(duì)應(yīng)了相空間中誤差演化的伸長(zhǎng)方向，λ1趨向于0，對(duì)應(yīng)了誤差演化的收縮方向。λ2基本維持在1附近，說明該方向誤差基本不增長(zhǎng)。同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)，雖然添加擾動(dòng)的量級(jí)不同，但兩種情況下λ3都是在190步左右和λ1、λ2發(fā)生分離并開始緩慢增長(zhǎng)。因此本文考慮誤差增長(zhǎng)規(guī)律，選取λ3＞2時(shí)對(duì)初始特征向量中該方向的分量予以濾除，僅保留其余兩個(gè)方向分量，得到穩(wěn)定分量基底，從而建立可預(yù)報(bào)分量模式。

4 提取可預(yù)報(bào)分量及敏感性試驗(yàn)

4.1 可預(yù)報(bào)分量模式的建立

可預(yù)報(bào)分量模式的建立可以通過以下途徑實(shí)現(xiàn)，在積分過程中將模式變量投影到可預(yù)報(bào)穩(wěn)定分量的基底上，再利用矩陣逆變換得到針對(duì)可預(yù)報(bào)分量的模式變量，然后向前積分，依次逐步變換積分即可。在已有的模式基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，無需開發(fā)新模式，使用方便且可移植性強(qiáng)。其過程可簡(jiǎn)要表示

如下：

其中，A為數(shù)值模式穩(wěn)定分量投影基底，φ為模式變量，為模式變量在可預(yù)報(bào)分量上的投影。設(shè)K為數(shù)值模式的積分算子，穩(wěn)定分量的預(yù)報(bào)方程即為，

基于以上過程，表1比較了Lorenz系統(tǒng)原始變量模式和建立的可預(yù)報(bào)分量模式的TC。

表1 不同初值和擾動(dòng)條件下Lorenz系統(tǒng)原始變量及可預(yù)報(bào)分量的TCTable 1 The prediction times（TC）of original variables and predictable components in Lorenz system under different initial values and perturbations

從表1中可以看出在三個(gè)不同初值條件下，對(duì)初值各變量分別進(jìn)行大小為0.01和0.1的擾動(dòng)，可預(yù)報(bào)分量的TC都要明顯大于原始變量，具有更高的預(yù)報(bào)技巧。并且在同一初值條件下，初值擾動(dòng)量級(jí)越大，TC則越小。由表1可以得出，對(duì)數(shù)值模式中誤差增長(zhǎng)慢的可預(yù)報(bào)分量進(jìn)行預(yù)報(bào)，可以得到比原始變量模式更長(zhǎng)的可預(yù)報(bào)時(shí)效。

4.2 控制參數(shù)變化對(duì)可預(yù)報(bào)分量模式的影響

對(duì)于Lorenz系統(tǒng)而言，當(dāng)系統(tǒng)控制參數(shù)r增大時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的混沌特性將更加明顯，可預(yù)報(bào)性隨之降低。為進(jìn)一步研究提取可預(yù)報(bào)分量在非線性數(shù)值模式預(yù)報(bào)中的有效性，圖5以初值INI2、ε＝0.1為例，研究了TC在原始變量模式和可預(yù)報(bào)分量模式中隨著控制參數(shù)的變化情況。在控制參數(shù)從28以0.1的間隔逐步增大到30過程中，Lorenz系統(tǒng)原始變量模式的TC隨著控制參數(shù)的增大，由11.14減小到5.65，呈明顯的衰減趨勢(shì)。而可預(yù)報(bào)分量的TC在此過程中始終比原始變量的大，并且沒有明顯的下降趨勢(shì)，這說明提取的可預(yù)報(bào)分量的TC并不隨系統(tǒng)的混沌特征明顯而衰減，有較好的可預(yù)報(bào)價(jià)值。

圖5 TC隨控制參數(shù)的演化情況 （“orig”代表原始變量；“pred”代表可預(yù)報(bào)分量）Fig.5 The evolution of TCwith parameter r （“orig”：original variable；“pred”：predictable component）

4.3 模式誤差及外部噪聲影響

一般而言，數(shù)值模式誤差主要可分為初值誤差和模式誤差兩個(gè)方面。初值誤差又可分為觀測(cè)誤差和分析誤差；模式誤差的來源較多，包括數(shù)值計(jì)算的截?cái)嗾`差、參數(shù)不準(zhǔn)、物理過程缺失、動(dòng)力方程缺陷、物理參數(shù)化方案缺陷等。因此，通過原始變量模式建立起的可預(yù)報(bào)分量模式，既要考慮到初值誤差的影響，又要考慮模式誤差存在時(shí)，可預(yù)報(bào)分量模式建立的有效性。本節(jié)以初值INI2、ε＝0.1為例，研究了分別對(duì)Lorenz模式參數(shù)b和積分過程變量中添加δ≤0.01的球形隨機(jī)擾動(dòng)情況，擾動(dòng)次數(shù)為20000次，結(jié)果如表2所示。當(dāng)對(duì)模式參數(shù)b進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)時(shí)，其原始變量模式TC最小值為7.61，最大值為11.14，歷次擾動(dòng)后TC的平均值為9.65。相同條件下可預(yù)報(bào)分量模式對(duì)應(yīng)的值分別為9.07、14.72和11.82。當(dāng)在積分過程變量中加入隨機(jī)擾動(dòng)時(shí)，其原始變量模式TC最小值為8.96，最大值為11.13，歷次擾動(dòng)后TC的平均值為10.29。相同條件下可預(yù)報(bào)分量模式對(duì)應(yīng)的值分別為10.18、14、69和12.46。從擾動(dòng)后的TC均值來看，可預(yù)報(bào)分量模式的預(yù)報(bào)效果仍然要優(yōu)于原始變量模式，說明可預(yù)報(bào)分量模式在一定時(shí)間段內(nèi)，不僅對(duì)初值誤差不敏感，而且受模式變量誤差的影響也比原始變量模式小。

表2 模式誤差及外部隨機(jī)噪聲對(duì)TC的影響Table 2 The effects of model errors and external random noises on prediction time TC

5 結(jié)論和討論

本文從提取數(shù)值模式的可預(yù)報(bào)分量出發(fā)，利用Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行了相關(guān)數(shù)值試驗(yàn)。通過研究誤差在相空間中的增長(zhǎng)狀況，得知初始誤差在不同方向增長(zhǎng)速度不同，誤差增長(zhǎng)的不均勻性代表在一定時(shí)間范圍內(nèi)，數(shù)值預(yù)報(bào)模式中客觀存在著對(duì)誤差不敏感的較穩(wěn)定的可預(yù)報(bào)分量。采用不同量級(jí)的初值擾動(dòng)，研究了模式切線性誤差算子特征值的演化規(guī)律，結(jié)果表明在初始特征向量的三個(gè)方向上，有一個(gè)方向誤差增長(zhǎng)速度明顯較快，在很大程度上影響著數(shù)值預(yù)報(bào)模式的可預(yù)報(bào)時(shí)效。進(jìn)而對(duì)該方向在積分過程進(jìn)行濾除，建立了基于可預(yù)報(bào)分量的新模式。比較了不同初值條件下原始變量模式和可預(yù)報(bào)分量模式的預(yù)報(bào)臨界時(shí)間，發(fā)現(xiàn)可預(yù)報(bào)分量模式預(yù)報(bào)臨界時(shí)間比相同條件下原始變量的要長(zhǎng)，說明其有更高的預(yù)報(bào)技巧。通過改變模式的控制參數(shù)，發(fā)現(xiàn)可預(yù)報(bào)分量模式受控制參數(shù)變化影響小。最后對(duì)數(shù)值模式變量進(jìn)行了擾動(dòng)，并試驗(yàn)了隨機(jī)噪聲對(duì)可預(yù)報(bào)分量模式和原始變量模式的影響。發(fā)現(xiàn)可預(yù)報(bào)分量模式比原始變量模式預(yù)報(bào)時(shí)效長(zhǎng)，說明提取可預(yù)報(bào)分量方法在數(shù)值預(yù)報(bào)過程中，有潛在的應(yīng)用價(jià)值。在本文的研究過程中還發(fā)現(xiàn)，在不同的初值條件下，可預(yù)報(bào)分量模式延長(zhǎng)的可預(yù)報(bào)時(shí)間是不同的，這反映了對(duì)于Lorenz系統(tǒng)而言，可預(yù)報(bào)分量模式的效果可能受系統(tǒng)局地可預(yù)報(bào)性的影響，當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)處于可預(yù)報(bào)性較高區(qū)域，模式預(yù)報(bào)誤差在各個(gè)方向發(fā)展速度均較慢，可預(yù)報(bào)分量模式相應(yīng)的可預(yù)報(bào)時(shí)間將更長(zhǎng)，反之則相反。并且可預(yù)報(bào)分量模式的預(yù)報(bào)效果還可能與初始誤差的大小存在一定關(guān)系，這些問題還需要在后繼工作中深入探討。本文僅利用簡(jiǎn)單模式闡述了在數(shù)值模式中提取可預(yù)報(bào)分量的方法及其效果，在復(fù)雜模式中的應(yīng)用及其可能存在的困難我們將在下一步工作中予以研究和解決。

（References）

Anderson J L.1997.The impact of dynamical constraints on the selection of initial conditions for ensemble predictions：Low－order perfect model results［J］.Mon.Wea.Rev.，125 （11）：2969－2983.

Chao J P，Guo Y F，Xin R N.1982.A theory and method of longrange numerical weather forecasts［J］.J.Meteor.Soc.Japan，60：282－291.

丑紀(jì)范.1974.天氣數(shù)值預(yù)報(bào)中使用過去資料的問題 ［J］.中國(guó)科學(xué) （A 輯），（6）：635－644. Chou Jifan.1974.A problem of using past data in numerical weather forecasting［J］.Science in China（Ser.A）（in Chinese），（6）：635－644.

丑紀(jì)范.1983.初始場(chǎng)作用的衰減與算子的特性 ［J］.氣象學(xué)報(bào)，41（4）：385－392. Chou Jifan.1983.Some properties of operators and the effect of initial condition［J］.Acta Meteorologica Sinica（in Chinese），41（4）：385－392.

Chou J F.1989.Predictability of the atmosphere［J］.Advances in Atmospheric Sciences，6（3）：335－346.

丑紀(jì)范，鄭志海，孫樹鵬.2010.10－30d延伸期數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的策略思考——直面混沌 ［J］.氣象科學(xué)，30（5）：569－573. Chou Jifan，Zheng Zhihai，Sun Shupeng.2010.The think about 10－30 d extended－range numerical weather prediction strategy—facing the atmosphere chaos［J］.Scientia Meteorologica Sinica（in Chinese），30（5）：569－573.

Ding R Q，Li J P.2007.Nonlinear finite－time Lyapunov exponent and predictability［J］.Physics Letters A，364：396－400.

丁瑞強(qiáng)，李建平.2009.非線性誤差增長(zhǎng)理論在大氣可預(yù)報(bào)性中的應(yīng)用 ［J］.氣象學(xué)報(bào)，67（2）：241－249. Ding Ruiqiang，Li Jianping.2009.Application of nonlinear error growth dynamics in studies of atmospheric predictability［J］.Acta Meteorologica Sinica（in Chinese），67（2）：241－249.

Ding R Q，Li J P，Seo K H.2010.Predictability of the Madden－Julian oscillation estimated using observational data ［J］.Mon.Wea.Rev.，138（3）：1004－1013.

在廣州車展開始之前，由于梅賽德斯-AMG G 63先型特別版試駕車的到位，我和攝影師還有他的朋友騰出了兩天時(shí)間，從北京出發(fā)，行經(jīng)300公里的高速路段，穿過了最近一年新聞聯(lián)播中頗為著名的塞罕壩景區(qū)，來到了位于內(nèi)蒙古，早已是一片白雪皚皚的烏蘭布統(tǒng)。紅山軍馬場(chǎng)，這個(gè)聽起來有些浪漫又有些嚴(yán)肅的地名就是這一次我們一行三人的最終目的地，在凜冽的北風(fēng)中，這片草原的主人早已不是那些聽話且健壯的軍馬，取而代之的是潔白的積雪和偶爾代表著人類文明的深淺不一的車轍。

Ding R Q，Li J P，Seo K H.2011.Estimate of the predictability of boreal summer and winter intraseasonal oscillations from observations［J］.Mon.Wea.Rev.，139：2421－2438，doi：10.1175／2011MWR3571.1.

Ehrendorfer M，Tribbia J J.1997.Optimal prediction of forecast error covariances through singular vectous［J］.J.Atmos.Sci.，54（2）：286－313.

Feng G L，Dong W J.2003.Evaluation of the applicability of a retrospective scheme based on comparison with several difference schemes［J］.Chinese Physics，12：1076－1086.

封國(guó)林，王啟光，侯威，等.2009.氣象領(lǐng)域極端事件的長(zhǎng)程相關(guān)性［J］.物 理 學(xué) 報(bào)，58 （4）：2853－2861. Feng Guolin，Wang Qiguang，Hou Wei，et al.2009.Long－range correlation of extreme events in meterorological field［J］.Acta Physica Sinica（in Chinese），58（4）：2853－2861.

Gauthier P.1992.Chaos and quadri－dimensional data assimilation：A study based on the Lorenz model［J］.Tellus（Ser.A），44：2－17.

韓榮青，李維京，董敏.2010.副熱帶北太平洋大氣季節(jié)內(nèi)振蕩時(shí)空特征的診斷研究 ［J］.氣象學(xué)報(bào)，68 （4）：520－528. Han Rongqing，Li Weijing，Dong Min.2010.A diagnostic study of the temporal and spatial characteristics of the intraseasonal oscillation over the subtropical northern Pacific［J］.Acta Meteorologica Sinica（in Chinese），68（4）：520－528.

Kalnay E.2005.大氣模式、資料同化和可預(yù)報(bào)性 ［M］.蒲朝霞，楊福全，鄧北勝，等，譯.北京：氣象出版社，178－190.Kalnay E.2005.Atmospheric Modeling，Data Assimilation and Predictability（in Chinese）［M］.Translated by Pu Zhaoxia，Yang Fuquan，Deng Beisheng，et al.Beijing：China Meteorological Press，178－190.

李崇銀，龍振夏，穆明權(quán).2003.大氣季節(jié)內(nèi)振蕩及其重要作用［J］.大氣科學(xué)，27（4）：518－535. Li Chongyin，Long Zhen－xia，Mu Mingquan.2003.Atmospheric intraseasonal oscillation and its important effect［J］.Chinese Journal of Atmospheric Sciences（in Chinese），27（4）：518－535.

李建平，丁瑞強(qiáng).2008.短期氣候可預(yù)報(bào)期限的時(shí)空分布 ［J］.大氣科學(xué)，32 （4）：975－986. Li Jianping，Ding Ruiqiang.2008.Temporal－spatial distributions of predictability limit of short－term climate［J］.Chinese Journal of Atmospheric Sciences （in Chinese），32（4）：975－986.

李志強(qiáng)，俞永強(qiáng).2011.耦合模式熱帶太平洋云—?dú)夂蚍答伳M誤差評(píng)估 ［J］.大氣科學(xué)，35（3）：457－472. Li Zhiqiang，Yu Yongqiang.2011.Assessment of cloud－climate feedback simulation bias of coupled ocean－atmosphere model in the tropical Pacific［J］.Chinese Journal of Atmospheric Sciences（in Chinese），35（3）：457－472.

Lorenz E N.1963.Deterministic non－periodic flow［J］.J.Atmos.Sci.，20：130－141.

Lorenz E N.1969.The predictability of a flow which possesses many scales of motion［J］.Tellus，21：289－307.

Lorenz E N.1982.Atmospheric predictability experiments with a large numerical model［J］.Tellus，34：505－513.

穆穆，段晚鎖.2003.ENSO可預(yù)報(bào)性研究的一個(gè)新方法：條件非線性最優(yōu)擾動(dòng) ［J］.科學(xué)通報(bào)，48（7）：747－749. Mu Mu，Duan Wansuo.2003.A new method of ENSO predictability：conditional nonlinear optimal perturbation［J］.Chinese Science Bulletin（in Chinese），48（7）：747－749.

穆穆，王洪利，周菲凡.2007.條件非線性最優(yōu)擾動(dòng)方法在適應(yīng)性觀測(cè)研究中的初步應(yīng)用 ［J］.大氣科學(xué)，31（6）：1102－1112.Mu Mu，Wang Hongli，Zhou Feifan.2007.A preliminary application of conditional nonlinear optimal perturbation to adaptive observation［J］.Chinese Journal of Atmospheric Sciences （in Chinese），31（6）：1102－1112.

任宏利.2006.動(dòng)力相似預(yù)報(bào)的策略和方法 ［D］.蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文. Ren Hongli.2006.Strategy and methodology of dynamical analogue prediction ［D］.Ph.D.dissertation（in Chinese），Lan Zhou University.

王啟光，支蓉，張?jiān)銎?2008.LORENZ系統(tǒng)長(zhǎng)程相關(guān)性研究 ［J］.物理 學(xué) 報(bào)，57 （8）：5343－5350. Wang Qiguang，Zhi Rong，Zhang Zengping.2008.The research on long range correlation of Lorenz system ［J］.Acta Physica Sinica（in Chinese），57（8）：5343－5350.

王鵬飛，李建平，顧雷.2009.氣候數(shù)值模擬研究中初始場(chǎng)衰減理論的理解和應(yīng)用 ［J］.氣象學(xué)報(bào)，67（2）：218－226. Wang Pengfei，Li Jianping，Gu Lei.2009.Understanding and application of the decay theory of initial condition effect in numerical climate simulation studies［J］.Acta Meteorologica Sinica（in Chinese），67（2）：218－226.

張永領(lǐng)，吳勝安，丁裕國(guó)，等.2006.SVD迭代模型在夏季降水預(yù)測(cè)中的應(yīng)用 ［J］.氣 象 學(xué) 報(bào)，64 （1）：121－128.Zhang Yongling，Wu Sheng'an，Ding Yuguo，et al.2006.Forecast of summer precipitation based on SVD iteration model［J］.Acta Meteorologica Sinica（in Chinese），64（1）：121－128.

鄭志海.2010.基于可預(yù)報(bào)分量的6－15天數(shù)值天氣預(yù)報(bào)業(yè)務(wù)技術(shù)研究 ［D］.蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文.Zheng Zhihai.2010.Operational technology research of 6－15days numerical weather prediction based on predictable components［D］.Ph.D.dissertation（in Chinese），Lan Zhou University.

祝從文，Nakazawa T，李建平.2004.大氣季節(jié)內(nèi)振蕩對(duì)印度洋—西太平洋地區(qū)熱帶低壓／氣旋生成的影響 ［J］.氣象學(xué)報(bào)，62（1）：42－50. Zhu Congwen，Nakazawa T，Li Jianping.2004.Modulation of tropical depression／cyclone over the Indian－western Pacific Oceans by Madden－Julian oscillation［J］.Acta Meteorologica Sinica（in Chinese），62（1）：42－50.

莊照榮，薛紀(jì)善，李興良，等.2010.GRAPES全球模式的模式誤差估計(jì) ［J］.大氣科學(xué)，34（3）：591－598. Zhuang Zhaorong，Xue Jishan，Li Xingliang，et al.2010.Estimation of model error for the global GRAPES model［J］.Chinese Journal of Atmospheric Sciences（in Chinese），34（3）：591－598.

Zou M W，F(xiàn)eng G L，Gao X Q.2006.Sensitivity of intrinsic mode functions of Lorenz system to initial values based on EMD method［J］.Chinese Physics，15（6）：1384－1390.

圖2 初值條件為INI2且ε≤0.1時(shí)誤差演化情況：（a）初始狀態(tài)；（b）10步；（c）1000步；（d）2000步Fig.2 The evolution of errors under initial value INI2with errorε≤0.1：（a）The initial status；（b）the evolution steps are 10；（c）the evolution steps are 1000；（d）the evolution steps are 2000

圖4 INI2條件下L特征值λi前500步的演變：（a）ε＝0.01；（b）ε＝0.1Fig.4 The same as Fig.3，but for the first 500steps with initial value INI2when（a）ε＝0.01and（b）ε＝0.1

The Preliminary Analysis of the Procedures of Extracting Predicable Components in Numerical Model of Lorenz System

WANG Qiguang1，F(xiàn)ENG Guolin2，ZHENG Zhihai2，ZHI Rong2，and CHOU Jifan1

1CollegeofAtmosphericSciences，LanzhouUniversity，Lanzhou730000
2LaboratoryforClimateStudies，NationalClimateCenter，ChinaMeteorologicalAdministration，Beijing100081

The authors have proposed to extract the predictable components to make prediction in the numerical model which has nonlinear chaos.The method of extracting predicable components was introduced in a simple numerical model，and the numerical experiments were done based on Lorenz system.In the experiment，the authors found that the velocity of initial error increase is different for different components in the phase space，and there are some particular directions with slow error increase.That is to say，there exist predictable components which are relatively stable and insensitive to initial perturbation.The numerical model of the predictable components was established by extracting predicable components based on the evolution of the eigenvalues of the tangent operator error，and projecting the model variables onto the substrates.On the basis of these，the impacts of chaotic states，the errors of model parameters，and the external random noise on extracting the predicable components were studied.And the authors found that the numerical model of the predicable components has a better forecasting skill.

numerical prediction，predictable components，singular value decomposition，Lorenz system

1006－9895（2012）03－0539－12

P435

A

10.3878／j.issn.1006－9895.2011.11094

王啟光，封國(guó)林，鄭志海，等.2012.基于Lorenz系統(tǒng)提取數(shù)值模式可預(yù)報(bào)分量的初步試驗(yàn) ［J］.大氣科學(xué)，36（3）：539－550，

10.3878／j.issn.1006－9895.2011.11094.Wang Qiguang，F(xiàn)eng Guolin，Zheng Zhihai，et al.2012.The preliminary analysis of the procedures of extracting predicable components in numerical model of Lorenz system ［J］.Chinese Journal of Atmospheric Sciences（in Chinese），36（3）：539－550.

2011－05－23，2011－06－24收修定稿

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目40930952、41105070和41105055，全球變化重大研究計(jì)劃2012CB955902和公益性行業(yè) （氣象）科研專項(xiàng)GYHY201106016

王啟光，男，1981年出生，博士研究生，主要從事短期氣候預(yù)測(cè)研究。E－mail：photon316＠163.com

封國(guó)林，E－mail：fenggl＠cma.gov.cn