李武鋼 張彬玲

（廣西師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，廣西 南寧 530023）

基于信息技術(shù)測(cè)量籃球的空氣阻力系數(shù)＊

李武鋼 張彬玲

（廣西師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，廣西 南寧 530023）

為了測(cè)出籃球在一般投籃過(guò)程的空氣阻力系數(shù)，使用攝像機(jī)拍攝籃球豎直下落的全過(guò)程，并用軟件將視頻分解為幀圖像，得到籃球下落的坐標(biāo)和時(shí)間實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).用Matlab比較理論圖線和實(shí)驗(yàn)所得的圖，最終確定空氣阻力系數(shù)近似值k＝0.5±0.03.

籃球；落體；空氣阻力系數(shù)；Matlab

1 引言

研究籃球在投籃過(guò)程的實(shí)際運(yùn)動(dòng)通常要引入空氣阻力系數(shù)，例如文獻(xiàn)［1，2］，但文獻(xiàn)空氣阻力系數(shù)來(lái)源和依據(jù)不清楚.理論上對(duì)球類的空氣阻力有一些研究，如文獻(xiàn)［3，4，5］，其中依據(jù)流體雷諾數(shù)進(jìn)行計(jì)算，但所得結(jié)論沒(méi)有引入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)支持.雷諾數(shù)涉及到的因素是多方面的，而且雷諾數(shù)隨球體運(yùn)動(dòng)的速度變化也不是常量，因此，理論研究只能得出大概的數(shù)值范圍.通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法可以在一定速度范圍內(nèi)得到更接近真實(shí)的籃球空氣阻力系數(shù)值.這里要明確的是，無(wú)論用什么實(shí)驗(yàn)方法都不可能在一段速度范圍內(nèi)得到一個(gè)統(tǒng)一的精確值，只能是一個(gè)近似值，原因是空氣阻力大小與速度相關(guān).不同的實(shí)驗(yàn)方法得到的結(jié)果接近真實(shí)程度不同.相對(duì)利用落體實(shí)驗(yàn)方法取籃球末端速度間接測(cè)得籃球的空氣阻力系數(shù)來(lái)說(shuō)，利用信息技術(shù)獲取籃球下落過(guò)程的信息并加以處理得到的結(jié)果更為準(zhǔn)確.

利用信息技術(shù)求得籃球的空氣阻力系數(shù)基本方法是，用數(shù)碼攝像機(jī)拍攝籃球下落的視頻并用計(jì)算機(jī)軟件將視頻轉(zhuǎn)化為幀后獲取籃球下落的y—t數(shù)據(jù)，形成 Matlab的y—t線，并與理論的y—t線比較，最后確定籃球的空氣阻力系數(shù)k.由于籃球在下落過(guò)程中速率較小，可認(rèn)為籃球受到的空氣阻力f大小與速率v的一次方成正比，即f＝kv.

2 用攝像技術(shù)采集籃球下落不同時(shí)間所在位置的數(shù)據(jù)

一般的投籃過(guò)程，籃球的速度在2m/s～8m/s，平均為5m/s，因此在籃球下落的實(shí)驗(yàn)中，選擇從5m的高度開(kāi)始靜止釋放籃球.為了測(cè)出籃球下落過(guò)程在不同的等間隔時(shí)間所在的位置，在籃球下落路線的一旁放置一把長(zhǎng)標(biāo)尺（用工程卷尺），在距籃球下落路線垂直距離為28m處用一部數(shù)碼攝像機(jī)對(duì)球的下落情況進(jìn)行攝像.實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地四面有圍墻，能較好地避免空氣大的流動(dòng).環(huán)境溫度為29～31℃，氣壓為1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓.所選的籃球?yàn)閲?guó)標(biāo)新球，質(zhì)量是0.600kg.

攝像機(jī)攝錄畫(huà)面圖像速度為每幀相隔0.04s，在計(jì)算機(jī)上把拍攝到的籃球下落的視頻用軟件分解為一幀一幀的畫(huà)面.從籃球下落的瞬間起計(jì)時(shí)，每張畫(huà)面的時(shí)間是知道的，并且每個(gè)畫(huà)面經(jīng)適當(dāng)放大后能夠看清籃球所對(duì)應(yīng)標(biāo)尺的位置.實(shí)際取值時(shí)是以每隔0.08s取一次值.y坐標(biāo)以地面為原點(diǎn)，籃球下落起點(diǎn)坐標(biāo)y＝5.0m.記錄了通過(guò)攝像技術(shù)所得到的籃球下落過(guò)程每隔0.08s后所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值y.表1為多次實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的平均值.

表1 實(shí)驗(yàn)測(cè)量籃球下落時(shí)間值和對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值

3 利用Matlab對(duì)實(shí)驗(yàn)和理論圖線擬合確定k值

3.1 實(shí)驗(yàn)圖線

根據(jù)表1，利用Matlab可以描出相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)所得時(shí)間和坐標(biāo)的y—t線.由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定，曲線不變.

3.2 理論圖線

籃球在空氣中下落，設(shè)y坐標(biāo)軸方向向上，在速度不大的情況下所滿足的運(yùn)動(dòng)方程［6］是

式中，m為籃球質(zhì)量；k為空氣阻力系數(shù)；Fb為空氣浮力，因?yàn)榭諝赓|(zhì)量密度是1.29g/cm3，籃球體積為7749.6cm3，籃球質(zhì)量 m＝0.600kg，所以Fb/m＝0.17N/kg.

為了便于理論計(jì)算，令k＝mb，式（1）解得

式中，y是以地面為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)；y0是籃球靜止下落起始坐標(biāo)；g是重力加速度；t是時(shí)間（初始時(shí)間為t＝0）.根據(jù)式（2）利用 Matlab［7］編寫(xiě)程序，并根據(jù)時(shí)間t和下落的坐標(biāo)y可描出一條曲線，這是一條理論y—t線.為了對(duì)理論y—t線與實(shí)驗(yàn)y—t線比較，由Matlab將兩者同時(shí)描繪在同一個(gè)y—t圖上.通過(guò)調(diào)節(jié)b的數(shù)值，y—t線會(huì)變化.

3.3 圖線擬合和k值的確定

用理論上的y—t圖線與實(shí)驗(yàn)所得的y—t線進(jìn)行比較，不斷從理論上調(diào)整籃球的空氣阻力系數(shù)b值，每次的步進(jìn)為0.01，使理論圖線逼近實(shí)驗(yàn)圖線，在判斷兩者擬合程度達(dá)到最佳時(shí)，得到的b就十分接近實(shí)際數(shù)值（可手動(dòng)改變也可利用某個(gè)程序來(lái)改變）.見(jiàn)圖1，當(dāng)b＝0.88時(shí)，兩圖線擬合程度最好，但是不可能做到完全擬合.當(dāng)b的值偏離0.05時(shí)，兩圖線顯出明顯的偏差，因此得到的結(jié)果表示為b＝0.88±0.05.由此得籃球的空氣阻力系數(shù)k＝mb＝0.600×（0.88±0.05）＝0.53±0.3（kg/s）.

圖1 理論y—t圖線與實(shí)驗(yàn)y—t線

4 關(guān)于實(shí)驗(yàn)圖線與理論圖線偏差的討論

值得注意的是，無(wú)論如何擬合，由理論公式計(jì)算得到的理論圖線總是不能與實(shí)驗(yàn)圖線重合，沒(méi)有出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)在理論圖線兩側(cè)隨機(jī)分布的情況.雖然由于實(shí)驗(yàn)條件限制和主觀判斷不夠準(zhǔn)確使得實(shí)驗(yàn)不可避免存在一定的測(cè)量誤差，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值形成的實(shí)驗(yàn)圖線相當(dāng)光滑，因此可以確定實(shí)驗(yàn)圖線十分接近真實(shí)的籃球下落的y—t關(guān)系.這說(shuō)明，兩圖線的偏差不是由于實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差造成的，并且在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差相比兩圖線的偏差完全可忽略不計(jì).

造成這種圖線偏差的原因是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的受空氣阻力影響的物體運(yùn)動(dòng)理論存在問(wèn)題.但理論關(guān)系式中的式（2）是由式（1）嚴(yán)格推出的，而式（1）是牛頓第二定律的具體運(yùn)用，僅從力學(xué)關(guān)系看不存在問(wèn)題.傳統(tǒng)理論認(rèn)為，空氣阻力系數(shù)是一個(gè)常量，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)，空氣阻力與速度的一次方成正比；當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)速度較高時(shí)，與速度的二次方成正比.但實(shí)際上不可能存在于兩種情況之間的一個(gè)速度臨界值，因此嚴(yán)格意義的空氣阻力與速度的一次方或二次方成正比是沒(méi)有的，這是造成理論圖線與實(shí)驗(yàn)圖線無(wú)法完全重合的原因.

特別要說(shuō)明的是，除了兩圖線要求盡可能重合外，圖線的相似度（即斜率和斜率變化的近似程度）具有重要意義.無(wú)論是理論上還是實(shí)驗(yàn)上，直接影響籃球下落的行為有三個(gè)因素：初速度、重力大小和空氣阻力大小，其中初速度可通過(guò)之前籃球下落了一定距離獲得.重力大小在籃球整個(gè)下落過(guò)程是不變的，考慮截取實(shí)驗(yàn)圖線和理論圖線相互對(duì)應(yīng)的一個(gè)線段，當(dāng)各自線段的起始處有相同的斜率時(shí)，說(shuō)明起始處的初速度理論值和實(shí)驗(yàn)值相同，后面的斜率變化如果有偏移則一定是由空氣阻力差異造成的，如果沒(méi)有偏移那一定是空氣阻力的理論值等于實(shí)驗(yàn)測(cè)量值.在圖1中，兩圖線各自中間處附近線段相似度很高，說(shuō)明在兩對(duì)應(yīng)線段內(nèi)由理論圖線定取的空氣阻力系數(shù)k＝mb＝0.600×（0.88±0.05）＝0.53±0.3（kg/s）反映了實(shí)驗(yàn)的真實(shí)值.

5 結(jié)語(yǔ)

盡管實(shí)驗(yàn)圖線和理想圖線不可能做到完全重合，但在給出的偏差范圍值內(nèi)已足夠反映籃球在一定速度范圍內(nèi)的空氣阻力系數(shù)真實(shí)值.這一結(jié)果接近周雨青等人通過(guò)理論計(jì)算得出圓球類在速度為0～30m/s內(nèi)空氣阻力系數(shù)值是在0.5～0.06（kg/s）的范圍內(nèi)［4］.

［1］ 閻守勝.趣談球類運(yùn)動(dòng)的物理［J］.物理學(xué)與體育專題，2008

［2］ 鞠衍清.垂直下落球體運(yùn)動(dòng)的數(shù)值分析［J］.大學(xué)物理，2008，27（11）：11～13，17

［3］ http：//baike.baidu.com/view/95279.htm？fr＝ala0＿1＿1

［4］ 周雨青，葉兆寧，吳宗漢.球類運(yùn)動(dòng)中空氣阻力的計(jì)算和分析［J］.物理與工程，2001，21（1）：55～59

［5］ 梁兵，甘皓元.在實(shí)驗(yàn)室中利用自由落體測(cè)定空氣阻力系數(shù)［J］.白色學(xué)院報(bào)，2009，22（6）：58～60

［6］ 周衍柏.理論理論力學(xué)教程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，1986

［7］ 馬格雷伯.MATLAB原理與工程應(yīng)用（第二版）［M］.高會(huì)生譯.北京：電子工業(yè)出版社，2006

MEASURING AIR RESISTANCE COEFFICIENT OF BASKETBALL BASED ON INFORMATION TECHNOLOGY

Li Wugang Zhang Binling
（College of Physics and Electronics Engineering，Guangxi Teachers Education University，Nanning，Guangxi 530023）

In order to measure the air resistance coefficient of basketball，the video camera is used to shoot the whole process of falling vertically of a basketball.Some software is used to divide video into frames of picture，which help us to get the experimental data of a basketball falling with the time and the coordinates.By comparing the theory chart with the experiment chart with Matlab，approximation of the air resistance coefficient is determined to be k＝0.5±0.03.

basketball；falling body；air resistance coefficient；Matlab

2011－04－26）

廣西教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目（基于MATLAB的籃球最佳投擲角度的研究）.項(xiàng)目號(hào)：201106LX303.

李武鋼（1958年出生），男，廣西藤縣人，廣西師范學(xué)院副教授，主要從事物理教學(xué)和計(jì)算物理研究.