史曉棠，谷 峰

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

錐度量空間中兩對反交換映射的公共不動點定理

史曉棠，谷 峰

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

在錐度量空間的框架下，討論了兩對反交換映射的公共不動點的存在性和唯一性問題，證明了兩個新的公共不動點定理.我們的結(jié)果并不要求空間具有完備性，所得結(jié)果是前人某些已知結(jié)果的進一步改進和發(fā)展.

錐度量空間；反交換映射；公共不動點

1 引言及預(yù)備知識

2002年，呂中學(xué)［1］提出了反交換映射的概念，并證明了一個公共不動點定理.2007年，胡新啟等［2］進一步討論了度量空間中反交換映射對的公共不動點的存在性和唯一性問題.2007年，Huang和Zhang［3］引入了錐度量空間的概念并證明了錐度量空間中的壓縮映象原理.最近，李胃勝等［4］研究了錐度量空間中的反交換映射，證明了幾個新的公共不動點定理.本文在上述工作的基礎(chǔ)上，在不要求空間的完備性條件下，研究了錐度量空間中兩對反交換映射的公共不動點的存在性和唯一性問題，證明了兩個新的公共不動點定理.

定義1［5］設(shè)E是實Banach空間，如果P是E中某非空凸閉集，并且滿足下面兩個條件：

（1）x∈P，λ≥0?λx∈P

（2）x∈P，－x∈P?x＝θ，θ表示E中的零元素.則稱P是E中一個錐.

如果P的內(nèi)部非空，則稱P是一個體錐.

如果?δ＞0，使當(dāng)，x1∈P，x2∈P時，恒有，則稱P是正規(guī)的.

若E中任二元素x，y都存在上確界sup｛x，y｝，則稱錐P是極小的.

給定E中一個錐P后，則定義半序：x≤y（x，y∈E），如果y－x∈P.若x≤y，x≠y，則記x＜y；若y－x∈intP，則記x?y.

定義2［2］設(shè)X是非空集合，若映射d：X×X→E滿足下列3個條件：

（1）d（x，y）≥θ，?x，y∈X，而且d（x，y）＝θ當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)；

（2）d（x，y）＝d（y，x），?x，y∈X；

（3）d（x，z）≤d（x，y）＋d（y，z），?x，y，z∈X.

則稱d是X上的一個錐度量，（X，d）稱為錐度量空間.

（5）設(shè)f：X→X，x0∈X，若?｛xn｝?X，且xn→x（n→∞），有fxn→fx（n→∞），則稱f在x0處連續(xù).

定義3［3］稱f，g：X→X是反交換的，若存在x∈X，使fgx＝gfx?fx＝gx.

稱x∈X為f，g的交換點，若fgx＝gfx；

稱x∈X為f，g的公共不動點，若fx＝gx＝x；

稱映射A：P→P滿足條件（Φ）：若對?x＞θ，有θ＜A（x）＜x.

注1 顯然，fx＝gx＝x?fgx＝gfx，因此若f和g沒有交換點，則f和g沒有公共不動點.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)（X，d）為錐度量空間，f，g：X→X是一對反交換映射，且存在交換點.對?x，y∈X，當(dāng)w（x，y；f，g）＝sup｛d（fx，fy），d（fx，gy），d（fy，gy）｝＞θ時，有

其中A滿足條件（Φ），則f，g在X中存在唯一的公共不動點.

證明 設(shè)u是f和g的交換點，即fgu＝gfu，則由于f和g是反交換映射對，故有fu＝gu，從而fgu＝gfu＝ggu.

下證ggu＝gu.若不然，設(shè)ggu≠gu，則

由（1）得

矛盾.所以ggu＝gu，從而fgu＝gfu＝ggu＝gu.因此gu是f和g的公共不動點.

下證f和g的公共不動點唯一.事實上，設(shè)z也是f和g的一個公共不動點，且z≠gu，則

由（1）可得

矛盾.故gu是f和g唯一的公共不動點.證畢.

注2 定理1是文獻［2］中定理1相應(yīng)結(jié)果在錐度量空間中的進一步推廣.

定理2 設(shè)（X，d）為錐度量空間，f1，f2，g1，g2：X→X是4個自映射，且（f1，f2）與（g1，g2）分別是反交換映射對，均存在交換點.對?x，y∈X，當(dāng)w（x，y；f1，f2，g1，g2）＝s u p｛d（f1x，g1y），d（f1x，g2y），d（f2x，g1y），d（g1y，g2y），d（f1x，f2x）｝＞θ時，有

其中A滿足條件（Φ），則f1，f2，g1，g2在X中存在唯一的公共不動點.

證明 設(shè)u，v分別為（f1，f2）與（g1，g2）的交換點，即f1f2u＝f2f1u，g1g2v＝g2g1v，因（f1，f2）與（g1，g2）為反交換映射對，則f1u＝f2u，g1v＝g2v，從而有

下面證明f2u＝g2v.否則，若f2u≠g2v，則有

在（6）中取x＝u，y＝v，有

矛盾.從而有f2u＝g2v成立.

下證f2u是f2的不動點.否則，假設(shè)f2f2u≠f2u，則

在（6）中取x＝f2u，y＝v有

矛盾，故f2f2u＝f2u，即f2u為f2的不動點.

同理可證g2g2v＝g2v，即g2v為g2的不動點.

因f2u＝g2v，所以g1g2v＝g2g2v＝g2v，即g2v也是g1的不動點.

同理可證f2u也是f1的不動點.從而f2u＝g2v是f1，f2，g1，g2的公共不動點.

下證公共不動點的唯一性.

假設(shè)f1，f2，g1，g2存在兩個公共不動點，設(shè)為z1，z2，且z1≠z2則

矛盾，故z1＝z2，即f1，f2，g1，g2的公共不動點是唯一的.證畢.

注3 定理2是文獻［2］中定理2的相應(yīng)結(jié)果在錐度量空間中的進一步推廣.

注4 文獻［4］中的定理1是定理2中當(dāng)f1＝g1＝f，f2＝g2＝g時的特例.

［1］呂中學(xué).度量空間中反交換映射的公共不動點［J］.應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2002，4（3）：226－228.

［2］胡新啟，劉啟寬.度量空間中反交換映射的公共不動點［J］.數(shù)學(xué)雜志，2007，27：19－22.

［3］Huang Longguang，Zhang Xian.Cone metric space and fixed point theorems of contractive mappings［J］.J Math Anal Appl，2007，3321：468－1476.

［4］李胃勝，孫建紅，王東明.錐度量空間中反交換映射的公共不動點［J］.昆明理工大學(xué)學(xué)報：理工版，2010，35（6）：122－124.

［5］郭大鈞.非線性泛函分析［M］.濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

Common Fixed Point Theorem for Two Pairs of Converse Commuting Mappings in a Cone Metric Space

SHI Xiao－tang，GU Feng

（College of Sciencse，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

In the framework of cone metric space，this paper discussed the existence and uniqueness of common fixed point for two pairs of converse commuting mappings，and proved two new common fixed point theorems.The results do not require the space to be completeness，and these results are the further promotion of the previous results.

cone metric space；converse commuting mappings；common fixed point

O177 MSC2010：47H10；58C30

A

1674－232X（2012）05－0433－03

11.3969/j.issn.1674－232X.2012.05.010

2012－03－03

國家自然科學(xué)基金資助項目（11071169）；浙江省自然科學(xué)基金資助項目（Y6110287）；杭州師范大學(xué)研究生教改基金項目.

谷 峰（1960—），男，教授，主要從事非線性泛函分析及其應(yīng)用研究.E－mail：gufeng99＠sohu.com