郭 瓊，朱燕芝，馬云娟

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036）

一類(lèi)帶PML光波導(dǎo)中的共軛特征算子構(gòu)造

郭 瓊，朱燕芝，馬云娟

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036）

將無(wú)界三層帶有不平坦界面的光波導(dǎo)經(jīng)坐標(biāo)變換和完美匹配層截?cái)嘟妻D(zhuǎn)化為有界且?guī)в衅教菇缑娴墓獠▽?dǎo)，利用復(fù)Helmhotz方程求解波的傳播計(jì)算問(wèn)題，推導(dǎo)出了該復(fù)偏微分方程的共軛特征函數(shù)所滿(mǎn)足的方程，并論證了方程的特征函數(shù)與共軛特征函數(shù)正交之性質(zhì)，同時(shí)給出局部基下坐標(biāo)計(jì)算的簡(jiǎn)便公式.

完美匹配層；共軛特征函數(shù)；Helmholtz方程；局部坐標(biāo)變換；橫電波導(dǎo)

光波導(dǎo)在介質(zhì)中的傳播，在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為著名的Helmholtz方程.當(dāng)傳播區(qū)域或求解范圍有界時(shí)，Helmholtz方程的特征函數(shù)具有加權(quán)正交的性質(zhì)，因此可以采用步進(jìn)算法快速求解Helmholtz方程，并已取得了很好的數(shù)值解.然而，當(dāng)考慮傳播區(qū)域或求解范圍無(wú)界時(shí)，如無(wú)限深的海洋、上下無(wú)界的光傳播域，通常的數(shù)值方法對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的處理嚴(yán)重失效.

曾有人構(gòu)造了精確的邊界條件，將無(wú)界區(qū)域問(wèn)題化為有界問(wèn)題區(qū)域問(wèn)題，但此條件涉及到廣義積分，導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算上的困難.值得慶幸的是1994年引進(jìn)了完美匹配層，將無(wú)界求解區(qū)域截?cái)?、近似轉(zhuǎn)化為一個(gè)有界的區(qū)域[1－4]，而實(shí)的Helmholtz方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)復(fù)偏微分方程，這在數(shù)學(xué)上相當(dāng)于對(duì)Helmholtz方程作了一個(gè)復(fù)伸展變換.針對(duì)上述復(fù)偏微分方程，關(guān)于平坦界而的情形已推導(dǎo)出了與該方程的特征函數(shù)系正交的共軛特征函數(shù)系所滿(mǎn)足的方程[5－8]，并給出了特征函數(shù)系及其共軛特征函數(shù)系的解析表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)了不同局部基下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和方程變換的快速計(jì)算[9－10].

本文進(jìn)一步將研究推廣到彎曲界面情形，研究三層帶彎曲界面的無(wú)界光波導(dǎo)中共軛特征算子構(gòu)造，爭(zhēng)取得到更一般的結(jié)果.

1 特征方程及其性質(zhì)

光波導(dǎo)的波動(dòng)方程通?？梢院?jiǎn)化為Helmholtz方程：

其中

設(shè)折射率n（x）為分段函數(shù)：

TE情形下方程可簡(jiǎn)化為：

其中：h1（z），h2（z）是彎曲的內(nèi)界面，N表示界面的法向量.由于現(xiàn)有的步進(jìn)算法不適合彎曲界面情形，故首先需引入正交變換：＝g（z，x）＝f（z，x）.

式（2）定義在無(wú)界區(qū)域中，在這樣的前提下，如果采用數(shù)值計(jì)算，則離散的區(qū)域是無(wú)限的.此時(shí)需要增加一定的條件才能將無(wú)界的區(qū)域轉(zhuǎn)化為有界的區(qū)域來(lái)求解，因此可引入完美匹配層做為吸收介質(zhì)，使得當(dāng)波由區(qū)域內(nèi)通過(guò)界面?zhèn)鞯酵昝榔ヅ鋵訒r(shí)，一般不會(huì)發(fā)生反射.PML的引入，相當(dāng)于作了一個(gè)復(fù)伸展坐標(biāo)

本文需要解決的問(wèn)題中有兩個(gè)彎曲界面，這種彎曲的界面有兩種處理方式.一種是采用折線(xiàn)法近似代替原先的彎曲界面，這樣在每一個(gè)水平防線(xiàn)的小區(qū)間中，彎曲界面將被近似看成直線(xiàn)界面，因此就可以將原來(lái)整個(gè)彎曲界面求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列平坦小區(qū)間上的求解問(wèn)題.此方法易實(shí)現(xiàn)，但同時(shí)也帶來(lái)了一對(duì)矛盾，當(dāng)劃分不是非常小的時(shí)候，誤差將會(huì)很大，而如果想加密分點(diǎn)則會(huì)讓問(wèn)題的計(jì)算量變得非常大.另一種方法就是通過(guò)坐標(biāo)變換，將帶有彎曲界面的區(qū)域變換成平坦的界面.典型的坐標(biāo)變換法有3種：全局變換、局部非正交變換和局部正交變換.經(jīng)過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，采用局部正交變換可以使界面條件變得相對(duì)容易一些，同時(shí)新舊坐標(biāo)之間可以通過(guò)牛頓迭代來(lái)實(shí)現(xiàn).

下面討論局部正交變換.

（i）在下包層即 H1≤x≤h1（z）區(qū)域內(nèi)，取局部坐標(biāo)變換[6]：

2 特征問(wèn)題

其中αi，βi，γi，i＝1，2，3，4，見(jiàn)附錄.

其界面條件為

3 共軛特征算子的構(gòu)造

4 結(jié) 論

從Helmholtz方程出發(fā)，引入局部正交部變換和方程變換，將Helmholtz方程0轉(zhuǎn)化為，從而實(shí)現(xiàn)彎曲界面的平坦化.再引入PML將無(wú)界區(qū)域上的波傳播問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有界區(qū)域上的波傳播問(wèn)題.并構(gòu)造了算子L的共扼算子M，論證了算子L的特征函數(shù)與共軛算子M的特征函數(shù)具有正交性質(zhì).此方法在傳播計(jì)算中的更深入應(yīng)用有待進(jìn)一步開(kāi)發(fā).

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附 錄

Construction of Conjugate Characteristic Operator for a Class of the Optical Waveguides with PML

GUO Qiong，ZHU Yan-zhi，MA Yun-juan
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

The unbounded optical waveguide with three curved interfaces were converted into the bounded optical waveguide with flat interfaces by coordinate transform and terminated by the perfectly matched layer.The paper used the improved and complex Helmholtz equation to solve the wave propagation problem，deduced the equation for the conjugate eigenfunctions of improved and complex Helmholtz equation，proved the orthogonal property between the characteristic eigenfunctions and the conjugate eigenfunctions，and provided a simple formula for calculating the coordinates under the local bases.

perfectly matched layer；conjugate eigenfunction；Helmholtz equation；local coordinate transform；TE

O174.41 MSC2010：47H10；54H25

A

1674-232X（2012）04-0323-08

11.3969／j.issn.1674-232X.2012.04.008

2011-12-02

朱燕芝（1987—），女，應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)碩士研究生，主要從事科學(xué)計(jì)算研究.E-mail：lengyue1111＠163.com