吳躍生

(華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，江西南昌 330013)

圈C3的(r1，r2，r3)－冠都是優(yōu)美的

吳躍生

(華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，江西南昌 330013)

討論了圈C3的(r1，r2，r3)－冠的優(yōu)美性，用構(gòu)造性的方法給出了圈C3的(r1，r2，r3)－冠的優(yōu)美標(biāo)號(hào).證明了圈C3的(r1，r2，r3)－冠都是優(yōu)美的.

圈;冠;優(yōu)美圖

0 引言

本文所討論的圖均為無(wú)向簡(jiǎn)單圖，V(G)和E(G)分別表示圖G的頂點(diǎn)集和邊集.

定義1［1］在圖G每個(gè)頂點(diǎn)都粘接了r條懸掛邊(r≥1的整數(shù))所得到的圖，稱為圖G的r－冠.圖G的

1 －冠稱做圖G的冠.

定義2［2-12］V(G)=(v1，v2，…，vn)的每個(gè)頂點(diǎn)vi都粘接了ri條懸掛邊(ri≥0的整數(shù)，i=1，2，…，n)所得到的圖，稱為圖G的(r1，r2，…，rn)－冠，簡(jiǎn)記為G(r1，r2，…，rn).特別地，當(dāng)r1=r2=…=rn=r時(shí)，稱為圖G的r－冠.圖G的0－冠就是圖G.

定義3［1］對(duì)于一個(gè)圖G=(V，E)如果存在一個(gè)單射θ:V(G)→{0，1，2，…，E(G)}使得對(duì)所有邊e=(u，v)∈E(G)，由θ'(e)=θ(u)－θ(v)導(dǎo)出的E(G)→{1，2，…，E(G)}是一一對(duì)應(yīng)，則稱G是優(yōu)美圖，θ是G的一組優(yōu)美標(biāo)號(hào)，稱θ'為G的邊上的由θ導(dǎo)出的誘導(dǎo)值.

文獻(xiàn)［1］證明了圖P1∨Pn的優(yōu)美性以及圖P1∨Pn的r－冠的優(yōu)美性，并猜想:任意優(yōu)美圖的r－冠都是優(yōu)美圖.根據(jù)此猜想，文獻(xiàn)［13］－［14］證明了圈Cn(n≡0，3(mod 4))的r－冠是優(yōu)美的，文獻(xiàn)［2］－［7］討論了當(dāng)n=3，7，8，11，4 h，4h+3時(shí)，圈Cn的(r1，r2，…，rn)－冠的優(yōu)美性.文獻(xiàn)［8］－［11］討論了一些圖ωn，m的(r1，r2，…，rn+m－1)－冠的優(yōu)美性.文獻(xiàn)［12］、［15］、［16］討論了當(dāng)n=3，4，5，6時(shí)Cn⊙k1的(r0，r1，r2，…，rn)－冠的優(yōu)美性.本文討論了圈C3的(r1，r2，r3)－冠的優(yōu)美性.

1 主要結(jié)果及其證明

定理1設(shè)V(C3)=(v1，v2，v3)，與vi鄰接的端點(diǎn)(或葉)記為xi，j(vi∈V(C3)，j=1，2，…，ri)，r1，r2，r3為任意自然數(shù)，圈C3的(r1，r2，r3)－冠都是優(yōu)美的.

證明不妨設(shè)r2≥r3，定義圈C3的(r1，r2，r3)－冠的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)θ為:

當(dāng)rj=0時(shí)，xj，i=vj，j=1，2，3，i=1，2，…，rj，

(1)當(dāng)r2＞r3時(shí)

容易驗(yàn)證，θ':E(C3(r1，r2，r3))→{1，2，…，3+r1+r2+r3}是一一對(duì)應(yīng).

因此θ是圈C3的(r1，r2，r3)－冠的優(yōu)美標(biāo)號(hào).即圈C3的(r1，r2，r3)－冠是優(yōu)美圖.

在定理1中，令r1=r2=r3=0，有

推論1C3的0－冠即圈C3是優(yōu)美圖.

在定理1中，令r1=r2=r3=r，有

推論2圈C3的r－冠是優(yōu)美圖.

例1根據(jù)定理1，可以給出圈C3的(3，7，7)－冠的兩種優(yōu)美標(biāo)號(hào)(圖1、圖2).

［1］馬杰克.優(yōu)美圖［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1991.

［2］吳躍生，李詠秋.關(guān)于圈Cn的(r1，r2，…，rn)－冠(n=7，8)的優(yōu)美性［J］.阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，27(3):20－23.

［3］吳躍生，李詠秋.關(guān)于圈C11的(r1，r2，…，r11)－冠的優(yōu)美性［J］.長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，29(6):4－8.

［4］吳躍生，李詠秋.再探圈Cn的(r1，r2，…，rn)－冠(n=7，8)的優(yōu)美性［J］.阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，27(4):1－4.

［5］吳躍生，李詠秋.關(guān)于圈C3的(1，2a，2a+1)－冠的優(yōu)美性［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，19(4):1－2.

［6］吳躍生.關(guān)于圈C4h的(r1，r2，…，r4h)－冠的優(yōu)美性［J］.華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，28(1):77－80.

［7］吳躍生，李詠秋.關(guān)于圈C4n+3的(r1，r2，…，r4n)－冠的優(yōu)美性［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，32(6):1－4.

［8］吳躍生，李詠秋.關(guān)于圖ω4，4的(r1，r2，…，r7)－冠的優(yōu)美性［J］.宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，32(12):1－3.

［9］吳躍生，李詠秋.關(guān)于圖ω5，7的(r1，r2，…，r11)－冠的優(yōu)美性［J］.嘉應(yīng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，29(5):5－8.

［10］吳躍生，李詠秋.關(guān)于圖ω5，6的(r1，r2，…，r10)－冠的優(yōu)美性［J］.北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，25(2):60－6.

［11］吳躍生.關(guān)于圖ω4，6的(r1，r2，…，r9)－冠的優(yōu)美性［J］.宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，33(8):1－3.

［12］康芳茂，吳躍生.關(guān)于C6⊙k1的(r0，r1，r2，…，r6)－冠的優(yōu)美性［J］.懷化學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，30(5):8－10.

［13］陳淑貞.關(guān)于回路的r－冠的優(yōu)美性.海南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，10(1):29－31.

［14］胡紅亮.圖Cn及其r－冠的新的優(yōu)美標(biāo)號(hào)［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010，26(3):454－457.

［15］康芳茂，吳躍生.關(guān)于Cn⊙k1的r0(r0，r1，r2，…，rn)－冠(n=3，4)的優(yōu)美性［J］.贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，32(6):25－27.

［16］吳躍生，李詠秋.關(guān)于Cn⊙k1的(r0，r1，r2，…，rn)－冠(n=5)的優(yōu)美性［J］.喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，32(6):11－12.

The(r1，r2，r3)－Corona of Cycle C3Is Graceful

WU Yue-sheng

(School of Basic Science，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China)

The gracefulness of the(r1，r2，r3)－corona of the cycle C3is discussed.The graceful labeling is given.It is also proved that the(r1，r2，r3)－corona of the cycle C3is graceful.

cycle;corona;graceful graph

O157.5

A

1007－0834(2012)01－0015－02

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.01.005

2011－12－26

國(guó)家自然科學(xué)基金(11061014);江西省自然科學(xué)基金(20114BAB201010);華東交通大學(xué)校立科研基金(11JC05)

吳躍生(1959—)，男，江西瑞金人，華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院副教授，主要研究方向:圖論.