鄭文娜，欒紅霞，呂 晶，岳麗娟

（東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林長春 130024）

狀態(tài)觀測器法實(shí)現(xiàn)改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)同步

鄭文娜，欒紅霞，呂 晶，岳麗娟

（東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林長春 130024）

針對改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)，采用狀態(tài)觀測器同步方法，通過設(shè)計合適的狀態(tài)觀測器，實(shí)現(xiàn)了對改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)的同步控制.并設(shè)計出簡單的同步實(shí)現(xiàn)電路.實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析及數(shù)值模擬結(jié)果相符合，證明了該同步方法的有效性.

改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)；超混沌同步；狀態(tài)觀測器；電路實(shí)驗(yàn)

混沌同步一直是混沌研究領(lǐng)域的一個熱點(diǎn)問題.近年來，人們逐漸將目光轉(zhuǎn)移到超混沌系統(tǒng)的同步研究上.與低維系統(tǒng)相比，具有2個及2個以上正的Lyapunov指數(shù)的高維超混沌系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的動力學(xué)行為［1－3］，將其應(yīng)用于保密通訊及信息處理等方面，具有更高的保密性，它的研究范圍已經(jīng)擴(kuò)展到激光物理、化學(xué)反應(yīng)、生物醫(yī)學(xué)、電子線路和保密通信等各個領(lǐng)域，因此，研究超混沌系統(tǒng)的同步具有更重要的價值［4－7］.

隨著混沌同步研究的不斷深入，人們提出了多種方法來實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的同步，如驅(qū)動－響應(yīng)同步法、線性反饋同步法、自適應(yīng)同步法、脈沖同步法、狀態(tài)觀測器同步法等［8－14］.但是大多數(shù)的混沌同步研究都只是進(jìn)行了理論分析和數(shù)值模擬，本文采用狀態(tài)觀測器同步法，通過設(shè)計合適的狀態(tài)觀測器，實(shí)現(xiàn)了對改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)的同步控制，該方法不需要計算同步的條件Lyapunov指數(shù)，且同步時間較短.設(shè)計并搭建了同步實(shí)驗(yàn)電路，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析及數(shù)值模擬的結(jié)果基本一致，從而驗(yàn)證了該同步方法的有效性.

1 改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)

最近，申敏等人在三維Lü混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了一個新的超混沌系統(tǒng)，這個改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下［15］：

系統(tǒng)（1）中：x1，x2，x3和x4為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a，b，c和d為系統(tǒng)參數(shù).當(dāng)參數(shù)a＝35，b＝3，c＝12，d＝35時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為（0.537 9，0.233 0，0，－38.276 9），該系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).為了能夠有效地進(jìn)行電路實(shí)驗(yàn)，將系統(tǒng)（1）中的狀態(tài)變量x4壓縮10倍，則相應(yīng)的系統(tǒng)方程變?yōu)椋?/p>

根據(jù)系統(tǒng)（2），設(shè)計出改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)的電路，如圖1所示，電路中運(yùn)放采用LM741，乘法器采用AD534J，電源電壓為±12 V，其狀態(tài)方程為：

電路中的元件參數(shù)：R1＝R2＝2.9 kΩ，R4＝8.33 kΩ，R5＝R7＝1 kΩ，R6＝33.3 kΩ，R8＝28.6 kΩ，R3＝R9＝R10＝R11＝R12＝R14＝R15＝R16＝10 kΩ，C1＝C2＝C3＝C4＝0.01μF，搭建實(shí)驗(yàn)電路，利用示波器觀察到的超混沌吸引子如圖2所示.

圖1 改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)的電路圖

圖2 改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)的吸引子相圖

2 狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)同步

2.1 理論分析

基于狀態(tài)觀測器原理，非線性混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)為：

其中：A∈Rn×n；B∈Rn×m；D為待求的常數(shù)矩陣；AX為系統(tǒng)的線性部分；B F（X）為非線性部分［16］.由改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)（4）構(gòu)造的驅(qū)動系統(tǒng)為：

選取合適的B和D，使｜A－BD｜的特征值均具有負(fù)實(shí)部，則誤差系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定在零點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步.

在滿足（8）式的條件下，選取d1＝0，d2＝20，d3＝0，d4＝5，驅(qū)動系統(tǒng)（5）的初值x1（0）＝1，x2（0）＝－1，x3（0）＝1，x4（0）＝0，響應(yīng)系統(tǒng)（9）的初值y1（0）＝3，y2（0）＝2，y3（0）＝0，y4（0）＝1，同步誤差曲線如圖3所示.可以看出，當(dāng)t分別接近1.2，1，2.5和2 s時，誤差e1（t），e2（t），e3（t）和e4（t）已分別穩(wěn)定在零點(diǎn)，即驅(qū)動系統(tǒng)（5）與響應(yīng)系統(tǒng)（9）達(dá)到了同步.

圖3 驅(qū)動系統(tǒng)（5）和響應(yīng)系統(tǒng)（9）的同步誤差曲線圖

圖4 驅(qū)動系統(tǒng)（5）變量x2和響應(yīng)系統(tǒng)（9）變量y2同步相圖

2.2 電路實(shí)驗(yàn)研究

混沌同步電路的設(shè)計比較復(fù)雜，我們結(jié)合狀態(tài)觀測器的理論分析，充分利用了驅(qū)動系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)，并將同步電路中的比例、積分電路合二為一，設(shè)計出了改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)同步電路，用示波器觀察到兩系統(tǒng)達(dá)到了同步，其中驅(qū)動系統(tǒng)（5）變量x2和響應(yīng)系統(tǒng)（9）變量y2的同步結(jié)果如圖4所示，其超混沌電路如圖5所示，其中虛線框內(nèi)是響應(yīng)系統(tǒng)電路，元件參數(shù)：R17＝R18＝2.9 kΩ，R19＝10 kΩ，R20＝8.33 kΩ，R22＝33.3 kΩ，R21＝R23＝1 kΩ，R24＝28.6 kΩ，R33＝R34＝5 kΩ，R35＝R36＝20 kΩ，其他電阻值為10 kΩ，C5＝C6＝C7＝C8＝0.01μF.由圖4可見，利用狀態(tài)觀測器方法較好地實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步.

圖5 驅(qū)動系統(tǒng)（5）和響應(yīng)系統(tǒng)（9）同步的電路圖

3 結(jié)論

本文研究了改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器同步問題，利用狀態(tài)觀測器同步法，通過設(shè)計合適的狀態(tài)觀測器，實(shí)現(xiàn)了對改進(jìn)的超混沌Lü系統(tǒng)的同步控制，該方法不需要計算同步的條件Lyapunov指數(shù)，且同步時間較短.同時對混沌同步電路的設(shè)計問題進(jìn)行了研究，設(shè)計出結(jié)構(gòu)簡單且操作方便的同步實(shí)驗(yàn)電路，通過示波器觀察到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析及數(shù)值模擬的結(jié)果基本一致，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了該同步方法的有效性.

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Synchronization of improved hyperchaotic Lüsystem using the state observer method

ZHENG Wen－na，LUAN Hong－xia，LüJing，YUE Li－juan

（School of Physics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

The method of state observer synchronization is applied to the improved hyperchaotic Lü system.By designing a suitable state observer，the synchronization of improved hyperchaotic Lüsystem is realized.We design the simple synchronization circuit.The experimental results coincide with theoretical analysis and numerical value simulation.The effectiveness of the proposed method is demonstrated.

improved hyperchaotic Lüsystem；hyperchaotic synchronization；state observer；circuit experiment

O 415

120·20

A

1000－1832（2012）01－0072－05

2011－10－25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10847110）；吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（201115008）.

鄭文娜（1983—），女，碩士研究生；通訊作者：岳麗娟（1963—），女，副教授，主要從事非線性混沌控制與同步研究.

石紹慶）