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      不確定性超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)魯棒反同步

      2012-12-29 02:31:06李鐘慎傅桂元楊凱
      關(guān)鍵詞:華僑大學(xué)魯棒控制狀態(tài)變量

      李鐘慎,傅桂元,楊凱

      (華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院,福建 廈門 361021)

      不確定性超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)魯棒反同步

      李鐘慎,傅桂元,楊凱

      (華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院,福建 廈門 361021)

      針對(duì)一類具有外部不確定性的反同步問(wèn)題,提出一種自適應(yīng)魯棒控制方法.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制,設(shè)計(jì)自適應(yīng)魯棒控制器和參數(shù)的自適應(yīng)更新律;通過(guò)在輸入控制量中引入一補(bǔ)償項(xiàng)以消除不確定性的影響,實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)魯棒反同步,將系統(tǒng)的反同步誤差控制在任意小的范圍內(nèi).最后,通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證所提出控制方法的有效性.

      超混沌系統(tǒng);反同步;自適應(yīng);魯棒控制;不確定性

      同步是指具有相近或相同性質(zhì)的兩個(gè)或多個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),通過(guò)系統(tǒng)間的相互作用,使得在不同的初始條件下各自演化的動(dòng)力系統(tǒng)其狀態(tài)逐步接近,最后達(dá)到全同的狀態(tài),它是自然界的一種常見(jiàn)的現(xiàn)象[1].自Pecora和Corroll關(guān)于混沌同步的開創(chuàng)性工作[2]以來(lái),混沌同步得到了廣泛而深入的研究 .在諸多混沌同步中,反同步也是一個(gè)值得關(guān)注的現(xiàn)象.所謂反同步就是兩個(gè)混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量的絕對(duì)值相同但符號(hào)相反,即狀態(tài)變量的和為0的同步現(xiàn)象[3].超混沌系統(tǒng)一般為具有一個(gè)以上正的Lyapunov指數(shù)的混沌系統(tǒng),具有比低維混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性,使得實(shí)現(xiàn)超混沌的控制、同步(反同步)問(wèn)題成為一項(xiàng)更具有挑戰(zhàn)性的研究工作[4].文獻(xiàn)[5]提出了一種基于主動(dòng)控制和自適應(yīng)控制相結(jié)合的方法,實(shí)現(xiàn)對(duì)在參數(shù)已知和參數(shù)未知兩種情況下的兩超混沌系統(tǒng)的反同步控制.文獻(xiàn)[6]基于非線性控制實(shí)現(xiàn)兩不同結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的反同步.但是,至今含有不確定性的超混沌系統(tǒng)的反同步問(wèn)題的研究較少,而現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中不可避免要受到各種外部不確定性的影響 .因此,研究一類不確定性超混沌系統(tǒng)的反同步問(wèn)題具有重要的意義.本文設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)魯棒反同步控制器,實(shí)現(xiàn)一類具有外部擾動(dòng)不確定性異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的反同步.

      1 問(wèn)題描述

      考慮驅(qū)動(dòng)混沌系統(tǒng)具有的形式為

      式(1)中:系統(tǒng)狀態(tài)變量x∈Rn;x0為初始值;未知參數(shù)α∈Rm;f(x)為n×1矩陣;F(x)為n×m 矩陣,且Fi,j(x)∈L∞;不確定性項(xiàng)Δ=[Δ1,Δ2,…,Δn]T為n×1矩陣.假定不確定性項(xiàng)有界,且滿足‖Δi‖≤ρi(i=1,2,…,n ),ρi為已知常數(shù),則記ρ=[ρ1,ρ2,…,ρn]T.

      考慮響應(yīng)混沌系統(tǒng)的形式為

      式(2)中:系統(tǒng)狀態(tài)變量y∈Rn;y0為初始值,且x0≠y0;未知系統(tǒng)參數(shù)β∈Rq;g(y)為n×1矩陣;G(y)為n×q矩陣;且Gi,j(y)∈L∞;u∈Rn為系統(tǒng)的控制輸入.

      定義反同步誤差e=y(tǒng)+x,設(shè)計(jì)控制器u的控制目標(biāo)是使反同步誤差e滿足

      2 反同步控制器設(shè)計(jì)

      將式(1)與式(2)相加,可得系統(tǒng)的反同步動(dòng)態(tài)誤差方程為

      將式(5)沿動(dòng)態(tài)誤差系統(tǒng)(4)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),則可得

      當(dāng)選取控制器u為

      系統(tǒng)參數(shù)的自適應(yīng)律為

      則式(6)可寫成如下形式,即

      根據(jù)Young不等式

      則式(10)可改寫為

      令Γ=eTe,則Γ≥0.由于ε和k為任意正數(shù),則總是存在ε和k,使得其滿足:對(duì)?Γ>0,有此時(shí)˙V<0.因此,系統(tǒng)(4)將漸近穩(wěn)定于狀態(tài)空間原點(diǎn),系統(tǒng)的誤差將處在以為半徑的圓內(nèi),可以通過(guò)選取適當(dāng)?shù)摩?,k值,使誤差趨近于無(wú)窮小.此時(shí),有

      因此,對(duì)于被控動(dòng)態(tài)誤差系統(tǒng)(4),當(dāng)采用式(7),(8)所示的控制器及式(9)所示的參數(shù)自適應(yīng)律,則系統(tǒng)將漸近趨于零平衡點(diǎn),即響應(yīng)系統(tǒng)(2)將漸近反同步于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1).

      3 仿真實(shí)例

      以超混沌Chen系統(tǒng)[7]和超混沌Lü系統(tǒng)[8]為例,通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證該控制方法的有效性.

      3.1 系統(tǒng)描述

      假定超混沌Chen系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),寫成式(1)的形式,則可描述為

      式(13)中:Δ=[Δ1,Δ2,Δ3,Δ4]T為系統(tǒng)的外部擾動(dòng)不確定性項(xiàng),且Δi界限為已知,假定其值為Δ=[0.25sin(0.25πt),0.8cos(0.5πt),0.9sin(0.6πt),2cos(3πt)]T,則可得其界限ρ=[0.25,0.8,0.9,2]T.

      選取超混沌Lü系統(tǒng)為響應(yīng)系統(tǒng),寫成式(2)的形式,即

      式(14)中:u=[u1,u2,u3,u4]T為系統(tǒng)的控制輸入.當(dāng)選取系統(tǒng)參數(shù)a1=35,b1=3,c1=12,d1=7,r1=0.5時(shí),系統(tǒng)(13)表現(xiàn)為超混沌系統(tǒng)特性;而當(dāng)選取系統(tǒng)參數(shù)a2=36,b2=3,c2=20,r2=1時(shí),系統(tǒng)(14)在未施加控制u 的表現(xiàn)為超混沌系統(tǒng).系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)值^α=[^a1,^b1,^c1,^d1,^r(nóng)1]T,^β=[^a2,^b2,^c2,^r(nóng)2]T.

      定義系統(tǒng)的反同步誤差定義誤差為

      由式(13)和式(14)可得反同步誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為

      根據(jù)式(7),(8),(9)可得自適應(yīng)魯棒控制器為

      式(16)中:ki=k(i=1,2,3,4),ε均為任意大于零的常數(shù).系統(tǒng)參數(shù)的自適應(yīng)律為

      3.2 仿真結(jié)果

      選取超混沌Chen系統(tǒng)各狀態(tài)變量初值x1(0)=-2,x2(0)=-3,x3(0)=8,x4(0)=10;超混沌Lü系統(tǒng)各狀態(tài)變量的初值y1(0)=5,y2(0)=8,y3(0)=-1,y4(0)=-3,則反同步動(dòng)態(tài)誤差變量的初值為e1(0)=3,e2(0)=5,e3(0)=7,e4(0)=7,參數(shù)估計(jì)初值^α(0)=[4,6,8,10,3]T,^β(0)=[5,7,9,11]T;系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)k=5,ε=0.001.

      超混沌Chen系統(tǒng)(13)、超混沌Lü系統(tǒng)(14)的反同步各狀態(tài)變量的時(shí)間響應(yīng)曲線、反同步誤差曲線及各參數(shù)的估計(jì)值,分別如圖1,2,3所示 .從圖2中可以看出:在控制器(16)的作用下,系統(tǒng)的反同步誤差信號(hào)快速趨近于零.從圖3可知:隨著時(shí)間t的推移,系統(tǒng)的未知參數(shù)也逐漸收斂于穩(wěn)定值.

      圖1 超混沌系統(tǒng)各狀態(tài)變量的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.1 Curve about time response of each state of the hyperchaotic systems

      圖2 超混沌系統(tǒng)的反同步誤差曲線Fig.2 Curve of the anti-synchronization error of the hyperchaotic systems

      圖3 超混沌系統(tǒng)各參數(shù)的估計(jì)值Fig.3 Estimated value of the parameters of the hyperchaotic systems

      4 結(jié)束語(yǔ)

      研究一類具有外部擾動(dòng)不確定性的不同結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)反同步問(wèn)題.基于穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制,設(shè)計(jì)一種改進(jìn)的魯棒自適應(yīng)控制器,通過(guò)加入補(bǔ)償器,消除了不確定性的影響,從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的反同步及系統(tǒng)未知參數(shù)的辨識(shí).通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)參數(shù)ε,k,使系統(tǒng)反同步誤差趨于無(wú)窮小.以超混沌Chen系統(tǒng)和超混沌Lü系統(tǒng)為例,數(shù)值仿真結(jié)果證明了所提出的控制策略的有效性及具有較強(qiáng)的魯棒性.該控制方法應(yīng)用范圍廣泛,響應(yīng)速度較快.

      [1]傅桂元,李鐘慎.無(wú)源控制的超混沌Chen系統(tǒng)的自適應(yīng)同步[J].華僑大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,31(4):378-382.

      [2]PECORA L M CARROLL T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett,1990,64(8):821-824.

      [3]朱少平.不確定超混沌系統(tǒng)的反同步研究[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2011,47(10):145-145,175.

      [4]劉福才,李俊義,臧秀鳳.基于自適應(yīng)主動(dòng)及滑??刂频姆?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)反同步[J].物理學(xué)報(bào),2011,60(3):030504(1-9).

      [5]WANG Zuo-lei.Anti-synchronization in two non-identical hyperchaotic systems with known or unknown parameters[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2009,14(5):2366-2372.

      [6]Al-SAWALHA M M,NOORANI M S M.Anti-synchronization of two hyperchaotic systems via nonlinear control[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2009,14(8):3402-3411.

      [7]LI Yu-xia,TANK W K S,CHEN Guan-rong.Generating hyperchaos via state feedback control[J].Int J Bifurcat Chaos,2005,15(10):3367-3375.

      [8]CHEN Ai-min,LU Jun-an,LüJin-h(huán)u,et al.Generating hyperchaotic Lüattractor via state feedback control[J].Physica A,2006,364:103-110.

      Self-Adaptive Robust Anti-Synchronization of Hyperchaotic Systems with Unicertainties

      LI Zhong-shen,F(xiàn)U Gui-yuan,YANG Kai

      (College of Mechanical Engineering and Automation,Huaqiao University,Xiamen 361021,China)

      A novel self-adaptive robust control method is proposed to anti-synchronize a kind of hyperchaotic systems with different structures and external uncertainties.Based on Lyapunov stability theory and adaptive control,a self-adaptive robust controller is designed and the updating laws of unknown parameters are given as well.The self-adaptive antisynchronization is achieved by adding a compensator into the input to eliminate the influence of uncertainties,and the anti-synchronization error of a system is bounded within an arbitrarily small value.Numerical simulations are provided to demonstrate the effectiveness of the presented control scheme.

      hyperchaotic system;anti-synchronization;self-adaption;robust control;uncertainty

      O 19;TP 13

      A

      1000-5013(2012)02-0129-05

      2011-08-11

      李鐘慎(1971-),男,教授,主要從事先進(jìn)控制理論與控制工程的研究.E-mail:lzscyw@hqu.edu.cn.

      福建省自然科學(xué)基金計(jì)劃資助項(xiàng)目(2011J01350);華僑大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(JBZR1107)

      (責(zé)任編輯:黃曉楠 英文審校:鄭亞青)

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