“角的認識教學研究”校本教研活動方案(二)

　　一、 活動目標
　　1． 經(jīng)歷閱讀、思考、解答并與同事交流有關(guān)角的認識的相關(guān)資料與問題。
　　2． 進一步明確角的初步認識與角的再認識在教學目標上的不同。
　　3． 能夠合理選擇教學資源，進一步引導學生進行角的大小的比較，并幫助學生理解角、直角、銳角和鈍角的概念。
　　二、 活動內(nèi)容、形式與時間
　　1． 教研組每位教師獨立解答本方案中的相關(guān)問題，不集中，由教師自己抽時間書面解答問題，時間約2小時。
　　2． 與同事交流問題答案，時間約1小時。
　　3． 教研組確定兩個人分別上角的初步認識和角的再認識的教研課，其他老師聽課，時間約90分鐘。
　　4． 評課與交流。①結(jié)合聽課筆記，獨立寫出評課提綱，時間約15分鐘；②教師進行評課交流，時間約45分鐘。（教師可以在獨立寫出評課提綱的基礎(chǔ)上，先在年級組進行交流，并確定一人發(fā)言，代表年級組到全體數(shù)學教師交流會上發(fā)言。）
　　三、 活動前準備
　　每位教師各自解答下面的問題，并準備在年級組或全數(shù)學組交流。（注：以下帶有“*”號的問題，表示有一定的難度。）
　　1． 在小學階段，角的認識分為初步認識與再認識兩部分內(nèi)容。查一查《課標（2011年版）》和你們學校使用的教材，想一想以下哪些方面的要求體現(xiàn)了“初步認識”（在相應的括號內(nèi)寫1），哪些方面的要求體現(xiàn)了“再認識”（在相應的括號內(nèi)寫2）？
　?。?） 結(jié)合生活實際認識角，能知道角的“樣子”，不出現(xiàn)用文字表達的角的概念。（?。?br/>　　（2） 能夠通過擺一擺、折一折、做一做等活動，感受一個角是有大小的，兩個角可以比較大小。（?。?br/>　?。?） 能夠結(jié)合操作活動，體會角的大小與兩條邊張開的程度有關(guān)，能夠用重疊等方法比較角的大小。（?。?br/>　?。?） 明確角的概念，理解角是由兩條射線組成的圖形。角的“邊”沒有長短之分。（　）
　?。?） 知道角有一個頂點和兩條邊，并能結(jié)合具體的圖形，知道角各部分名稱。（　）
　?。?） 結(jié)合具體情境認識直角a435bbe2d3e2974ce1c1c5d7047fd0cc，能用三角板上的直角去判斷一個角是不是直角。（?。?br/>　　（7） 知道銳角和鈍角的名稱，并能夠運用直角，采用重疊的方法判斷一個角是銳角還是鈍角。（?。?br/>　?。?） 能夠根據(jù)大小為角分類，認識直角、銳角、鈍角、平角和周角，并能夠借助量角器量出角的大小。（?。?br/>　　2．*在教學角的初步認識時，常常需要出示一些現(xiàn)實生活中的實物或?qū)嵨锏膱D片，然后從這些物體中抽象出角（如上表圖形）。如果是你，會選用哪些物品？用多少件物品？你在選擇物品時，會考慮抽象出的角分別是銳角、直角與鈍角的情況嗎？會考慮角的靜態(tài)定義與動態(tài)定義這兩個因素嗎？
　　有位教師（吳月蘭，2009）查閱了國內(nèi)10套小學數(shù)學教材，發(fā)現(xiàn)這10套教材都呈現(xiàn)了三幅實物圖，并從中抽象出角。從各套教材所采用的實物圖來看，主要有如上面表格中所示的幾種。
　　你覺得教材所采用的這些實物圖，對學生理解角的概念合適嗎？
　　吳月蘭老師對上面這些實物圖的作用進行了分析，請你讀一讀下面的文字，你覺得她的主要觀點是什么？這樣分析有道理嗎？
　　“表格中呈現(xiàn)的水槽，城市里并不多見，對很多孩子來說，還是比較抽象，并不是一個好的選擇對象；而房子、五角星，這些對學生來說非常熟悉的物品，卻和水槽有著共同的弊端：圖中呈現(xiàn)的角太多，學生很難關(guān)注其中的一個，不利于學生去發(fā)現(xiàn)角的本質(zhì)特征；紅領(lǐng)巾雖然是孩子們非常熟悉的物品，但在他們心目中，紅領(lǐng)巾是軟的，可以隨意彎曲，對理解“角的邊是直的”可能會有負遷移。而三角尺是學生常用的學習用品，也是認識直角時的主要學習工具，具有典型性。利用三角尺來抽象出直角更接近學生的學習實際，并對后續(xù)直角的研究有一定的幫助。因此，有更多的教材傾向于選擇三角尺作為學生認識角的實物支撐。
　　從角的動態(tài)定義‘由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形叫做角’來看，角的原型還應刻畫兩條邊的張開度，剪刀、扇子、鐘面這些物體既能呈現(xiàn)靜態(tài)的角，又能比較好地刻畫角的動態(tài)變化過程，體現(xiàn)角的本質(zhì)特征，因此，也是實物圖的首選。”
　　3． 如果你在教學角的認識時，先出示實物圖，再從實物圖中抽象出角，那么你會先抽象出哪一類角？為什么？以下是北師大教材中，由實物圖抽象出角的順序。
　　你覺得這個順序合適嗎？為什么？
　　吳月蘭老師對10套教材中的三類角（銳角、直角、鈍角）的呈現(xiàn)順序進行了統(tǒng)計，如下表所示：
　　你認為不同的呈現(xiàn)順序都有一定的理由嗎？如果有，理由可能是什么？
　　4． 良好的課前導入對提高學生的學習興趣，吸引學生的注意力，起著重要的作用。請閱讀下文，并回答問題。
　　“角的初步認識”是一節(jié)概念的起始課，是學生在學校學習中，第一次正式接觸角的概念，這節(jié)課的導入歸納起來大致可以分為從數(shù)學內(nèi)部導入和從學生生活經(jīng)驗導入兩類。
　　所謂從數(shù)學內(nèi)部導入，就是關(guān)注數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系，由學生已經(jīng)有的與角有聯(lián)系的數(shù)學知識開始，逐步過渡到角的學習。例如：
　　導入方式一：
　　出示圖形：圓形、三角形、正方形、平行四邊形、橢圓形、梯形、五邊形。
　　提問：認識這些圖形嗎？你能給這些圖形分分類嗎？引導學生將圖形分成“有角”和“沒有角”的兩類。這些圖形上都有角，到底什么是角呢？這節(jié)課我們一起來——認識角。
　　導入方式二：
　　談話：同學們，在前面的數(shù)學學習中，咱們認識了很多圖形朋友！你還記得誰呢?（生：三角形、正方形……還有立方體、圓柱體……）今天，咱們來認識一個新的圖形朋友（出示角的圖片），你們認識它嗎？這節(jié)課我們來——認識角。
　　所謂從學生生活經(jīng)驗導入，即通過尋找學生原有生活經(jīng)驗中與角相關(guān)的內(nèi)容引入，逐步從學生的生活經(jīng)驗過渡到數(shù)學學習。例如：
　　導入方式三：
　　教師出示教材中的主題圖（或生活中有角的圖片），提問：你能在圖上找出角嗎？教師根據(jù)學生的回答，利用各種方法隱去實物圖，留下角。這節(jié)課我們就來——認識角。
　　導入方式四：
　　師（板書：角）：認識這個字嗎？你想到了什么？生：三角形，元、角、分中的角，牛角，羊角……（學生可能想到來自生活中所熟悉的各種各樣和角相關(guān)的原型）師：今天這節(jié)數(shù)學課，我們就來研究數(shù)學中的角。你認為數(shù)學中的角應該是什么樣的角呢？——板書：認識角
　　導入方式五：
　　師（出示圖片）：這是一場足球比賽，球進了！你們猜猜看，這個球可能是幾號球員踢進去的？為什么呢？（學生的回答中可能會涉及角度的問題）剛剛有同學提到角度問題，那么角度是怎么回事呢？什么是角呢？這節(jié)課我們就來學習數(shù)學中的——角。
　　問題（1）：上面兩類引入方式各有什么優(yōu)劣？
　　問題（2）：你喜歡或不喜歡上面的哪一種導入？為什么？
　　5． 以下是揭示角概念的兩個教學片段，你覺得哪個是教學角的初步認識？哪個是教學角的再認識？這兩個教學過程的主要差異是什么？
　　教學片段一：
　?。?） 指角。師（出示三角板）：三角板上有角嗎？你能指出它的三個角在哪里嗎？（生指角后，師教學如何指角）
　?。?） 找角。教師出示實物圖片讓學生找角，然后教師將實物圖片中的角抽象出來畫在黑板上。
　?。?） 創(chuàng)造角。師（拿出一張圓形或橢圓形紙片）：在這個圖形上有角嗎？你能想辦法在這張沒有角的紙片上，創(chuàng)造出一個角嗎？試試看?。ㄉ咳擞幸粡垐A形紙片）
　?。?） 感知角的特征、介紹角各部分名稱。師：剛才我們看到很多角，現(xiàn)在大家又創(chuàng)造出了許多角，看一看這些角，摸一摸你創(chuàng)造出的角，想一想這些角有什么共同的地方？
　?。?） 教師與學生在交流反饋中概括出角的特征：它們都有一個尖尖的地方（叫做角的頂點）、都有兩條直直的線（叫做角的邊）。一個角有一個頂點，兩條直直的邊。要判斷一個圖形是不是角，就要看它是否滿足以下兩個條件：①要有一個頂點；②要有兩條直直的邊。
　　教學片段二：
　?。?） 畫射線。讓學生在紙上點一個點，并要求從這一點出發(fā)畫射線，想一想可以畫多少條射線。
　?。?） 分離出角的圖。從射線圖中（如下圖），看一看、指一指有哪些角。如果要把一個個角單獨畫出來，可以怎樣畫？
　　（3） 觀察、歸納角的含義（靜態(tài)）。讓學生觀察這些角的共同點，并引導得出：每一個角都是由一點引出的兩條射線所組成的圖形。
　?。?） 演示、觀察、歸納角的含義（動態(tài)）。通過剛才的學習知道了兩條射線可以組成一個角。想一想，如果只有一條射線，怎樣做也能得到一個角呢？引導學生逐步歸納出動態(tài)角的含義。生1：轉(zhuǎn)一下就可以得到了。生2：要繞著端點轉(zhuǎn)一下才可以得到，否則可能會有兩個角。生3：轉(zhuǎn)前是這條射線的第一個位置，轉(zhuǎn)后是第二個位置，這兩個位置上的兩條射線可以組成一個角。生4：也就是這條射線開始的位置與終止的位置所組成的圖形才是角。最后師生共同完整表達角的動態(tài)定義。
　　6． 在角的初步認識教學時，你覺得讓學生做一個角會有利于他們理解角的概念嗎？以下是不同版本教材中呈現(xiàn)的“做角”方法，你會選擇哪一種方法在課堂上使用？為什么？
　?。?） 用兩根硬紙條做一個活動角。
　?。?） 用一張紙折一個角。
　　（3） 用兩根小棒搭一個角。
　?。?） 在釘子板上拉出一個角。
　?。?） 轉(zhuǎn)動鐘面上的時、分針得到一個角。
　?。?） 拉開紙扇得到一個角。
　　（7） 打開剪刀得到一個角。
　　有人認為，最簡便的做角方法是“用硬紙條做一個活動角”。并提出如下理由：①紙條是非常方便準備的教學用具，也最“實用”；②它有一個固定的端點，兩條邊可以繞著這個端點旋轉(zhuǎn)，便于學生進一步關(guān)注角的本質(zhì)——一個頂點，兩條邊；③紙條做的活動角可以隨意旋轉(zhuǎn)，可以轉(zhuǎn)出銳角、直角、鈍角、平角、周角甚至更大的角，為學生后繼的學習積累感性的經(jīng)驗；④在紙條張合的過程中容易讓學生體會到角的大小變化，也便于用重疊的方法比較角的大小。你覺得上述說法有道理嗎？想一想，用硬紙條做角有什么不足？
　　7． 你認為角的大小比較是一個教學難點嗎？如果是，你有什么辦法可以克服這個難點？對于下面的教學過程，你更喜歡哪一個？為什么？
　　教學過程一：
　?。?） 教師演示活動角，讓學生觀察其中的規(guī)律，如圖1所示。
　?。?） 每個學生用活動角進行演示，進一步感受角越來越大或越來越小的過程。
　　（3） 教師課件出示一個角，然后將角的邊不斷延長，讓學生觀察什么在變，什么不變。再將角的邊不斷縮短，讓學生觀察什么在變，什么不變。從而得出結(jié)論：角的大小與它畫出的邊的長短無關(guān)。
　　教學過程二：
　　（1） 課前教師準備了一副大的三角板，并讓每位學生也準備一副三角板。課上教師要求學生拿出與自己一樣的三角板（內(nèi)角分別為30°、60°、90°），并讓學生注意直角的大小是指哪里？每一個學生用手指一指（用手指角的兩邊張開的地方，教師自己也在大三角板上指一指）。師：老師手里的這塊三角板與你們手里的這塊相比，誰的大？你是怎么知道的？生：老師的這塊大，是看出來的，也可以把兩塊三角板重疊在一起比較。師：剛才老師與你們都指了自己這塊三角板上的這個角，是你們?nèi)前迳系倪@個角大，還是老師的大？你是怎么知道的？（引導學生用重疊的方法比較，教師拿自己的大三角板與學生的小三角板上的直角進行比較：頂點重合，一條邊重合，另一條邊也重合）讓學生發(fā)現(xiàn)兩個角一樣大。學生中有大小不一的三角板時，讓學生用他們的三角板再比較這兩個角的大小。教師分別把自己的三角板中的直角與學生的三角板中的直角畫到黑板上，讓學生觀察，說說這兩個角有大小指的是哪里；想一想，如果把它們重疊起來，會相等嗎？角兩邊的張開程度是一樣的嗎？從而得出：角的大小與畫出的邊的長短無關(guān)，與角的兩邊張開的程度有關(guān)。
　　同樣，教師分別把自己的三角板上的３０°角、６０°角與學生三角板上的30°角、60°角先進行實物比較，再畫到黑板上進行比較。進一步鞏固上面得到的結(jié)論。
　?。?） 教師出示圖2中的兩組角，讓學生想一想，并判斷每組中∠1與∠2兩個角的大小，說一說如何驗證判斷結(jié)論的正確性。
　　學生表達后，教師課件演示，用重疊的方法比較每組角的大小，驗證學生得出結(jié)論的正確性。
　?。?） 讓學生用兩張圓形紙片分別折出兩個大小比較接近的角，同桌相互判斷并用重疊的方法驗證。
　　8．*在角的再認識教學時，教師讓學生解決下面有關(guān)角的大小比較的問題，你覺得有什么教學價值？
　　問題（1）：想一想，圖3中的兩個角拼在一起，估計有多大？請你在紙上畫一個與圖3中∠1+∠2的和相等的角。
　　問題（2）：請估計圖3中∠1+∠2的和與圖4中的∠3誰大，怎樣驗證你估計的正確性？
　　啟發(fā)學生用重疊的方法比較，可以將圖3中的兩個角撕下來，拼到圖4中，可以有兩種不同的重疊方法比較出大小（兩種拼法），如圖5所示。
　　你覺得讓學生解決上述問題有以下的教學價值嗎？
　?。?） 有利于培養(yǎng)學生的空間觀念。
　?。?） 有利于學生體會角的“可加性”。
　?。?） 為解決三角形內(nèi)角和問題奠定了基礎(chǔ)。
　　9． 你覺得在認識直角、銳角和鈍角時，最先應該認識的是哪類角？最后認識的應該是哪一類角？理由是什么？
　　以下是認識直角、銳角和鈍角的教學片段，請你寫一寫每個環(huán)節(jié)的設(shè)計意圖。
　　環(huán)節(jié)1：認識實物中的“直角”。
　?。?） 課上教師拿出一塊直角三角板（內(nèi)角分別為30°、60°、90°）。讓學生注意哪個是直角（先不出直角名），問學生這是一個角，它的大小指的是哪里？學生說后，教師在大三角板上指角的大小，并小結(jié)像這樣的角我們稱之為直角。
　?。?） 讓每位學生也拿出與之一樣的三角板，并找到這塊三角板上的直角，用手指一指這個直角的大小。
　?。?） 找一找數(shù)學書封面上的四個角，用三角板上的直角分別去比一比，看一看它們的大小是否相等？從而得出：數(shù)學書封面上有四個直角。想一想語文書封面上的四個角會是什么角？
　　環(huán)節(jié)2：認識圖形中的直角。
　?。?） 如果把三角板上的直角畫到紙上，會是什么樣子的？讓每個學生動手畫。畫好后，同桌相互看一看，你們畫出的直角有什么異同點？相同點：樣子一樣；大小一樣。不同點：畫出的邊有長有短。
　?。?） 教師在黑板上畫直角，讓學生觀察。教師先把三角板靠到黑板上，讓學生觀察直角在哪里，然后畫出直角。依次出現(xiàn)圖６所示的五個直角。學生觀察得出，相同點：樣子一樣；大小相等；都是直角。不同點：放的地方不同；畫出的邊的長短不同。學生比較后，教師畫上直角的符號，并告訴學生，當一個角是直角時，我們可以在它表示大小的地方畫上這樣的符號，以表示這是一個直角。
　　環(huán)節(jié)3：認識銳角與鈍角。
　　教師出示圖7，讓學生觀察并進行分類。
　　學生可能有不同的分類方法，教師可以引導學生與直角比較進行分類。可以分成兩類：是直角的一類，不是直角的一類；也可以分成三類：比直角小的一類，與直角相等的一類，比直角大的一類。從而教師引出銳角與鈍角的概念。
　　環(huán)節(jié)4：進一步認識銳角與鈍角。
　?。?） 先讓學生想好要折多大的銳角，再用圓形紙片折。先想好要畫一個比折出的銳角大一點的銳角，再在紙上畫出一個銳角。同桌相互交流，看一看同伴折出的、畫出的角是銳角嗎？為什么？引導學生從定義出發(fā)思考，并與直角比一比大小。
　?。?） 同桌相互看一看折出的和畫出的銳角，它們的大小相等嗎？不同大小的銳角可以畫出多少個？進而得出：銳角有很多個，它們可以大小不同。
　?。?） 與上面（1）和（2）兩個教學過程相類似，讓學生進一步認識鈍角。
　?。?） 讓每一個學生分別用折出的銳角與鈍角，輕輕地在手背上刺一刺，說一說有什么感受。進一步體會“銳”與“鈍”的含義。
　?。?） 教師用活動角從小到大、從大到小演示從銳角逐步到鈍角、從鈍角逐步到銳角的過程，讓學生觀察并說一說發(fā)現(xiàn)了什么。
　　（6） 師生共同總結(jié)：①直角、銳角與鈍角是三類不同的角。②所有直角的大小都相等；銳角可以有無數(shù)個，所有的銳角都比直角??；鈍角可以有無數(shù)個，所有的鈍角都比直角大。
　　10．* 下面是角的初步認識和角的再認識的兩個教學流程，但流程中沒有寫出比較具體的操作過程。請你把這兩個教學流程寫具體。（你可以參考本文和上一期（第6期）角的認識活動方案（一）的內(nèi)容）
　　角的初步認識主要教學流程：
　　（1） 出示實物圖并抽象出角。
　　（2） 教學角的特征和各部分名稱。
　　（3） 教學如何指一個角。
　　（4） 用圓形紙片創(chuàng)造一個角。
　?。?） 判斷一些圖形是不是角。
　　（6） 教學畫角。
　?。?） 認識直角與畫直角。
　　（8） 說一說生活中的角與直角。
　?。?） 做一個活動角。
　　（10） 教學一個角的大小和兩個角比較大小。
　　（11） 回顧與總結(jié)。
　　角的再認識主要教學流程：
　　（1） 認識直的線和曲的線。教師課件演示：一個點運動，讓學生觀察并畫出這個點運動后形成的線，然后對這些線進行分類。
　?。?） 認識直線與射線。復習線段并把它的一個端點去掉，讓線向一個方向延長，讓學生想象，出示射線概念，并出示直線的概念。
　?。?） 總結(jié)歸納線段、射線與直線的特征。
　?。?） 通過一點畫射線，并抽象出角。
　?。?） 教學角的靜態(tài)定義和角的記法。
　　（6） 教學角的動態(tài)定義。
　?。?） 教學兩個角的大小比較。
　　（8） 教學兩（或三）個角的和與一個角比大小。
　?。?） 回顧與總結(jié)。
　　11．* 角的認識教學屬于概念教學的范疇，對于概念教學已經(jīng)有許多的研究成果。美國的數(shù)學教育家杜賓斯基提出了數(shù)學概念教學的四個階段理論，簡稱為APOS理論。請閱讀以下材料并回答問題：
　　杜賓斯基提出數(shù)學概念分為四個遞進的階段，分別是：活動（Action）—過程（Process）—對象（Object）—概型（Scheme），這也是學生學習數(shù)學概念的四個層次。對于角概念的教學來說，“活動階段”是學生理解角概念的一個必要條件，通過“活動”讓學生親身體驗、感受角概念的直觀背景和概念間的關(guān)系。“過程階段”是學生對“活動”進行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，學生在頭腦中對活動進行描述和反思，抽象出角的概念所特有的性質(zhì)?！皩ο箅A段”是通過前面的抽象，認識到角概念的本質(zhì)，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，并在以后的學習中以此為對象去進行新的活動?！案判碗A段”的行程要經(jīng)過長期的學習活動來完善，起初的概型包含反應概念的特例、抽象過程、定義以及符號，經(jīng)過學習建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。
　　結(jié)合四階段理論，從角的認識中學生對角概念的理解可以分為如下四個階段：①活動階段：從圖形、圖案或者生活場景中找到“角”，并大致形成一個印象：“像這樣的圖形就是角?！蓖ㄟ^活動和比較，感受到角的大小。②過程階段：對“角”這樣的圖形進行描述和反思，找到角的共同特征：這些角上都有尖尖的一個“頭”，還有兩條直直的線。③對象階段：在活動與過程階段的基礎(chǔ)上抽象出角的定義，真正理解什么是角，以及為什么兩條邊之間分合程度的變化是角的大小，并通過學習，能夠度量、比較角的大小。④概型階段：分析角與其他知識之間的聯(lián)系，以及利用角概念解決問題。
　　問題（1）：你閱讀了上面四階段理論后，覺得這樣的教學理論對你的教學實踐是否有指導作用？為什么？
　　問題（2）：依據(jù)上面的四階段理論，你覺得“角的初步認識”與“角的再認識”這兩節(jié)課，學生在角概念理解的層次上有什么區(qū)別？
　?。ㄒ陨匣顒臃桨钢袉栴}的相應參考答案略）
　?。ㄕ憬『贾菔猩铣菂^(qū)教育學院　31000