在“雞兔同籠”問題的教學(xué)中，教師通常會將我國古代《孫子算經(jīng)》的簡單介紹附加到教學(xué)過程中，意圖在于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)歷史中的文化因素。這種想法固然好，但這種“附加”式的介紹對于實現(xiàn)這樣的目的很難有實質(zhì)性的作用。為了變“附加”為“融入”，讓數(shù)學(xué)史中的知識與文化更好地發(fā)揮育人功能，教師就需要對數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容做較為廣泛、深入的了解。
　　“雞兔同籠”問題在我國古代可以說源遠流長，從問題的敘述到問題的算法都經(jīng)歷了不同形式的變化，了解這些內(nèi)容對于課程內(nèi)容的編制和教學(xué)設(shè)計會有所裨益。
　　一、 《孫子算經(jīng)》中的“雉兔同籠”
　　“雞兔同籠”問題始見于公元3～4世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》，該書作者不詳。從清代的《子部集成?科學(xué)技術(shù)?數(shù)理化學(xué)?孫子算經(jīng)?孫子算經(jīng)（宋刻本）?卷下》中看，“雞兔同籠”問題的敘述為：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何?！保郏保荩ㄒ妶D1）
　　其中的“雉”是“野雞”的意思，“幾何”是“多少”的意思。用現(xiàn)在的語言可以把這個問題敘述為：“雞和兔在同一個籠子中，總頭數(shù)為35，總足數(shù)為94。問雞和兔各有多少只？”《孫子算經(jīng)》中對這個問題的解法分為如下的四個步驟：
　　第一步：上置三十五頭，下置九十四足
　　我國古代是用算籌進行計算的，所謂“算籌”就是用于計算的小棒，是古人用于計算的一種工具。這里所說的“上置三十五頭，下置九十四足”，就是把題目中的頭數(shù)“35”和足數(shù)“94”用小棒分別擺在上面的位置（上位）和下面的位置（下位）。（見圖2）
　　古人用算籌表示數(shù)時，擺放方式分縱式和橫式兩種。通常用縱向小棒擺放個位數(shù)字，橫向小棒擺放十位數(shù)字，以后依次縱橫交替擺放。比如“35”就擺放成如圖３形式。
　　如果橫向擺放的數(shù)大于5，就用縱向小棒代表5，比如圖2中的“”就表示5＋4＝9。
　　第二步：半其足得四十七
　　意思是求出下位總足數(shù)94的一半等于47。圖2就變成了圖4的形式。
　　圖4中“”上面的橫向小棒表示“5”，下面兩條縱向小棒表示“2”，因此“”表示5＋2＝7。
　　第三步：上三除下三，上五除下五
　　這里的“除”是“除去”或“減少”的意思，“上三除下三”就是“從下位四十七中除去與上位相同的三十”，“上五除下五”就是“從下位四十七中除去與上位相同的五”。（見圖5）
　　用現(xiàn)在的語言說，就是從47中減去35為12，得到兔子的只數(shù)。這一過程在《孫子算經(jīng)》的“術(shù)”中叫做“以少減多再命之”（見圖1），意思是以少減多之后，下位“總足數(shù)”的含義發(fā)生了改變，需要重新命名，也就是把“總足數(shù)”重新命名為“兔頭數(shù)”。（見圖5）
　　第四步：下有一除上一，下有二除上二即得
　　與前面類似，這句話的意思是用總只數(shù)35減去兔只數(shù)12就得到雞的只數(shù)了。上位的“總頭數(shù)”需要重新命名為“雞頭數(shù)”。（見圖6）
　　以上算法的合理性并不難理解。總足數(shù)94取半成為47，此時相當(dāng)于所有雞都成為了金雞獨立的“獨足雞”，所有兔都站立起來成為了“雙足兔”。此時每只雞的頭數(shù)和足數(shù)都是1，每只兔的頭數(shù)是1，足數(shù)是2，所以用47減去總頭數(shù)35就得到兔的只數(shù)是12。最后用總頭數(shù)35減去12就得到雞的只數(shù)?！秾O子算經(jīng)》中把這一算法概括為：“上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭即得?！辈环练Q此方法為“半足法”，右上的表格可以更加清晰地呈現(xiàn)這一過程。
　　二、 《算法統(tǒng)宗》中的“雞兔同籠”
　　“雞兔同籠”問題后來又收錄于明代程大位（1533年～1606年）所著《算法統(tǒng)宗》第八卷的“少廣章”。［２］（見圖7）
　　其中對問題的敘述把“雉”改為了“雞”，因此“雞兔同籠”的說法沿用至今。《算法統(tǒng)宗》中對問題給出了兩種算法，這兩種算法與《孫子算經(jīng)》中的算法是不一樣的，相當(dāng)于現(xiàn)在所說的“假設(shè)法”。第一種算法的過程為：
　　第一步：“置總頭倍之得七十”，意思是將總頭數(shù)35加倍，也就是乘2，得到70。
　　第二步：“與總足內(nèi)減七十余二四”，也就是從總足數(shù)94中減去70得到24。
　　第三步：“折半得一十二是兔”，將24折半（也就是24除以2），得到12，這就是兔的只數(shù)。
　　第四步：“以四足乘之得四十八足”，用每只兔的足數(shù)4乘12，得到兔的總足數(shù)48。
　　第五步：“總足減之余四十六足為雞足”，用總足數(shù)94減去兔的總足數(shù)48得到46，就是雞的總足數(shù)。
　　第六步：“折半得二十三”，將雞的總足數(shù)46折半（46除以2），就得到雞的只數(shù)為23。
　　另外一個算法是先求雞的只數(shù)，與前面先求兔只數(shù)的程序基本相同，這一算法可以用下面表格的形式呈現(xiàn)出來。
　　《算法統(tǒng)宗》中關(guān)于“雞兔同籠”問題的兩個算法，在書中概括為兩句話：“倍頭減足折半是兔”和“四頭減足折半是雞”（見圖7）。第一句話的意思是把求兔只數(shù)的過程分為了倍頭、減足和折半三個步驟，“倍頭”就是把總頭數(shù)35加倍變成70；“減足”是用總頭數(shù)94減去70得到24；“減半”就是取24的一半得到兔子的只數(shù)為12。這個過程寫成如今的算式就是：
　?。ǎ梗矗常怠?）÷２＝１２（只）
　　第二句話的意思是把求雞只數(shù)的過程分為了四頭、減足和折半三個步驟，“四頭”就是用4乘總頭數(shù)35得到140；“減足”是用140減去總足數(shù)94得到46；與求兔只數(shù)的過程類似，“折半”就是取46的一半得到雞的只數(shù)23。寫成算式就是：
　?。ǎ常怠粒矗梗矗拢玻剑玻常ㄖ唬?br/>　　這樣的過程顯然與《孫子算經(jīng)》中的“半足法”不同，半足法首先將總足數(shù)減半。這里的第一步是用每只雞或兔的足數(shù)（2或4）去乘總頭數(shù)，因此不妨把這個方法叫做“倍頭法”。不難發(fā)現(xiàn)，“倍頭法”背后的道理其實就是現(xiàn)在所說的“假設(shè)法”。
　　《算法統(tǒng)宗》中的雞兔同籠問題出現(xiàn)于該書第八卷中，實際上在之前的第五卷中就已經(jīng)出現(xiàn)了與“雞兔同籠”問題數(shù)量關(guān)系類似的“米麥問題”：“今有米麥五百石，共價銀四百零五兩七錢，只云米每石價八錢六分，麥每石價七錢二分五厘。問米麥各若干?！保郏常荩ㄒ妶D8）
　　用現(xiàn)在的語言敘述就是：“有大米和小麥共500石，總價格為405.7兩。大米每石價格為0.86兩，小麥每石價格為0.725兩。問大米和小麥各有多少石？”
　　《算法統(tǒng)宗》中給出的算法為：“置米麥五百石，以米價八錢六分乘之得四百三十兩，減去共價余二十四兩三錢為實，以米價內(nèi)減麥價余一錢三分五厘為法，除之得麥一百八十石，卻以米麥五百石內(nèi)減麥數(shù)余三百二十石為米數(shù)，各以原價乘之合問?！保ㄒ妶D9）
　　其中的“實”與“法”分別表示現(xiàn)在所說的“被除數(shù)”和“除數(shù)”。這一算法用現(xiàn)在的語言可以解釋為，首先用大米和小麥的總數(shù)500與米的單價0.86相乘得到430兩，然后減去實際總價格405.7，得到24.3兩作為被除數(shù)，大米單價與小麥單價相減的差0.135兩作為除數(shù)，除得的結(jié)果就是小麥有180石，用總數(shù)500減去180就得到大米數(shù)量為320石。寫成算式就是：
　?。?.86×500-405.7）÷（0.86-
　　0.725）＝180（石）
　　500－180＝320（石）
　　不難看出，這一算法與前面解決“雞兔同籠”問題的“倍頭法”是一樣的?！端惴ńy(tǒng)宗》中將這一算法命名為“貴賤差分法”。在“米麥問題”中，大米是貴物，小麥?zhǔn)窍鄬τ谫F物的賤物，所謂“貴賤差分法”就是一種能夠?qū)⒍邊^(qū)分開的方法?！端惴ńy(tǒng)宗》對這一方法的解釋為：“差分貴賤法尤精，高價先乘共物，情卻用都錢減今數(shù)，余留為實，甚分明別將二價也相減，用此余錢為法，行除了先為低物價，自余高價物方成?！币馑际钦f：“差分貴賤法很精確，先用貴物單價與總數(shù)量相乘，而后減去實際總價格，這個差作為被除數(shù)，貴、賤物單價的差作為除數(shù)，除得的結(jié)果就是賤物的數(shù)量，而后不難求出貴物數(shù)量。”
　　三、 《鏡花緣》中的“燈球問題”
　　在清代李汝珍所著《鏡花緣》［４］的第九十三回“百花仙即景露禪機　眾才女盡歡結(jié)酒令”中，也出現(xiàn)了兩個與“雞兔同籠”問題數(shù)量關(guān)系類似的問題。這兩個問題均出現(xiàn)于眾才女在小鰲山賞燈時的情景中。
　　問題1：樓下燈有兩種：一種一大球，下綴二小球；另一種一個大球，下綴四個小球。大燈球共三百六十個，小燈球共一千二百個。問兩種燈各有多少？
　　問題2：樓上燈有兩種，一種上做三大球，下綴六小球，計大小球九個為一燈；（另）一種上做三大球，下綴十八小球，計大小球二十一個為一燈。大燈球共三百九十六個，小燈球共一千四百四十個。問兩種燈各多少？
　　書中才女蘭芬對問題1給出的解答為：“將小燈球一千二百折半為六百，以大球三百六十減之，余二百四十，是四小球燈二百四十盞；于三百六十內(nèi)除二百四十，余一百二十，是二小球燈一百二十盞?！边@一解法與《孫子算經(jīng)》中“雉兔同籠”的“半足法”相同，先將1200個小燈球減半為600個，然后用600減去大燈球個數(shù)360得到240，這就是四小球的燈數(shù)。再用大燈球個數(shù)360減去240得到120，就是二小球的燈數(shù)。寫成算式就是：
　　1200÷2＝600
　　600－360＝240
　　360－240＝120
　　蘭芬對問題2的解法為：“先將一千四百四十折半為七百二十，以大球三百九十六減之，余三百二十四，用六歸，……得五十四，是綴十八小球燈五十四盞；以三乘五四，得一百六十二，減大球三百九十六，余二百三十四，以三歸之，得七十八，是綴六小球燈數(shù)目。”
　　簡單地說，就是先將小燈球數(shù)1440減半（1440÷2＝720），之后用720減去大燈球數(shù)量396得到324（720－396＝324），用6除324得到54（324÷6＝54）；用3乘54得162（54×3＝162），用大燈球數(shù)396減去162得234（396－162＝234），最后用3除234等于78（234÷3＝78），就是綴六個小球的燈的個數(shù)。這一算法顯然是采用了《孫子算經(jīng)》中的“半足法”，而不是《算法統(tǒng)宗》中的“倍頭法”。
　　在日本的數(shù)學(xué)教科書中有一個叫做“鶴龜算”的問題，［5］這一問題的原型其實就是中國古代的“雞兔同籠”問題。1815年在日本出版的《算法點竄指南錄》中記載的“鶴龜算”問題為：“某處有鶴龜百頭，只云足數(shù)和為二百七十二，問鶴龜各幾何？”其解法為：
　　“置龜之足數(shù)（4），減鶴足數(shù)（2），以余為法（4－2＝2），置某處鶴龜之?dāng)?shù)（100），乘以龜足數(shù)（１００×４＝４００），得四百，又減總足數(shù)（400－272＝128），得余數(shù)一百二十八，用法除之（128÷2＝64），得六十四，此為鶴之?dāng)?shù)?！保郏叮葸@一解決方法與《算法統(tǒng)宗》中的“倍頭法”是一致的。
　　我國古代數(shù)學(xué)文獻中的內(nèi)容，通常是以問題及其算法的方式呈現(xiàn)的，很少有關(guān)于算法的道理的論述。問題的算法通常叫做“術(shù)”，類似于西方數(shù)學(xué)教育中所說的“程序性知識（Procedural Knowledge）”，指的是解決問題的工具和操作程序。前面介紹的算籌就是算法的工具，操作步驟就是程序。對于“雞兔同籠”問題的解決，無論是《孫子算經(jīng)》中的“半足法”，還是《算法統(tǒng)宗》中的“倍頭法”，都具有“只敘術(shù)，不講理”的特點。
　　由此帶來的問題是，學(xué)習(xí)者可以按照操作程序解決問題，但不明白為什么可以這樣操作的道理，也就是缺少了“概念性理解（Conceptual Understanding）”。因此，教師將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，就需要對數(shù)學(xué)史內(nèi)容背后的道理進行研究，挖掘“術(shù)”背后的思維因素，也就是要回答“怎樣想出方法”這樣的問題。這些問題將在后續(xù)文章中繼續(xù)討論。
　　注釋及參考文獻：
　?。郏保荨∫裕簼h唐典藏. 子部集成?科學(xué)技術(shù)?數(shù)理化學(xué)?孫子算經(jīng)?孫子算經(jīng)（宋刻本）?卷下.
　?。郏玻荨∫裕簼h唐典藏. 子部集成?類書集成?古今圖書集成?歷象匯編?歷法典?第一百二十卷?算法統(tǒng)宗八?少廣章第四下.
　?。郏常荨∫裕簼h唐典藏.子部集成?類書集成?古今圖書集成?歷象匯編?歷法典?第一百十七卷?算法統(tǒng)宗五.
　?。郏矗荨∽⑨專骸剁R花緣》是清代才學(xué)小說的代表作，其中融入了諸如地理、歷史、生物、數(shù)學(xué)、醫(yī)藥、水利、商業(yè)、神話、文學(xué)、音韻、藝術(shù)、游戲、星相等。作者李汝珍（約1763～1828）終生未舉，小說中所寫內(nèi)容很多是他自身的研究成果?！剁R花緣》前五十回寫武則天時期落第秀才唐敖、商人林之洋、船工多九公游歷海外幾十個國家的故事，通過夸張、想象寄寓了作者對于政治、社會、文化的批判和理想。后五十回寫武則天取中的一百名才女相聚游戲、呈技斗藝的故事。
　　［５］　參見：李淑文.日本新編中學(xué)數(shù)學(xué)教材的特點評析 ［Ｊ］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報， 2003.11.
　?。郏叮荨⒁姡海廴毡荆萜缴街B. 代欽譯. 東西數(shù)學(xué)物語［Ｍ］. 上海教育出版社， 2005. 3（1）：49.
　?。ㄊ锥紟煼洞髮W(xué)初等教育學(xué)院　10004