小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)嗎?

　　一、 引言：小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)嗎？
　　在一個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的交流群里，有一個(gè)帖子引發(fā)了不少小學(xué)教師的討論。這個(gè)帖子是“課本上說小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，既然小學(xué)已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，那么，將小數(shù)問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)問題來處理就行了，為什么還要學(xué)習(xí)小數(shù)呢？”教師中主要有兩種觀點(diǎn)：一種觀點(diǎn)是，小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)，在日常生活中有廣泛的運(yùn)用，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)一下是有必要的；另一種觀點(diǎn)是，小數(shù)不是特殊的分?jǐn)?shù)，它是獨(dú)立于整數(shù)和分?jǐn)?shù)之外的第三種數(shù)，它的意義和運(yùn)算與整數(shù)和分?jǐn)?shù)都有較大差異，因而需要專門學(xué)習(xí)。
　　小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)嗎？筆者帶著疑問查閱了一些相關(guān)書籍，得到比較有代表性的的答案是：人們?yōu)榱藨?yīng)用上的方便，把十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫成不帶分母的形式，并且按照十進(jìn)制的進(jìn)位原則把個(gè)位右邊的第1位、第2位、第3位、……分別表示十分位（計(jì)數(shù)單位是）、百分位（計(jì)數(shù)單位是）、千分位（計(jì)數(shù)單位是）、……并在個(gè)位和十分位之間加一個(gè)標(biāo)記“．”，這樣十進(jìn)分?jǐn)?shù)就可以寫成與整數(shù)相仿的形式。比如，3=3++=3.24。像3.24這樣不帶分母，按照十進(jìn)制的位制原則寫出來的十進(jìn)分?jǐn)?shù)叫做十進(jìn)小數(shù)，簡(jiǎn)稱小數(shù)。［1］
　　同時(shí)，筆者還查閱了現(xiàn)行人教版、北師大版、蘇教版和北京版的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書。遺憾的是，這些教科書都沒有明確給出小數(shù)的定義，而僅僅是一種描述性說明。有意思的是，這些說明幾乎相同，其中比較有代表性的是這樣的： ［2］
　　首先給出一些具體的生活實(shí)例，把1米平均分成10份，一份是1分米，也就是米，可以表示成0.1米，三份是3分米，也就是米，可以表示成0.3米，……把1米平均分成100份，一份是1厘米，也就是米，可以表示成0.01米，三份是3厘米，也就是米，可以表示成0.03米，……
　　然后給出小數(shù)的描述性意義：“分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示。小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是十分之一、百分之一、千分之一……分別寫作0.1、0.01、0.001……相鄰計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是10?！?br/>　　由此，似乎可以認(rèn)為：小數(shù)就是不帶分母的十進(jìn)分?jǐn)?shù)，小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)?，F(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)和各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書也正基于此，在學(xué)習(xí)小數(shù)的意義之前，簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)一下分?jǐn)?shù)的意義。課標(biāo)制定者和教科書編寫者們似乎認(rèn)為，有了分?jǐn)?shù)的一般意義做基礎(chǔ)，學(xué)生似乎更容易理解小數(shù)的意義。
　　然而，情況果真如此嗎？筆者聽了一節(jié)四年級(jí)“小數(shù)的意義”的新授課，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況并非如此。教師將一張紙條平均分成10份，取出一份用分?jǐn)?shù)表示是，寫成小數(shù)是 0.1；取出兩份用分?jǐn)?shù)表示是，寫成小數(shù)是 0.2，學(xué)生很容易就認(rèn)可了這一點(diǎn)?？僧?dāng)教師給學(xué)生一張空白紙片，讓學(xué)生畫出自己喜歡的小數(shù)時(shí)，問題就出現(xiàn)了。一些學(xué)生將紙片平均分成6份，選擇一份涂上顏色，用分?jǐn)?shù)表示是，用小數(shù)表示還是0.1或者不寫小數(shù)。筆者問了一個(gè)不寫小數(shù)的學(xué)生，他回答道：“如果＝0.1，＝0.1，就會(huì)出現(xiàn)＝，這與原來學(xué)過的＞ 矛盾?！?br/>　　這個(gè)案例在一定程度上說明，從分?jǐn)?shù)入手認(rèn)識(shí)小數(shù)，教學(xué)效果并不理想。原因是多方面的，除了教師和學(xué)生方面的人為因素外，我們還需要思考知識(shí)本身的原因，即像課本上這樣認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義是否恰當(dāng)，是否符合數(shù)學(xué)邏輯，是否揭示了小數(shù)的真實(shí)意義。
　　不難發(fā)現(xiàn)，按照這種觀點(diǎn)描述的僅僅是有限小數(shù)，僅僅是我們觀念中的小數(shù)的一部分。除了有限小數(shù)外，還有很多無(wú)限小數(shù)（高等數(shù)學(xué)中還可以證明，無(wú)限小數(shù)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有限小數(shù)的個(gè)數(shù)），像0.333…、圓周率π等都是無(wú)限小數(shù)。而0.333…=不是由十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫的，而π是一個(gè)無(wú)理數(shù)，更不能用分?jǐn)?shù)表示。
　　由此可見，小數(shù)并非一種特殊的分?jǐn)?shù)。上述資料和教科書對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)是存在缺陷的，這或許是導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)時(shí)出現(xiàn)上述問題的原因之一。因此，為了讓學(xué)生順利學(xué)習(xí)和更深刻地理解小數(shù)的意義，我們需要從數(shù)學(xué)上真正認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義，并由此科學(xué)地設(shè)計(jì)和實(shí)施“小數(shù)意義”的教學(xué)。
　　二、 小數(shù)的意義
　　回顧一下小數(shù)的歷史，將有助于我們更好地認(rèn)識(shí)小數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。
　　（一） 小數(shù)的歷史
　　在人類歷史上，認(rèn)識(shí)和使用小數(shù)比分?jǐn)?shù)晚得多，最早認(rèn)識(shí)小數(shù)的是我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽。公元3世紀(jì)，他在《九章算術(shù)注》的《少?gòu)V章》中的“開方術(shù)”中說：“微數(shù)無(wú)名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細(xì)，……”他的意思是說，“在開平方求無(wú)理根的近似值時(shí)，得到方根的整數(shù)值以后，繼續(xù)依法開方求出微數(shù)”，這里的“微數(shù)”就是指小數(shù)。［3］
　　按照劉徽的注解，設(shè)被開方數(shù)為n，其平方根的整數(shù)部分為a，剩余部分為r，那么有=a. …r。繼續(xù)求微數(shù)，以a1為第一個(gè)數(shù)字，就把它作為分子，以10做分母（“一退以十為母”），再求一次得到數(shù)字a2，把a(bǔ)2作為分子，以100做分母（“再退以百為母”）。依次求下去，比如第k次開盡，這樣得到的分?jǐn)?shù)++…+即為開得的小數(shù)部分，進(jìn)而=a. a1a2…ak。
　　由于中國(guó)古代的計(jì)算依靠算籌來進(jìn)行，所以小數(shù)只有文字表示。例如，用T寸＝1表示6.21寸。到了13世紀(jì)，元朝數(shù)學(xué)家劉瑾把小數(shù)部分降低一格，比如將61.62表示為┴1┴＝，這是世界上最早的小數(shù)表示法。
　　1585年，比利時(shí)工程師斯蒂文（S.Stevin）出版了小冊(cè)子《十進(jìn)小數(shù)》，比較系統(tǒng)地闡述了小數(shù)理論，并創(chuàng)建了一種表示小數(shù)的方法。他用小圓圈把整數(shù)部分與小數(shù)部分隔開，小數(shù)部分后面畫一個(gè)小圓圈，在小圓圈內(nèi)標(biāo)記小數(shù)的位數(shù)，比如將23.86表示成23?專8①6②或者23?專8①6②。［4］
　　小數(shù)點(diǎn)的記號(hào)，也經(jīng)歷了比較復(fù)雜的過程。1530年，德國(guó)的數(shù)學(xué)家魯爾多夫（C.Rudolff）用一根豎線將小數(shù)部分與整數(shù)部分隔開，比如他將23.86表示為23｜86。1614年，英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier）用逗號(hào)將小數(shù)部分與整數(shù)部分分開，比如23.86表示為23，86。1593年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克拉維斯（C.Clavius）用“.”表示小數(shù)點(diǎn)，他是最早用小圓點(diǎn)表示小數(shù)點(diǎn)的人。
　　到19世紀(jì)末，小數(shù)的寫法還有很多種形式，比如，2.5就可以寫成25、2’｜5、2?5、2’5、2Δ5、2，5、2.5等。［1］現(xiàn)在，世界各國(guó)關(guān)于小數(shù)點(diǎn)的使用大體分為兩派：歐洲大陸派，以德國(guó)、法國(guó)和俄羅斯等為代表，將小數(shù)點(diǎn)用逗號(hào)表示，小圓點(diǎn)作為乘法的符號(hào)；英美派，用小圓點(diǎn)表示小數(shù)點(diǎn)，逗號(hào)用作分節(jié)號(hào)。我國(guó)對(duì)小數(shù)點(diǎn)的記法傾向于后者，用小圓點(diǎn)表示小數(shù)點(diǎn)。
　?。ǘ?小數(shù)的意義
　　從劉徽發(fā)明小數(shù)的思想來看，是按照整數(shù)的計(jì)數(shù)原則，將小于1的數(shù)也用類似于整數(shù)的形式表達(dá)出來。對(duì)此，20世紀(jì)知名數(shù)學(xué)家柯朗（P.Courant）進(jìn)行了更深刻的闡述：“把一個(gè)單位區(qū)間分成10，然后100，1000等等個(gè)相等的線段，這樣得到的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著十進(jìn)位小數(shù)?！粋€(gè)十進(jìn)位小數(shù)f，如果在小數(shù)點(diǎn)之后還有n個(gè)數(shù)碼，可以寫成f=z+a1×10-1+a2×10-2+…＋an×10-n，這里z是一個(gè)整數(shù)，而ai是表示十分之一、百分之一等等的數(shù)碼——0、1、2、…、9”。［5］
　　由此可見，小數(shù)的本質(zhì)是整數(shù)的延續(xù)，都是十進(jìn)制數(shù)。也就是說，以1為基本單位，向大小兩個(gè)方向延伸得到整數(shù)和小數(shù)：?jiǎn)挝?向大的方向延伸，10個(gè)1構(gòu)成十，10個(gè)十構(gòu)成百，10個(gè)百構(gòu)成千，……單位1向小的方向延伸，把1平均分成10份，一份就是0.1（相當(dāng)于十分之一），再把0.1平均分成10份，一份就是0.01（相當(dāng)于百分之一），……所以，一個(gè)十進(jìn)制整數(shù)或者小數(shù)
　　np…n2n1n.m1m2…mq
　　=np×10p+…+n2×102+n1×101+n×100+m1×10-1+m2×10-2+…＋mq ×10-q
　　其中，ni，mi（i＝０，１，２…）為0～9這十?dāng)?shù)字之一。
　　小數(shù)的這一本質(zhì)意義，體現(xiàn)了小數(shù)四則運(yùn)算與整數(shù)四則運(yùn)算的高度相似性和整數(shù)與小數(shù)表示數(shù)目的直觀性。
　　三、 小數(shù)的教學(xué)
　　“小數(shù)意義”的教學(xué)需要讓學(xué)生明白：小數(shù)的本質(zhì)是十進(jìn)制數(shù)，是整數(shù)的延伸，而不是分?jǐn)?shù)的附庸。因此，教學(xué)的重點(diǎn)就是要讓學(xué)生理解“小數(shù)是自然數(shù)的單位1沿著小的方向延伸產(chǎn)生的數(shù)，相鄰計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率為10”。
　?。ㄒ唬?類比引入小數(shù)
　　師：目前我國(guó)使用的人民幣中，最常用的單位是……
　　生：元。
　　師（出示一張１元的人民幣）：這是1元，如果三張這樣的人民幣就是……
　　生：3元。
　　師：10張這樣的人民幣是……
　　生：10元。
　　師（拿出一張拾元的人民幣）：一張拾元的人民幣就等于10張１元的。（拿出10張拾元的人民幣）這是……
　　生：100元。
　　師（拿出一張百元的人民幣）：一張百元的相當(dāng)于10張拾元的，相當(dāng)于100張１元的。拾元、百元都是比元更大的面值，有沒有比元更小面值的人民幣呢？
　　生：有，角和分。
　　師：角是怎么得來的？角有什么用？
　　生：把１元平均分成10份，每份就是1角，也就是“1元等于10角”。角表示比元更小的單位，就是不足1元時(shí)，可以用角來支付。
　　師：一個(gè)空礦泉水瓶子的價(jià)值為1角，一個(gè)作業(yè)本的價(jià)格為5角，用元作單位可以怎么表示？
　　生：分別是0.1元和0.5元。
　　師：6個(gè)礦泉水瓶的價(jià)值為多少元？
　　生：0.6元。
　　師：0.5元、0.6元里面有幾個(gè)0.1元？
　　生：5個(gè)，6個(gè)。
　　師：有比角更小的貨幣單位嗎？如果有，它是怎么得來的？
　　生：有，分。把１角平均分成10份，1份就是1分，也就是1角＝10分。
　　師：一張作業(yè)本紙的價(jià)值約為1分，一張A4打印紙的價(jià)值約為4分，一張創(chuàng)可貼的價(jià)值約為25分。如果用元作單位，它們可以表示為多少元呢？
　　生：分別是0.01元、0.04元和0.25元。
　　師：0.04元、0.25元里面有幾個(gè)0.01元？
　　生：4個(gè)，25個(gè)。
　?。ㄔu(píng)析：通過生活實(shí)例，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，人們?cè)诙攘课矬w的時(shí)候，總把容易感知的量作為單位“1”，然后依據(jù)十進(jìn)制發(fā)展出大數(shù)目的位置系統(tǒng)。然而社會(huì)生活中有時(shí)還需要比單位“1”更小的單位，人們還可以按照十進(jìn)制的原則產(chǎn)生更小的單位。）
　?。ǘ?理解小數(shù)的意義
　　師（出示一把米尺，沒有刻度）：這把尺子的長(zhǎng)度為1米，用它來測(cè)量課本的長(zhǎng)度，行嗎？
　　生：不行，課本長(zhǎng)度遠(yuǎn)不夠一米，看不出長(zhǎng)度。
　　師：怎么辦呢？
　　生：把它平均分成10段，每一段是0.1米，看看能不能測(cè)量？
　　師：（換了一把已經(jīng)平均分成10份的尺子，并測(cè)量課本的長(zhǎng)度為兩格）那么課本的長(zhǎng)度是多少呢？
　　生：兩個(gè)0.1米，即0.2米。
　　師：現(xiàn)在用這把尺子來測(cè)量課本的寬度，可以嗎？
　　生（量一量，一格多一些）：不行。
　　師：那怎么辦呢？
　　生：把每一格分成10個(gè)小格，再來測(cè)量。
　　師：現(xiàn)在這把尺子每小格的長(zhǎng)度是多少？課本的長(zhǎng)度是多少？
　　生：0.01和0.15，0.15里面有15個(gè)0.01。
　　師：測(cè)量一下課桌的長(zhǎng)度和寬度，看看結(jié)果是多少？并說明里面有幾個(gè)0.1和0.01？
　　生：長(zhǎng)0.6米，里面有6個(gè)0.1，60個(gè)0.01。寬0.45米，里面有45個(gè)0.01，它里面有4個(gè)0.1還多一些。
　　師：根據(jù)前面這些例子，請(qǐng)你說一說，0.1和0.01是怎么從１得到的？
　　生：把1平均分成10份，每份就是0.1；把1平均分成100份，每份就是0.01，而且0.1等于10個(gè)0.01。
　　師：假如我想要表示0.001呢？
　　生：那就把1平均分成1000份，一份就是0.001。
　　（評(píng)析：根據(jù)實(shí)際需要，創(chuàng)造小數(shù)來度量物體的長(zhǎng)度，以解決相關(guān)問題；通過現(xiàn)實(shí)體驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生體味到小數(shù)是在已有數(shù)學(xué)概念不夠用的基礎(chǔ)上自然引進(jìn)的，由此產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求，進(jìn)而抽象概括出小數(shù)的意義。）
　　四、 結(jié)束語(yǔ)：重視對(duì)數(shù)學(xué)概念的真正理解
　　由于種種原因，小學(xué)數(shù)學(xué)教科書和教學(xué)參考書不可能把每個(gè)數(shù)學(xué)概念都表述得非常清楚和準(zhǔn)確。當(dāng)按照教科書上描述的概念進(jìn)行教學(xué)時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生在一些關(guān)鍵內(nèi)容的理解上出現(xiàn)偏差，教師需要考慮一下教科書對(duì)該概念的表述是否準(zhǔn)確。這時(shí)，教師可以查閱一下相關(guān)的權(quán)威書籍，或者了解一下該數(shù)學(xué)概念的發(fā)展歷史，以便準(zhǔn)確了解所教數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)意義。如果發(fā)現(xiàn)教科書上對(duì)概念的表述不是十分準(zhǔn)確，教師需要修正教科書上的錯(cuò)誤，用適當(dāng)?shù)姆绞綄?zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念教授給學(xué)生。因此，無(wú)論是教師的教，還是學(xué)生的學(xué)，都需要對(duì)數(shù)學(xué)概念有真正的理解。否則，教和學(xué)的效果將會(huì)大打折扣。
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　　（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院　100048
　　山西省太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系　03001