一、 引言:小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)嗎?
在一個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教師的交流群里,有一個(gè)帖子引發(fā)了不少小學(xué)教師的討論。這個(gè)帖子是“課本上說小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù),既然小學(xué)已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù),那么,將小數(shù)問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)問題來處理就行了,為什么還要學(xué)習(xí)小數(shù)呢?”教師中主要有兩種觀點(diǎn):一種觀點(diǎn)是,小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù),在日常生活中有廣泛的運(yùn)用,系統(tǒng)地學(xué)習(xí)一下是有必要的;另一種觀點(diǎn)是,小數(shù)不是特殊的分?jǐn)?shù),它是獨(dú)立于整數(shù)和分?jǐn)?shù)之外的第三種數(shù),它的意義和運(yùn)算與整數(shù)和分?jǐn)?shù)都有較大差異,因而需要專門學(xué)習(xí)。
小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)嗎?筆者帶著疑問查閱了一些相關(guān)書籍,得到比較有代表性的的答案是:人們?yōu)榱藨?yīng)用上的方便,把十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫成不帶分母的形式,并且按照十進(jìn)制的進(jìn)位原則把個(gè)位右邊的第1位、第2位、第3位、……分別表示十分位(計(jì)數(shù)單位是)、百分位(計(jì)數(shù)單位是)、千分位(計(jì)數(shù)單位是)、……并在個(gè)位和十分位之間加一個(gè)標(biāo)記“.”,這樣十進(jìn)分?jǐn)?shù)就可以寫成與整數(shù)相仿的形式。比如,3=3++=3.24。像3.24這樣不帶分母,按照十進(jìn)制的位制原則寫出來的十進(jìn)分?jǐn)?shù)叫做十進(jìn)小數(shù),簡(jiǎn)稱小數(shù)。[1]
同時(shí),筆者還查閱了現(xiàn)行人教版、北師大版、蘇教版和北京版的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書。遺憾的是,這些教科書都沒有明確給出小數(shù)的定義,而僅僅是一種描述性說明。有意思的是,這些說明幾乎相同,其中比較有代表性的是這樣的: [2]
首先給出一些具體的生活實(shí)例,把1米平均分成10份,一份是1分米,也就是米,可以表示成0.1米,三份是3分米,也就是米,可以表示成0.3米,……把1米平均分成100份,一份是1厘米,也就是米,可以表示成0.01米,三份是3厘米,也就是米,可以表示成0.03米,……
然后給出小數(shù)的描述性意義:“分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示。小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是十分之一、百分之一、千分之一……分別寫作0.1、0.01、0.001……相鄰計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是10?!?br/> 由此,似乎可以認(rèn)為:小數(shù)就是不帶分母的十進(jìn)分?jǐn)?shù),小數(shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)?,F(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)和各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書也正基于此,在學(xué)習(xí)小數(shù)的意義之前,簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)一下分?jǐn)?shù)的意義。課標(biāo)制定者和教科書編寫者們似乎認(rèn)為,有了分?jǐn)?shù)的一般意義做基礎(chǔ),學(xué)生似乎更容易理解小數(shù)的意義。
然而,情況果真如此嗎?筆者聽了一節(jié)四年級(jí)“小數(shù)的意義”的新授課,發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況并非如此。教師將一張紙條平均分成10份,取出一份用分?jǐn)?shù)表示是,寫成小數(shù)是 0.1;取出兩份用分?jǐn)?shù)表示是,寫成小數(shù)是 0.2,學(xué)生很容易就認(rèn)可了這一點(diǎn)??僧?dāng)教師給學(xué)生一張空白紙片,讓學(xué)生畫出自己喜歡的小數(shù)時(shí),問題就出現(xiàn)了。一些學(xué)生將紙片平均分成6份,選擇一份涂上顏色,用分?jǐn)?shù)表示是,用小數(shù)表示還是0.1或者不寫小數(shù)。筆者問了一個(gè)不寫小數(shù)的學(xué)生,他回答道:“如果=0.1,=0.1,就會(huì)出現(xiàn)=,這與原來學(xué)過的> 矛盾?!?br/> 這個(gè)案例在一定程度上說明,從分?jǐn)?shù)入手認(rèn)識(shí)小數(shù),教學(xué)效果并不理想。原因是多方面的,除了教師和學(xué)生方面的人為因素外,我們還需要思考知識(shí)本身的原因,即像課本上這樣認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義是否恰當(dāng),是否符合數(shù)學(xué)邏輯,是否揭示了小數(shù)的真實(shí)意義。
不難發(fā)現(xiàn),按照這種觀點(diǎn)描述的僅僅是有限小數(shù),僅僅是我們觀念中的小數(shù)的一部分。除了有限小數(shù)外,還有很多無(wú)限小數(shù)(高等數(shù)學(xué)中還可以證明,無(wú)限小數(shù)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有限小數(shù)的個(gè)數(shù)),像0.333…、圓周率π等都是無(wú)限小數(shù)。而0.333…=不是由十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫的,而π是一個(gè)無(wú)理數(shù),更不能用分?jǐn)?shù)表示。
由此可見,小數(shù)并非一種特殊的分?jǐn)?shù)。上述資料和教科書對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)是存在缺陷的,這或許是導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)時(shí)出現(xiàn)上述問題的原因之一。因此,為了讓學(xué)生順利學(xué)習(xí)和更深刻地理解小數(shù)的意義,我們需要從數(shù)學(xué)上真正認(rèn)識(shí)小數(shù)的意義,并由此科學(xué)地設(shè)計(jì)和實(shí)施“小數(shù)意義”的教學(xué)。
二、 小數(shù)的意義
回顧一下小數(shù)的歷史,將有助于我們更好地認(rèn)識(shí)小數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。
(一) 小數(shù)的歷史
在人類歷史上,認(rèn)識(shí)和使用小數(shù)比分?jǐn)?shù)晚得多,最早認(rèn)識(shí)小數(shù)的是我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽。公元3世紀(jì),他在《九章算術(shù)注》的《少?gòu)V章》中的“開方術(shù)”中說:“微數(shù)無(wú)名者以為分子,其一退以十為母,其再退以百為母,退之彌下,其分彌細(xì),……”他的意思是說,“在開平方求無(wú)理根的近似值時(shí),得到方根的整數(shù)值以后,繼續(xù)依法開方求出微數(shù)”,這里的“微數(shù)”就是指小數(shù)。[3]
按照劉徽的注解,設(shè)被開方數(shù)為n,其平方根的整數(shù)部分為a,剩余部分為r,那么有=a. …r。繼續(xù)求微數(shù),以a1為第一個(gè)數(shù)字,就把它作為分子,以10做分母(“一退以十為母”),再求一次得到數(shù)字a2,把a(bǔ)2作為分子,以100做分母(“再退以百為母”)。依次求下去,比如第k次開盡,這樣得到的分?jǐn)?shù)++…+即為開得的小數(shù)部分,進(jìn)而=a. a1a2…ak。
由于中國(guó)古代的計(jì)算依靠算籌來進(jìn)行,所以小數(shù)只有文字表示。例如,用T寸=1表示6.21寸。到了13世紀(jì),元朝數(shù)學(xué)家劉瑾把小數(shù)部分降低一格,比如將61.62表示為┴1┴=,這是世界上最早的小數(shù)表示法。
1585年,比利時(shí)工程師斯蒂文(S.Stevin)出版了小冊(cè)子《十進(jìn)小數(shù)》,比較系統(tǒng)地闡述了小數(shù)理論,并創(chuàng)建了一種表示小數(shù)的方法。他用小圓圈把整數(shù)部分與小數(shù)部分隔開,小數(shù)部分后面畫一個(gè)小圓圈,在小圓圈內(nèi)標(biāo)記小數(shù)的位數(shù),比如將23.86表示成23?專8①6②或者23?專8①6②。[4]
小數(shù)點(diǎn)的記號(hào),也經(jīng)歷了比較復(fù)雜的過程。1530年,德國(guó)的數(shù)學(xué)家魯爾多夫(C.Rudolff)用一根豎線將小數(shù)部分與整數(shù)部分隔開,比如他將23.86表示為23|86。1614年,英國(guó)數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier)用逗號(hào)將小數(shù)部分與整數(shù)部分分開,比如23.86表示為23,86。1593年,德國(guó)數(shù)學(xué)家克拉維斯(C.Clavius)用“.”表示小數(shù)點(diǎn),他是最早用小圓點(diǎn)表示小數(shù)點(diǎn)的人。
到19世紀(jì)末,小數(shù)的寫法還有很多種形式,比如,2.5就可以寫成25、2’|5、2?5、2’5、2Δ5、2,5、2.5等。[1]現(xiàn)在,世界各國(guó)關(guān)于小數(shù)點(diǎn)的使用大體分為兩派:歐洲大陸派,以德國(guó)、法國(guó)和俄羅斯等為代表,將小數(shù)點(diǎn)用逗號(hào)表示,小圓點(diǎn)作為乘法的符號(hào);英美派,用小圓點(diǎn)表示小數(shù)點(diǎn),逗號(hào)用作分節(jié)號(hào)。我國(guó)對(duì)小數(shù)點(diǎn)的記法傾向于后者,用小圓點(diǎn)表示小數(shù)點(diǎn)。
?。ǘ?小數(shù)的意義
從劉徽發(fā)明小數(shù)的思想來看,是按照整數(shù)的計(jì)數(shù)原則,將小于1的數(shù)也用類似于整數(shù)的形式表達(dá)出來。對(duì)此,20世紀(jì)知名數(shù)學(xué)家柯朗(P.Courant)進(jìn)行了更深刻的闡述:“把一個(gè)單位區(qū)間分成10,然后100,1000等等個(gè)相等的線段,這樣得到的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著十進(jìn)位小數(shù)?!粋€(gè)十進(jìn)位小數(shù)f,如果在小數(shù)點(diǎn)之后還有n個(gè)數(shù)碼,可以寫成f=z+a1×10-1+a2×10-2+…+an×10-n,這里z是一個(gè)整數(shù),而ai是表示十分之一、百分之一等等的數(shù)碼——0、1、2、…、9”。[5]
由此可見,小數(shù)的本質(zhì)是整數(shù)的延續(xù),都是十進(jìn)制數(shù)。也就是說,以1為基本單位,向大小兩個(gè)方向延伸得到整數(shù)和小數(shù):?jiǎn)挝?向大的方向延伸,10個(gè)1構(gòu)成十,10個(gè)十構(gòu)成百,10個(gè)百構(gòu)成千,……單位1向小的方向延伸,把1平均分成10份,一份就是0.1(相當(dāng)于十分之一),再把0.1平均分成10份,一份就是0.01(相當(dāng)于百分之一),……所以,一個(gè)十進(jìn)制整數(shù)或者小數(shù)
np…n2n1n.m1m2…mq
=np×10p+…+n2×102+n1×101+n×100+m1×10-1+m2×10-2+…+mq ×10-q
其中,ni,mi(i=0,1,2…)為0~9這十?dāng)?shù)字之一。
小數(shù)的這一本質(zhì)意義,體現(xiàn)了小數(shù)四則運(yùn)算與整數(shù)四則運(yùn)算的高度相似性和整數(shù)與小數(shù)表示數(shù)目的直觀性。
三、 小數(shù)的教學(xué)
“小數(shù)意義”的教學(xué)需要讓學(xué)生明白:小數(shù)的本質(zhì)是十進(jìn)制數(shù),是整數(shù)的延伸,而不是分?jǐn)?shù)的附庸。因此,教學(xué)的重點(diǎn)就是要讓學(xué)生理解“小數(shù)是自然數(shù)的單位1沿著小的方向延伸產(chǎn)生的數(shù),相鄰計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率為10”。
?。ㄒ唬?類比引入小數(shù)
師:目前我國(guó)使用的人民幣中,最常用的單位是……
生:元。
師(出示一張1元的人民幣):這是1元,如果三張這樣的人民幣就是……
生:3元。
師:10張這樣的人民幣是……
生:10元。
師(拿出一張拾元的人民幣):一張拾元的人民幣就等于10張1元的。(拿出10張拾元的人民幣)這是……
生:100元。
師(拿出一張百元的人民幣):一張百元的相當(dāng)于10張拾元的,相當(dāng)于100張1元的。拾元、百元都是比元更大的面值,有沒有比元更小面值的人民幣呢?
生:有,角和分。
師:角是怎么得來的?角有什么用?
生:把1元平均分成10份,每份就是1角,也就是“1元等于10角”。角表示比元更小的單位,就是不足1元時(shí),可以用角來支付。
師:一個(gè)空礦泉水瓶子的價(jià)值為1角,一個(gè)作業(yè)本的價(jià)格為5角,用元作單位可以怎么表示?
生:分別是0.1元和0.5元。
師:6個(gè)礦泉水瓶的價(jià)值為多少元?
生:0.6元。
師:0.5元、0.6元里面有幾個(gè)0.1元?
生:5個(gè),6個(gè)。
師:有比角更小的貨幣單位嗎?如果有,它是怎么得來的?
生:有,分。把1角平均分成10份,1份就是1分,也就是1角=10分。
師:一張作業(yè)本紙的價(jià)值約為1分,一張A4打印紙的價(jià)值約為4分,一張創(chuàng)可貼的價(jià)值約為25分。如果用元作單位,它們可以表示為多少元呢?
生:分別是0.01元、0.04元和0.25元。
師:0.04元、0.25元里面有幾個(gè)0.01元?
生:4個(gè),25個(gè)。
?。ㄔu(píng)析:通過生活實(shí)例,學(xué)生認(rèn)識(shí)到,人們?cè)诙攘课矬w的時(shí)候,總把容易感知的量作為單位“1”,然后依據(jù)十進(jìn)制發(fā)展出大數(shù)目的位置系統(tǒng)。然而社會(huì)生活中有時(shí)還需要比單位“1”更小的單位,人們還可以按照十進(jìn)制的原則產(chǎn)生更小的單位。)
?。ǘ?理解小數(shù)的意義
師(出示一把米尺,沒有刻度):這把尺子的長(zhǎng)度為1米,用它來測(cè)量課本的長(zhǎng)度,行嗎?
生:不行,課本長(zhǎng)度遠(yuǎn)不夠一米,看不出長(zhǎng)度。
師:怎么辦呢?
生:把它平均分成10段,每一段是0.1米,看看能不能測(cè)量?
師:(換了一把已經(jīng)平均分成10份的尺子,并測(cè)量課本的長(zhǎng)度為兩格)那么課本的長(zhǎng)度是多少呢?
生:兩個(gè)0.1米,即0.2米。
師:現(xiàn)在用這把尺子來測(cè)量課本的寬度,可以嗎?
生(量一量,一格多一些):不行。
師:那怎么辦呢?
生:把每一格分成10個(gè)小格,再來測(cè)量。
師:現(xiàn)在這把尺子每小格的長(zhǎng)度是多少?課本的長(zhǎng)度是多少?
生:0.01和0.15,0.15里面有15個(gè)0.01。
師:測(cè)量一下課桌的長(zhǎng)度和寬度,看看結(jié)果是多少?并說明里面有幾個(gè)0.1和0.01?
生:長(zhǎng)0.6米,里面有6個(gè)0.1,60個(gè)0.01。寬0.45米,里面有45個(gè)0.01,它里面有4個(gè)0.1還多一些。
師:根據(jù)前面這些例子,請(qǐng)你說一說,0.1和0.01是怎么從1得到的?
生:把1平均分成10份,每份就是0.1;把1平均分成100份,每份就是0.01,而且0.1等于10個(gè)0.01。
師:假如我想要表示0.001呢?
生:那就把1平均分成1000份,一份就是0.001。
(評(píng)析:根據(jù)實(shí)際需要,創(chuàng)造小數(shù)來度量物體的長(zhǎng)度,以解決相關(guān)問題;通過現(xiàn)實(shí)體驗(yàn),啟發(fā)學(xué)生體味到小數(shù)是在已有數(shù)學(xué)概念不夠用的基礎(chǔ)上自然引進(jìn)的,由此產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求,進(jìn)而抽象概括出小數(shù)的意義。)
四、 結(jié)束語(yǔ):重視對(duì)數(shù)學(xué)概念的真正理解
由于種種原因,小學(xué)數(shù)學(xué)教科書和教學(xué)參考書不可能把每個(gè)數(shù)學(xué)概念都表述得非常清楚和準(zhǔn)確。當(dāng)按照教科書上描述的概念進(jìn)行教學(xué)時(shí),如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生在一些關(guān)鍵內(nèi)容的理解上出現(xiàn)偏差,教師需要考慮一下教科書對(duì)該概念的表述是否準(zhǔn)確。這時(shí),教師可以查閱一下相關(guān)的權(quán)威書籍,或者了解一下該數(shù)學(xué)概念的發(fā)展歷史,以便準(zhǔn)確了解所教數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)意義。如果發(fā)現(xiàn)教科書上對(duì)概念的表述不是十分準(zhǔn)確,教師需要修正教科書上的錯(cuò)誤,用適當(dāng)?shù)姆绞綄?zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念教授給學(xué)生。因此,無(wú)論是教師的教,還是學(xué)生的學(xué),都需要對(duì)數(shù)學(xué)概念有真正的理解。否則,教和學(xué)的效果將會(huì)大打折扣。
參考文獻(xiàn):
?。?] 顧汝佐,葉季明,王明歡. 小學(xué)數(shù)學(xué)全書[M]. 上海:上海教育出版社,1995.
?。?] 課程教材研究所. 數(shù)學(xué)(四年級(jí)下冊(cè))[M].北京:人民教育出版社,2005.
?。?] 張奠宙. 數(shù)學(xué)史選講[M]. 上海:上??茖W(xué)技術(shù)出版社,1997.
[4] 范立瓅,高荊. 小學(xué)數(shù)學(xué)中最容易誤解的概念[M]. 北京:地質(zhì)出版社,2008.
?。?] R?柯朗,H羅賓. 什么是數(shù)學(xué)[M]. 左平,張飴慈譯. 上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2005.
(首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048
山西省太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 03001