無痕教育是指“把教育意圖與目的隱蔽起來，通過間接、暗示或迂回的方式，給學(xué)生以教育的一種教育方式”（盧克謙語）。無痕教育的提出，雖來源于德育領(lǐng)域，但其所彰顯出來的人性化和科學(xué)性光輝，足以指導(dǎo)一切學(xué)科的教學(xué)行為。小學(xué)數(shù)學(xué)屬于初等數(shù)學(xué)的范疇，它揭示的是現(xiàn)實世界中最簡單的數(shù)量關(guān)系和幾何形體等知識。小學(xué)數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容的呈現(xiàn)上具有由淺入深、由易到難、循序漸進和螺旋上升的特點。小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科特征為數(shù)學(xué)教學(xué)中實施無痕教育提供了充分可能?！皵?shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)”（斯托利亞爾語）。兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是數(shù)學(xué)思維活動的過程。兒童思維的發(fā)展經(jīng)歷著從低級到高級、從不完善到完善的發(fā)展過程。數(shù)學(xué)思維是一種隱性活動，且各種思維方式之間的彼此相連、融會貫通和發(fā)展變化本身就是一種無痕的狀態(tài)。
　　可見，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程應(yīng)該遵循兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維規(guī)律和小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特性，通過教師的智慧，把作為科學(xué)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為作為學(xué)科的數(shù)學(xué)，把作為文本的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為作為過程的數(shù)學(xué)，從而把“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”，把“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為“火熱的思考”，引導(dǎo)學(xué)生在無痕中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和發(fā)展能力，獲得豐富的情智體驗。那么，數(shù)學(xué)教學(xué)中如何體現(xiàn)無痕的境界呢？本文試以“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域第一、二學(xué)段的教學(xué)實踐為例略作分析。
　　一、不知不覺中開始學(xué)習(xí)
　　讓學(xué)生在不知不覺中開始學(xué)習(xí)，是無痕教育追尋的基本境界。實施無痕教育的前提是教師對所教內(nèi)容的整體把握。因為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)內(nèi)容具有整體性和系統(tǒng)性，每冊教科書、每個教學(xué)單元、每一個課時、每一個知識點的內(nèi)容之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系。優(yōu)秀的教師總是能夠瞻前顧后，遷移滲透，把握所教內(nèi)容與以前所學(xué)內(nèi)容以及將來要學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間的實質(zhì)性聯(lián)系，為學(xué)生選準(zhǔn)合適的認(rèn)知起點，讓學(xué)生在不知不覺中開始新知的學(xué)習(xí)。
　　案例一：《認(rèn)識乘法》的新知引入片段。
　　師：今天我們到動物學(xué)校去參觀，大家開心嗎？
　　生：開心！
　　師：在這塊場地上你發(fā)現(xiàn)有幾種動物？
　　生：有兩種動物，是雞和兔。
　　師：這些雞和兔，它們今天是怎樣排列的？
　　生1：它們是分散排列的。
　　生2：它們是一堆一堆的。
　　生3：我發(fā)現(xiàn)兔總是2只靠在一起。
　　生4：我發(fā)現(xiàn)雞總是3只圍在一起。
　　師：大家觀察得真仔細(xì)！我們想知道有幾只兔，有幾只雞，該怎么辦呢？
　　生1：我數(shù)一數(shù)，1、2、3、4、5、6，有6只兔。
　　生2：我這樣數(shù)，2、4、6，有6只兔。
　　師：你為什么可以這樣數(shù)呀？
　　生2：因為兔子是2只2只在一起的。
　　師：是??！2只2只地數(shù)，還可以這樣數(shù)呢——1個2，2個2，3個2。（圖像對應(yīng)閃爍）
　　生：我還可以算出來呢！2＋2＋2＝6。
　　師：是??！在這道連加算式里我們也可以2個2個地數(shù)。（引導(dǎo)學(xué)生看算式數(shù)）
　　上述教學(xué)片段中，通過一幅情景圖，讓學(xué)生不知不覺中再現(xiàn)了已有舊知（同數(shù)相加），不知不覺中激活了生活經(jīng)驗（每份同樣多），不知不覺中生發(fā)了所學(xué)新知（求幾個相同加數(shù)還可以用乘法算），不知不覺中走向了數(shù)學(xué)本質(zhì)（乘法的本質(zhì)即是幾個幾）。
　　在不知不覺中開始，從教育心理學(xué)的角度看，是合適的學(xué)習(xí)起點，即明確學(xué)生“現(xiàn)在在哪里”。有了對教學(xué)內(nèi)容的整體把握，就有了對學(xué)生原有認(rèn)知與學(xué)習(xí)狀態(tài)的準(zhǔn)確了解，就有了對學(xué)生生活經(jīng)驗與思維體驗的適度掌握。有了這樣的教學(xué)前提，就能夠進一步明確把學(xué)生“將要帶向哪里”以及“如何走向那里”，從而無痕地將學(xué)生引向新知的邊緣，讓學(xué)生油然而生對新知學(xué)習(xí)的需求。
　　二、不露痕跡中理解新知
　　課堂的本體是兒童的學(xué)習(xí)，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必然建立在對兒童學(xué)習(xí)心理深度洞察的基礎(chǔ)之上。小學(xué)階段兒童的認(rèn)知水平屬于皮亞杰指出的“具體運算思維”階段，其最大的特點是思維離不開具體事物的支持，這也導(dǎo)致小學(xué)兒童的感知、觀察力和記憶均處于初步發(fā)展水平，其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機和興趣很不穩(wěn)定。在這樣的前提之下，兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，需要充分借助形象直觀的教學(xué)手段，充分利用新舊知識的相互作用，以順應(yīng)兒童的學(xué)習(xí)心理，讓兒童在不露痕跡中理解新知的意義。
　　案例二：《一位數(shù)乘兩位數(shù)》的新知學(xué)習(xí)片段。
　　出示例題情境圖讓學(xué)生列式后，通過以下三個步驟，結(jié)合直觀活動讓學(xué)生探索一位數(shù)乘兩位數(shù)的算理。
　　第一步，讓學(xué)生觀察直觀圖，讓學(xué)生先分別計算右邊筐里桃的個數(shù)（4×2=8）和左邊筐里桃的個數(shù)（10×2=20），然后直觀理解要把右邊筐里的和左邊筐里的桃相加，就可以算出一共有桃多少個（8＋20=28）。
　　第二步，讓學(xué)生操作小棒，每個學(xué)生在動手活動中經(jīng)歷分別相乘再相加的算理。
　　第三步，結(jié)合學(xué)生的觀察、操作和對照活動，逐步形成如下初始豎式（如下圖）。
　　教學(xué)至此，如果按照一般慣例，直接由老師引導(dǎo)學(xué)生把上述初始豎式縮減為簡化豎式的話，學(xué)生也是能夠接受并模仿運算的，但是這卻失去了一次幫助學(xué)生探索抽象算法、體驗思維過程、積累活動經(jīng)驗的良好機會。因此，筆者教學(xué)時又做了如下三步設(shè)計。
　　第一步，讓學(xué)生運用剛建立的豎式模型進行模仿計算（題目如下）。
　　第二步，組織學(xué)生觀察例題的豎式和模仿的豎式，并提問：“這些算式有什么共同的地方？”有學(xué)生說：“它們都是兩位數(shù)和一位數(shù)乘。”有學(xué)生說：“第一次乘下來都得一位數(shù)，第二次乘下來都得整十?dāng)?shù)。”有學(xué)生說：“得數(shù)個位上的數(shù)就是第一次乘得的數(shù)，十位上的數(shù)就是第二次乘的數(shù)。”有學(xué)生說：“相加時個位上0加一個數(shù)還得這個數(shù)，十位上的數(shù)也寫了兩次?！边€有學(xué)生說：“這樣寫有點煩，有些地方好像不要寫兩次的?！薄?br/>　　第三步，在學(xué)生充分體驗了豎式計算的過程之后，教師提出：“那怎樣書寫就可以更簡便一些呢？”讓學(xué)生討論并由老師動態(tài)演示例題從初始豎式到簡化豎式的過程，得到簡化豎式（如上面的右圖），并讓學(xué)生自己動手，把剛才計算的三道初始豎式改寫成簡化豎式。
　　以上教學(xué)過程中，教師沒有簡單地立即讓學(xué)生用所謂簡化豎式計算，而是在實際計算中使學(xué)生進一步理解一位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，同時通過觀察、比較，找出這些初建豎式的共同點，進而產(chǎn)生簡化豎式的需要，在此基礎(chǔ)上不露痕跡地自然引出簡化豎式。這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生在算理的理解過程中自己發(fā)現(xiàn)了計算規(guī)律，自己產(chǎn)生了簡化的心理需要，自己探索出了簡化豎式的寫法，在無痕中充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握。
　　三、潛移默化中掌握技能
　　學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，既是在教師引導(dǎo)下的意義建構(gòu)過程，也是在自身需求發(fā)展中的自主建構(gòu)過程。無痕教育視野下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，更主要地體現(xiàn)為教師精心設(shè)計學(xué)生的學(xué)習(xí)進程，從某種意義上說是一種“進”與“退”的藝術(shù)。通過適當(dāng)?shù)摹巴恕焙捅匾摹斑M”，能使得學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生潛移默化地掌握知識和技能的過程。從某種意義上說，“退”是“進”的準(zhǔn)備和基礎(chǔ)，“進”是“退”的發(fā)展與提升。在課堂上，“進”“退”之間體現(xiàn)的是一種行云流水般的從容節(jié)奏，是一種水乳交融般的無痕狀態(tài)。
　　案例三：《解決問題的策略（倒推）》的新知學(xué)習(xí)片段。
　　通過如下一組連貫性的學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決中不斷經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建立過程。
　　（1）一個杯子里原有一些果汁，喝了60毫升后，又倒入80毫升，現(xiàn)在有240毫升。這杯果汁原有多少毫升？
　　讓學(xué)生通過畫示意圖，了解果汁數(shù)量變化的順序，初步嘗試倒推的策略。（如下圖）
　　并列式解答：240-80＋60＝220（毫升）
　?。?）
　　學(xué)生運用直觀表格來展示數(shù)量的變化情況，并運用倒推策略得出原來兩杯果汁的數(shù)量。
　?。?）甲、乙、丙三杯果汁共900毫升，從甲杯倒入乙杯80毫升，再從乙杯倒入丙杯30毫升，現(xiàn)在三杯果汁同樣多。原來甲、乙、丙三杯果汁各有多少毫升？
　　以上問題解決活動的流程設(shè)計，通過一杯果汁的兩次變化，發(fā)展到兩杯果汁的一次變化，再發(fā)展到三杯果汁互相變化，讓學(xué)生動手畫圖、列表、列式，在具體的數(shù)學(xué)活動之后圍繞關(guān)鍵性問題思考：“發(fā)生了幾次變化？”“是怎么變化的？”“什么變了？什么沒變？”“怎樣能夠求出原來的毫升數(shù)？”通過摘錄條件整理信息→畫圖列表表達關(guān)系→列出算式解決問題，學(xué)生充分體驗倒推策略的具體形成過程，即解決問題時要逆著事情變化的順序，把后發(fā)生的變化一步步倒回去，直至事情的原來狀況，進而把握倒推策略應(yīng)用的模型特征是“已知現(xiàn)在，要求原來”。這樣的數(shù)學(xué)活動過程，動靜結(jié)合，數(shù)形結(jié)合，順逆結(jié)合，讓學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，深刻理解倒推策略的本質(zhì)，體驗倒推策略的應(yīng)用價值。
　　這種“進”與“退”的過程，是學(xué)生潛移默化地掌握知識與技能的過程，也是學(xué)生不露痕跡中培養(yǎng)思維能力的過程，更是學(xué)生淡墨無痕中發(fā)展數(shù)學(xué)思想的過程。從這個意義上說，數(shù)學(xué)教學(xué)的智慧就在于教師能在“進”與“退”之間游刃有余。
　　四、春風(fēng)化雨中感悟思想
　　無痕教育理念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)課堂，是學(xué)生享受教師服務(wù)的過程，也是學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動發(fā)展的過程。這樣的過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷應(yīng)是充實而快樂的，學(xué)習(xí)結(jié)果是有效的，學(xué)習(xí)的過程是充滿智慧的。理想的課堂教學(xué)過程，似雪落春泥，悄然入土，孕育和滋潤著生命。雖無痕，卻有聲有色，有滋有味；雖無痕，卻如歌如樂，如詩如畫。
　　案例四：《認(rèn)識11～20各數(shù)》的新知學(xué)習(xí)片段。
　?。ù税咐齺碓从谠∑?、韓龍淑《十進制計數(shù)法的數(shù)學(xué)本質(zhì)與教學(xué)》一文，載《小學(xué)教學(xué)》2011年第5期。）
　　設(shè)計如下四個層次的認(rèn)數(shù)活動：
　　第一層次——體會單個計數(shù)的局限性。讓學(xué)生往空白計數(shù)器的個位上一顆一顆地放珠子，當(dāng)放到10顆珠子時，珠子已經(jīng)和計數(shù)器的鐵絲差不多高了，然后再接著放珠子進行數(shù)數(shù)，等放到15顆珠子時，珠子掉下，學(xué)生拾起來又重新放，又掉下……通過這樣的操作活動使學(xué)生意識到，個位上能放的珠子是有限的，從而引起認(rèn)知沖突，產(chǎn)生解決新問題的內(nèi)在需要。
　　第二層次——體會“要用一個代表多個”。讓學(xué)生在剛才的操作活動之后，針對新問題進行討論，逐步尋找到簡便的辦法，即用一個珠子代表多個珠子，并進一步得出為了交流和表達的清楚，通常用十位上的一個珠子代表個位上的10個珠子，叫做“滿十進一”。
　　第三層次——操作中理解“滿十進一”。讓學(xué)生動手，在計數(shù)器上分別表示9、10、11、13、16等數(shù)，在動手操作中反復(fù)體會“滿十進一”，充分理解十進制計數(shù)法的規(guī)則。
　　第四層次——操作中體會“退一當(dāng)十”。在學(xué)生多次操作計數(shù)器，熟練表示0～20各數(shù)之后，將這一過程倒過來，讓學(xué)生用計數(shù)器表示20～0。當(dāng)表示19時，強調(diào)從十位取下1顆珠子，用個位上的10顆珠子替換它，然后從個位上拿走1顆珠子，使學(xué)生了解這是“退一當(dāng)十”。從10到9時，再次進行體會。
　　以上的教學(xué)設(shè)計，不同于一般的認(rèn)數(shù)教學(xué)流程。這四個層次的活動設(shè)計渾然一體，針對認(rèn)數(shù)教學(xué)的規(guī)律，滲透十進制計數(shù)法的來源和本質(zhì)，不斷讓學(xué)生動手操作與交流討論，讓每個學(xué)生經(jīng)歷了十進制計數(shù)法產(chǎn)生的需要，體驗了“滿十進一”和“退一當(dāng)十”的變化過程。在這樣的實踐活動和思維活動中，學(xué)生對數(shù)的意義和組成掌握牢固，對十進制計數(shù)法的產(chǎn)生背景理解深刻，更重要的是在無痕中學(xué)生感悟了數(shù)學(xué)思想，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。
　　總之，我所理解的數(shù)學(xué)無痕教育，是建立在數(shù)學(xué)教育的心理學(xué)、美學(xué)和哲學(xué)內(nèi)涵基礎(chǔ)上的一種教育境界。數(shù)學(xué)無痕教育是讓學(xué)生在不知不覺中開始學(xué)習(xí)，在不露痕跡中理解新知，在潛移默化中掌握技能，在春風(fēng)化雨中感悟思想。數(shù)學(xué)無痕教育，是一種理想的教育，一種智慧的教育。無痕，是教育的自然和