課改伊始，問題解決教學中對數(shù)量關(guān)系的教學一時忌諱極深，課堂上避而不談，生怕被扣上“新瓶裝舊酒”的帽子。隨著課程改革的不斷推進，對問題解決教學重新進行理性審視，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系不僅要教，而且需要濃墨重彩地教。這是因為數(shù)量關(guān)系是解決問題的核心元素，學生只有基于所求“問題”，把握全體“框架”，找到題中蘊含的數(shù)量關(guān)系，才能打開“解決問題”的正確通道。
　　但在教學中我們發(fā)現(xiàn)，由于低年級的問題解決結(jié)合數(shù)的運算意義的逐步推進，導致“重計算輕問題解決”的現(xiàn)象普遍。再加上教學計算時問題解決相對單一，學生不需經(jīng)過細致分析就能正確解題，其思維斷層容易被掩蓋和積壓，造成問題解決在低年級順利通過而高年級困難重重的局面。因此，在低年級的問題解決中，教師也要重視數(shù)量關(guān)系的教學，通過對問題表征的“自我重構(gòu)”，分析數(shù)量間的內(nèi)在聯(lián)系，使學生在解題時既知其然，更知其所以然。
　　一、“運算意義”充分介入，回歸問題本質(zhì)
　　將已知數(shù)量合理匹配進行四則運算是解決問題的重要過程。很多學生感到頭疼的是“兩種數(shù)量究竟作何種運算”該怎樣確定？其實，每種運算的本質(zhì)意義都產(chǎn)生于相對特定的實際背景，也運用于相對特定的問題情境。因此，確定“何種運算”的關(guān)鍵在于兩種數(shù)量的關(guān)系契合了哪種運算的“實際背景”。
　　1.通過直觀，理解運算意義
　　在四則運算的教學伊始，教師要通過各種直觀和實際情境，引導學生理解“加、減、乘、除”運算的內(nèi)涵，使之建立起該種運算的問題模型，從而在解決問題時實現(xiàn)輕松對接。從一年級開始，教師要引導學生借助直觀感知、體驗活動等，感悟運算中的數(shù)量關(guān)系，體會運算意義。如在教學加減法時，可以配合手勢、動作、直觀圖等讓學生知道把兩部分合起來用加法計算；從一個數(shù)里去掉另一個數(shù)用減法計算。那么當學生看到如“男生有25人，女生有18人”這樣的信息時，他們的頭腦中馬上就能出現(xiàn)類似于圖1的“問題表象”，知道把男生人數(shù)和女生人數(shù)合起來用加法計算。
　　2.深挖現(xiàn)象，關(guān)注思維路徑
　　在問題解決的教學中，要深挖現(xiàn)象背后的本質(zhì)，關(guān)注學生算法選擇背后的思維路徑，消除因“跟著感覺走”而造成的假象。如在一年級下冊教學了“求相差關(guān)系”的問題解決時，練習中出示如下信息：玩具小熊要8元，遙控車要15元。接著引導學生解決“小磊帶20元錢買玩具小熊，可以找回多少元”“遙控車比玩具小熊貴多少元”等問題。在分析數(shù)量關(guān)系時，利用直觀圖輔助學生理解：
　　求找回多少元就是從總數(shù)里面去掉買小熊的錢，所以用減法算；求貴幾元就是從遙控車里去掉與小熊價錢同樣多的部分，所以也用減法算。通過對比使學生從減法的本質(zhì)意義上進一步理解這兩種問題解決的內(nèi)在聯(lián)系：從一個量里去掉另一個量，用減法計算，從而實現(xiàn)已知數(shù)量與減法意義的內(nèi)部關(guān)聯(lián)。
　　其實，無論多么復雜的數(shù)學問題，其解決過程都起步于兩種數(shù)量間的四則運算。因此，以“運算意義”為起點，引導學生分析數(shù)量間的相互關(guān)系，確定每個解題步驟，便能讓解決問題回歸數(shù)學本質(zhì)，實現(xiàn)數(shù)學建模。
　　二、深入分析“數(shù)量關(guān)系”，抽象數(shù)學知識結(jié)構(gòu)
　　學生在解決問題時，需要完成兩個轉(zhuǎn)化：其一要從紛亂的問題情境中獲取有用的信息，然后抽象成數(shù)學問題；其二要分析數(shù)量關(guān)系，確定解題步驟和方法。分析數(shù)量關(guān)系是解決問題過程中一個不可或缺的環(huán)節(jié)。低年級問題解決的教學若能重視數(shù)量關(guān)系的逐步感受，使學生能在解決問題的過程中學會用直觀示意圖、線段圖等方法整理相關(guān)信息，能借助所畫圖例分析數(shù)量關(guān)系，就能確定解決問題的正確思路，切實提高解決問題的能力。
　　1.經(jīng)歷簡化過程，抽象數(shù)學語言
　　在低年級問題解決的教學中，教師需樹立“大問題”觀，不能局限于“當下問題”的教學。從接觸問題伊始，就要幫助學生經(jīng)歷“簡化問題”的思維過程，把具體的、繁雜的現(xiàn)實情境逐步抽象為自己的數(shù)學語言，將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，實現(xiàn)問題的“自我重構(gòu)”。如在教學《加法的意義》時，“小明有2朵紅花，小雪有3朵紅花，一共有幾朵紅花？”教師要幫助學生學會說“小明的朵數(shù)加上小雪的朵數(shù)，就是一共的朵數(shù)”。這樣的問題陳述抓住了“加法含義”的本質(zhì)，即“把兩部分合起來就是總數(shù)”。以后出現(xiàn)類似問題時，學生就能很快提取頭腦中的解題經(jīng)驗，形成經(jīng)驗與方法的對接。
　　2.培養(yǎng)分析能力，理清解題思路
　　新課程的問題解決注重與其他內(nèi)容的自然融合，缺少了“類型化”教學，導致有些思維能力弱的學生由于找不到依樣畫“葫蘆”的“瓢”而陷入思維僵局。其實，不管是“應用題”還是“解決問題”，每道題都是由兩種或兩種以上的數(shù)量基于情境內(nèi)容組建而成的。所以，解決問題的核心任務是深入分析各種數(shù)量的內(nèi)在關(guān)系，尋求已知數(shù)量間的有效匹配，實現(xiàn)未知數(shù)量的“水落石出”。
　　在低年級的解決問題中，學生容易基于生活經(jīng)驗輕松解題，思維過程淺顯稚嫩，造成高分背后的低能，導致進入高年級后一碰到問題解決就無從下手。因此，在低年級的教學中，教師也應著眼于培養(yǎng)學生“深入分析”的能力。結(jié)合具體情境，將分析法和綜合法等思維方法在教學中合理滲透，使學生逐步掌握有效的思維路徑，獲得舉一反三的問題解決制勝法寶。
　　如在教學三年級《連乘問題》時，出示例題：每個方陣有8排，每排有10人。3個方陣一共有多少人？教師組織審題后，學生獨立思考，隨后展開交流。
　　師：要求總?cè)藬?shù)，必須知道哪兩個信息？
　　生：必須知道一個方陣的人數(shù)和方陣數(shù)。
　　根據(jù)學生回答，教師板書信息框架，并追問：哪個信息是已知的，哪個是未知的？
　　生：一個方陣的人數(shù)不知道。
　　師：怎樣求一個方陣的人數(shù)？
　　生：一個方陣有8排，每排有10人，一共有80人，10×8=80（人）。
　　師：根據(jù)學生回答，在圖上表示并概括“每排人數(shù)×排數(shù)=1個方陣的人數(shù)。
　　師補充完整框架圖：
　　師：剛才我們是怎樣思考這個問題的？（學生回顧“由問題指向條件”的分析法思路）
　　師：（指著框架圖）根據(jù)“每排人數(shù)”和“排數(shù)”可以求出什么？再根據(jù)什么求出總?cè)藬?shù)？（引導學生“從條件指向問題”的思路再次梳理）
　　上述片段，教師通過逐步剖析、縱向深挖、橫向聯(lián)系的方法，在教學過程中自然引入分析法和綜合法，合理抽象連乘問題的數(shù)學結(jié)構(gòu)。在“潤物細無聲”的教學組織中，既幫助學生理清了解題思路，又錘煉了學生的分析能力，多次經(jīng)歷之后，學生便能自覺學會“漁”之能力。
　　當然，分析能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而是需要一個長期、系統(tǒng)的訓練。在一、二年級的問題解決訓練中可以側(cè)重于綜合法的訓練，提供多條信息，讓學生選擇信息想問題。兩步計算問題教學開始后可逐步注重培養(yǎng)用分析法思考問題，可以進行一些諸如“看問題想條件”之類的訓練，根據(jù)問題從題中尋找與之相匹配的信息。在具體的問題解決指導時，要引導學生合理利用兩種方法，融會貫通實現(xiàn)輕松解題。
　　三、“解題策略”相機滲透，建立思考路徑
　　問題解決的教學不能局限于獲得問題的具體答案，而應該讓學生在解決問題的過程中經(jīng)歷思考過程，積累“問題解決”的策略，逐步將解題經(jīng)驗和相應的解題策略進行類化和推廣，將個案經(jīng)驗上升為一般策略與方法。低年級教材中并未專門安排“解決問題的策略”的教學內(nèi)容，但這并非說明低年級問題解決不需要策略的支持。相反，由于低年級學生直觀形象的思維特點，通過擺實物、畫圖等逐步經(jīng)歷符號化、數(shù)學化的過程，可適度形成解題策略，幫助建立思維路徑。
　　1．親歷思考過程，構(gòu)建解題模型
　　解決問題過程中核心在于針對數(shù)量的相依關(guān)系，從所給問題情境中建構(gòu)出解題模型，這應該是一個主動積極的思維過程，需要一定的策略支持。由于低年級學生思考問題更多地借助直觀手段，因此教師在問題解決過程中，應多給學生動手操作的機會，讓學生通過擺圓片、數(shù)小棒、折一折、圈一圈等方式，在“動手做”中尋找線索，明確數(shù)量關(guān)系；借助畫直觀圖、線段圖等，實現(xiàn)隱性思維顯性化，引導學生深層次理解題意。
　?。ㄈ私贪嬉荒昙壪隆肚笠粋€數(shù)比另一數(shù)多（少）幾的問題》教學片段）
　　出示例題（先圖后文，根據(jù)學生提問后出示完整例題）：作業(yè)評比中，小雪得了6朵花，小磊得了4朵花。小雪比小磊多幾朵？
　　師：這題該怎樣思考呢？你可以擺圖片，可以畫一畫，也可以列式，試著解決這個問題。
　　學生操作后反饋。
　　師：你看到多幾朵嗎？小雪的花被分成幾部分？
　　根據(jù)學生回答，繼續(xù)畫圖得圖2。
　　師生分析：從小雪的花里面去掉和小磊同樣多的4朵，就是多出的2朵，所以用減法計算。列式6－4=2（朵）。
　　在嘗試解決“小磊比小雪少幾朵”時，師繼續(xù)引導：先請你擺一擺，怎樣擺能一眼看出少幾朵？
　　學生擺后，反饋得圖3。
　　師：對照兩幅圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？這兩個問題有什么聯(lián)系和區(qū)別？
　　引導學生理解：雖然問題的提法不一樣，但都是小雪和小磊在比，小雪比小磊多的2朵就是小磊比小雪少的2朵，也就是他們相差2朵。求相差的2朵，只要從小雪的朵數(shù)里去掉和小磊同樣多的部分，所以都用6－4=2（朵）計算。
　　上述片段中，通過動手操作、符號表示、直觀思考等方式，學生親歷了解決問題的思考過程。借助直觀對比，深入到“一個數(shù)比另一個數(shù)多幾”和“少幾”的問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，透過現(xiàn)象直達本質(zhì)，讓學生理解不管是“求多幾”還是“求少幾”，都是求“相差數(shù)量”，都是從“大數(shù)里去掉與小數(shù)同樣多的部分”，從而在深層次理解的基礎(chǔ)上達到溝通共融，建構(gòu)起解決這類問題的基本模型。
　　2.經(jīng)歷解題過程，形成系統(tǒng)思考
　　學生解決問題需經(jīng)歷一個“信息獲取、理解問題、探求策略、列式解答、回顧反思”的過程，每一個環(huán)節(jié)都需要思維的深層介入。從低年級開始，教師就要有意識地讓學生經(jīng)歷問題解決的每個環(huán)節(jié)，教給學生思維介入的路徑，在具體情節(jié)中適度強化并加以提煉，實現(xiàn)感悟。
　　為加強學生的解題能力，平時的解題過程，可概括地要求學生按照“一找、二想、三列、四思”的解題路徑，從找信息、想數(shù)量關(guān)系、列算式、檢驗反思等環(huán)節(jié)入手，讓學生自覺經(jīng)歷解題過程，切實提高學生解決問題的能力。
　　綜上所述，數(shù)量關(guān)系既是應用題教學中的“舊酒”，也是“問題解決”教學中的“佳釀”。從低年級開始，教師就要重視和加強數(shù)量關(guān)系的教學，幫助學生感受、分析、建立和研究數(shù)量關(guān)系，只有讓“裝在新瓶中的舊酒”散發(fā)出“迷人的醇香”，才能切實有效地提高學生解決問題的能