樊勝利， 魏 超， 柏彥奇

（1.軍械工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，河北 石家莊050003； 2.軍械工程學(xué)院 裝備指揮與管理系，河北 石家莊050003）

武器裝備系統(tǒng)可靠性增長(zhǎng)過程分析，是在武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長(zhǎng)評(píng)定過程中，利用已知可靠性增長(zhǎng)模型，如理想增長(zhǎng)曲線、Duane模型、AMSAA模型和Compertz模型等，依據(jù)前期及當(dāng)前試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在運(yùn)用最小二乘法和最大似然估計(jì)等方法確定模型參數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)下一階段武器裝備系統(tǒng)可靠性增長(zhǎng)進(jìn)行定量分析的研究方法。其中，可靠性增長(zhǎng)模型是武器裝備系統(tǒng)可靠性增長(zhǎng)分析過程的重要組成部分。

當(dāng)前，武器裝備系統(tǒng)可靠性增長(zhǎng)過程分析的研究重點(diǎn)在于：如何根據(jù)試驗(yàn)條件、試驗(yàn)環(huán)境和試驗(yàn)方法選擇可靠性增長(zhǎng)模型，并根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用參數(shù)估計(jì)法確定各參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)或區(qū)間估計(jì)，從而對(duì)武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長(zhǎng)趨勢(shì)進(jìn)行科學(xué)判定。為此，筆者對(duì)各類主要可靠性增長(zhǎng)模型的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了深入分析與闡述，進(jìn)而為該領(lǐng)域的研究工作提供理論參考與借鑒。

1 方法分析與比較

1.1 方法分析

武器裝備系統(tǒng)可靠性增長(zhǎng)過程分析的核心內(nèi)容之一是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用可靠性增長(zhǎng)模型，如Duane模型、AMSAA模型、Compertz模型、指數(shù)模型、Lloyd－Lipow模型和Dirichelt模型，分析武器裝備系統(tǒng)可靠性增長(zhǎng)趨勢(shì)，為預(yù)測(cè)MTBF（mean time between failure）或可靠性R，估計(jì)達(dá)到可靠性指標(biāo)所需試驗(yàn)時(shí)間提供一種科學(xué)、有效的研究方法。目前，此類可靠性增長(zhǎng)模型較多，但主要集中在Duane模型、AMSAA模型、Compertz模型和Dirichelt模型4類。為此，文中主要對(duì)它們的研究方法進(jìn)行分析與比較。

1.1.1 Duane模型

Duane模型［1－3］是一類確定性模型。它假設(shè)武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長(zhǎng)是一個(gè)逐步提高，從門限值逐步增加到目標(biāo)值的過程，不存在多個(gè)故障同時(shí)改進(jìn)而使可靠性發(fā)生突變的可能?；谏鲜黾僭O(shè)條件，Duane模型中的累積故障率和累積試驗(yàn)時(shí)間在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系上趨向于一條直線，且平均故障間隔時(shí)間和瞬時(shí)平均故障間隔時(shí)間都是關(guān)于時(shí)間與增長(zhǎng)率的線性函數(shù)。

模型參數(shù)的求解方法主要分為2類：

1）基于最小二乘擬合的參數(shù)確定法。最小二乘擬合，是以Duane模型的函數(shù)值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，以二者偏差平方和最小為條件，利用極值點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)為零構(gòu)造方程組，通過計(jì)算增長(zhǎng)率b和斜率a的值，對(duì)武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長(zhǎng)過程進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)的研究方法。

2）基于導(dǎo)數(shù)最小二乘估計(jì)的參數(shù)確定法。它是針對(duì)傳統(tǒng)最小二乘法在確定模型參數(shù)時(shí)，僅利用了曲線的靜態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)信息，而對(duì)于曲線的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律未加以明確與說明，易導(dǎo)致武器裝備系統(tǒng)在試驗(yàn)階段外的適用性不高，誤差較大的問題，運(yùn)用各階導(dǎo)數(shù)信息，以隨機(jī)樣本與各階導(dǎo)數(shù)在概率意義下的距離之和最小為準(zhǔn)則，以一般最小二乘法得到的模型參數(shù)為迭代初始值，對(duì)Duane模型的參數(shù)進(jìn)行確定的研究方法。該方法不僅綜合利用了模型導(dǎo)數(shù)試驗(yàn)信息，對(duì)曲線動(dòng)態(tài)變化規(guī)律進(jìn)行了分析與描述，而且通過控制模型曲線與導(dǎo)數(shù)變化規(guī)律實(shí)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)意義下的統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)論，提高了模型的分析與預(yù)測(cè)精度。

1.1.2 AMSAA模型

AMSAA模 型［4－6］是 以Duane模 型 為 基 礎(chǔ)，利用非齊次泊松過程建立的可靠性增長(zhǎng)模型。目前，AMSAA模型的參數(shù)求解方法很多，如作圖法、回歸分析法、矩估計(jì)法、最小二乘法和最大似然法等。然而，應(yīng)用較多的主要為最大似然參數(shù)估計(jì)法和牛頓迭代參數(shù)估計(jì)法。

1）最大似然參數(shù)估計(jì)法。它是以武器裝備系統(tǒng)的強(qiáng)度函數(shù)服從冪律過程和故障時(shí)間服從指數(shù)分布為假設(shè)條件，以n階段武器裝備系統(tǒng)的可靠性測(cè)試數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過構(gòu)造似然函數(shù)，利用尺度參數(shù)和增長(zhǎng)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求極值的方法，得出上述參數(shù)的最大似然估計(jì)值。然而，利用最大似然估計(jì)求解參數(shù)估計(jì)值時(shí)，一般要計(jì)算聯(lián)立的超越方程組，過程較為復(fù)雜，常規(guī)的迭代算法求解困難，收斂性較差。因此，在實(shí)際求解過程中：一方面利用概率權(quán)重矩陣法、雙線性回歸法、相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法、廣義回歸分析法和灰色估計(jì)等方法簡(jiǎn)化計(jì)算過程；另一方面應(yīng)用模擬退火算法、蟻群算法和遺傳算法等，通過加快參數(shù)求解的收斂速度，進(jìn)一步提高參數(shù)的計(jì)算精度。

2）牛頓迭代參數(shù)估計(jì)法。針對(duì)AMSAA模型參數(shù)把時(shí)間t作為常量時(shí)易導(dǎo)致可靠性下降的問題，在AMSAA模型的基礎(chǔ)上采用牛頓迭代法來(lái)預(yù)測(cè)某特定平均故障時(shí)間間隔下的試驗(yàn)時(shí)間。主要思路是：通過試驗(yàn)結(jié)束時(shí)的累積故障數(shù)、各故障點(diǎn)對(duì)應(yīng)的故障時(shí)間和各個(gè)試驗(yàn)截止時(shí)的累積試驗(yàn)時(shí)間構(gòu)造迭代函數(shù)，給出初始近似根及允許誤差，在故障數(shù)大于或等于20的2種情況下分別預(yù)測(cè)達(dá)到預(yù)計(jì)平均壽命時(shí)的試驗(yàn)時(shí)間，進(jìn)一步加快算法的收斂速度，提高模型的計(jì)算精度。

1.1.3 Compertz模型

Compertz模型［7－9］是由時(shí)間序列分析引申而來(lái)的，比較適用于離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征分析。一般情況下，它假設(shè)武器裝備系統(tǒng)壽命服從指數(shù)分布或Weibull分布。在描述武器裝備系統(tǒng)可靠性增長(zhǎng)速度時(shí)，認(rèn)為在開始階段的增長(zhǎng)速度較慢，然后逐漸加快，到某點(diǎn)后增長(zhǎng)速度逐漸減慢。因此，它既適用于成敗型武器裝備系統(tǒng)的試驗(yàn)信息，也適用于壽命型武器裝備系統(tǒng)的試驗(yàn)信息。然而，它對(duì)于S型增長(zhǎng)趨勢(shì)可靠性數(shù)據(jù)的描述精度較差。

Compertz模型參數(shù)的確定方法主要分為以下3種情況：

1）Virene算法。它是把武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長(zhǎng)過程分為N個(gè)階段，每個(gè)階段的試驗(yàn)組數(shù)為m，爾后把參數(shù)a，b，c的點(diǎn)估計(jì)轉(zhuǎn)換為d的函數(shù)，并根據(jù)初值N＝0或t＝0求出X軸的截距。參數(shù)d的精度通過d的增量加以控制，最后再求出參數(shù)a，b，c的點(diǎn)估計(jì)。

2）非線性回歸最小二乘法。它是以Virene方法確定的各類參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)為基礎(chǔ)，根據(jù)擬合曲線與數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的水平距離與垂直距離的平方和最小為收斂準(zhǔn)則，利用高斯－牛頓法將可靠性函數(shù)按泰勒級(jí)數(shù)展開，以線性項(xiàng)近似非線性項(xiàng)，用最小二乘法估計(jì)參數(shù)標(biāo)正量，得到參數(shù)首次估計(jì)值。當(dāng)鄰近2項(xiàng)殘差平方和迭代結(jié)果在允許誤差范圍內(nèi)時(shí)，即得出Compertz模型各類參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值。

3）基于增長(zhǎng)因子的線性回歸法。它是通過運(yùn)用增長(zhǎng)因子表示相鄰階段武器裝備系統(tǒng)可靠性比值，借助線性回歸方法，引入隨機(jī)變量（隨機(jī)變量要滿足Markov－Gauss假設(shè)條件），由前m階段的可靠性評(píng)估結(jié)果預(yù)報(bào)出第m＋1階段的系統(tǒng)增長(zhǎng)因子，然后把增長(zhǎng)因子轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量，通過第m階段可靠性的點(diǎn)估計(jì)值和增長(zhǎng)因子的分布函數(shù)，確定第m＋1階段武器裝備系統(tǒng)可靠性的分布函數(shù)。在試驗(yàn)過程中，它假設(shè)各次試驗(yàn)環(huán)境一致，武器裝備系統(tǒng)的改進(jìn)是逐步進(jìn)行的，失效機(jī)理變化較小，Weibull分布中的形狀參數(shù)變化不大，可用第m批武器裝備系統(tǒng)形狀參數(shù)的后驗(yàn)分布作為第m＋1批武器裝備系統(tǒng)形狀參數(shù)的后驗(yàn)分布（即服從Bayes相繼率）。

1.1.4 Dirichlet分布模型

Dirichlet分布模型是由Mazzuchi提出的。它假設(shè)武器裝備系統(tǒng)在m個(gè)試驗(yàn)階段中，各階段試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立。每一階段進(jìn)行武器裝備系統(tǒng)的修復(fù)，清除故障模式。隨著“試驗(yàn)—改進(jìn)—再試驗(yàn)”過程的重復(fù)進(jìn)行，故障不斷得到排除，武器裝備系統(tǒng)的可靠性不斷提高。

目前，Dirichlet分布模型分為2類：一是順序Dirichlet分布模型［10－13］；二是新Dirichlet分布模型［14－15］。順序Dirichlet分布模型的概率分布是利用Beta分布和m個(gè)階段的可靠性或失效概率定義的1個(gè)多元Beta分布函數(shù)，參數(shù)包括α＝（α1，α2，…，αm＋1）和β。αi（i＝1，2，…，m＋1）表示第i階段相比第i－1階段的可靠性增量，是位置參數(shù)，可由先驗(yàn)信息確定；β為尺度參數(shù)，表示技術(shù)人員對(duì)α的確信程度，相對(duì)于α，β較難于確定。一般情況下，對(duì)于固定的α，β的值越大，得到的先驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明武器裝備系統(tǒng)的可靠性的估計(jì)值越高。新Dirichlet分布模型則是針對(duì)只用1個(gè)形狀參數(shù)β描述各個(gè)檢驗(yàn)區(qū)間內(nèi)武器裝備系統(tǒng)可靠性的方差，不能很好符合工程需要的問題，構(gòu)造了（Rk－1，1）上的Beta分布（Rk－1表示第k－1階段武器裝備系統(tǒng)的可靠性）。在每個(gè)檢測(cè)區(qū)間內(nèi)它都設(shè)有2個(gè)參數(shù)ak，bk（k表示第k個(gè)檢測(cè)區(qū)間），能更準(zhǔn)確的描述各階段可靠性估計(jì)值以及估計(jì)值的可信度，與順序Dirichlet分布模型相比，更具優(yōu)越性。

1.2 方法比較

由上述分析可知：可靠性增長(zhǎng)過程研究方法主要分為可靠性增長(zhǎng)模型的選擇與模型參數(shù)確定2部分。因此，研究方法的比較也主要圍繞這二者展開。

1.2.1 可靠性增長(zhǎng)模型比較

1）Duane模型和AMSAA模型的比較。Duane模型和AMSAA模型的共同之處在于二者的原理較為簡(jiǎn)單，使用方便，可操作性及適用性較強(qiáng)。而不同之處則主要體現(xiàn)在以下3個(gè)方面：①武器裝備系統(tǒng)故障數(shù)或失效率的區(qū)分不同。在Duane模型中，它假設(shè)武器裝備系統(tǒng)故障時(shí)間服從指數(shù)分布，故障率是常數(shù)，即固定時(shí)間間隔內(nèi)的故障數(shù)是確定的，這與實(shí)際武器裝備系統(tǒng)試驗(yàn)過程的吻合程度不高有關(guān)；而在AMSAA模型中，它認(rèn)為故障數(shù)（失效數(shù)）和故障率均是隨機(jī)變量，并認(rèn)為故障數(shù)（失效數(shù)）服從非齊次泊松分布，而累積故障率則是一個(gè)以時(shí)間為自變量的分段線性函數(shù)。因此，它與Duane模型相比，其數(shù)學(xué)分析更為嚴(yán)密，適用面更寬，適應(yīng)性更強(qiáng)。②模型參數(shù)的估計(jì)方法不同。Duane模型中對(duì)MTBF及參數(shù)a，b，c的估計(jì)都是較為粗糙的點(diǎn)估計(jì)，可靠性不高。而在AMSAA模型中，它不僅給出了各參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值，也給出了上述點(diǎn)估計(jì)值的置信區(qū)間，結(jié)果的可信性更高。③模型參數(shù)的物理意義不同。在Duane模型中，參數(shù)b表示增長(zhǎng)率，而參數(shù)a的物理意義不明顯；而在AMSAA模型中，參數(shù)a為尺度參數(shù)，且當(dāng)b＝1時(shí)，Weibull故障率函數(shù)λ（T）＝a，MTBF服從均值為1／a的指數(shù)分布。與Duane模型相比，它的物理意義更容易理解，表示形式更為簡(jiǎn)潔，便于制定可靠性增長(zhǎng)計(jì)劃，且有利于可靠性增長(zhǎng)過程的跟蹤與評(píng)估。表1為Duane模型和AMSAA模型比較表。

表1 Duane模型和AMSAA模型比較

2）Compertz模型與AMSAA模型和Duane模型的比較。Compertz模型與上述2種模型相比較，主要區(qū)別有以下3方面：一是由于Compertz模型是來(lái)源于時(shí)間序列分析的一種可靠性增長(zhǎng)模型，因此它更適用于成敗型武器裝備系統(tǒng)的可靠性增長(zhǎng)過程分析；二是它不涉及累積故障時(shí)間、故障率和失效率等參數(shù)，而主要由a，b，c，d等4個(gè)參數(shù)決定；三是對(duì)于具有S型增長(zhǎng)趨勢(shì)的可靠性數(shù)據(jù)，它的描述精度較差。

3）次序Dirichlet模型和新Dirichlet模型的比較。次序Dirichlet模型和新Dirichlet模型都是Bayesian可靠性評(píng)定模型的一部分。它是針對(duì)采用無(wú)信息先驗(yàn)試驗(yàn)或試驗(yàn)信息折合方法易導(dǎo)致評(píng)估結(jié)果可信性不高的問題提出的。二者的共同之處在于：一是它們都是Bayesian可靠性評(píng)定模型中各階段武器裝備系統(tǒng)可靠性向量的先驗(yàn)分布函數(shù)；二是它們都能夠把邊緣分布和聯(lián)合分布特性與專家意見、經(jīng)驗(yàn)和同類武器裝備系統(tǒng)的試驗(yàn)信息相結(jié)合，進(jìn)行準(zhǔn)確的可靠性增長(zhǎng)過程分析與管理。其不同之處則主要包括以下3個(gè)方面：①工程的適用背景不同。次序Dirichlet模型只用1個(gè)參數(shù)β描述檢測(cè)區(qū)間武器裝備系統(tǒng)的可靠性方差，其工程適用性不強(qiáng)；而新Dirichlet模型則可用2個(gè)參數(shù)ak，bk來(lái)描述各階段武器裝備系統(tǒng)可靠性估計(jì)值及估計(jì)值的可信度，其工程適用性較好。② 先驗(yàn)密度函數(shù)有差異。次序Dirichlet模型的先驗(yàn)密度函數(shù)是單峰值函數(shù)，當(dāng)參數(shù)β取值較大時(shí)，各階段的先驗(yàn)方差較小，易導(dǎo)致先驗(yàn)分布的主導(dǎo)性過強(qiáng)，試驗(yàn)結(jié)果對(duì)后驗(yàn)推斷的影響較??；而新Dirichlet模型則利用各檢測(cè)區(qū)間參數(shù)ak，bk解決了此問題。③參數(shù)的物理意義不同。次序Dirichlet模型參數(shù)的物理意義明顯，ai（i＝1，2，…，m）表示第i階段可靠性增量，β為尺度參數(shù)，表示技術(shù)人員對(duì)上述參數(shù)的確信程度；而在新Dirichlet模型中參數(shù)的物理意義不明顯，難以用先驗(yàn)信息直接確定，易導(dǎo)致可操作性不強(qiáng)的問題。

1.2.2 可靠性增長(zhǎng)模型參數(shù)求解方法比較

可靠性增長(zhǎng)模型的參數(shù)求解方法較多，文中主要列舉了導(dǎo)數(shù)最小二乘估計(jì)、最小二乘擬合、非線性回歸最小二乘擬合、Virene算法和最大似然估計(jì)等方法。因此，筆者主要對(duì)上述方法的異同點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)的比較與分析。

1）參數(shù)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。從參數(shù)估計(jì)結(jié)果看，參數(shù)估計(jì)方法不同，估計(jì)量會(huì)有差別。因此，在評(píng)價(jià)參數(shù)估計(jì)量時(shí)，一般都會(huì)以無(wú)偏性、有效性和相合性等3方面進(jìn)行比較。而以最小二乘法為基礎(chǔ)的各類參數(shù)估計(jì)方法同最大似然估計(jì)相比，其有效性和無(wú)偏性較差。

2）參數(shù)應(yīng)用的簡(jiǎn)易程度。以最小二乘法為基礎(chǔ)的各類參數(shù)估計(jì)方法是通過圖形觀察，得出數(shù)據(jù)分布具有簡(jiǎn)單的線性或非線性特征后，以誤差平方和最小為判定準(zhǔn)則求解參數(shù)的計(jì)算過程。在應(yīng)用過程中簡(jiǎn)便、易行，可操作性較強(qiáng)；而最大似然估計(jì)則必須知道各樣本的概率密度函數(shù)，相比較前者而言，它的可操作性的難度更高。

3）模型參數(shù)的求解速度與精度。最大似然參數(shù)估計(jì)法與最小二乘法在求解模型參數(shù)時(shí)，對(duì)于較為復(fù)雜的問題，都需要建立超越方程組，求解速度較慢，而且參數(shù)的求解精度與收斂性不易控制；Virene算法、非線性回歸最小二乘法和基于增長(zhǎng)因子的線性回歸法，是通過簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，以線性項(xiàng)近似非線性項(xiàng)等方法，達(dá)到加快求解速度的目的。然而，精度較差；基于遺傳算法和模擬退火算法等智能算法的模型參數(shù)求解法，是通過設(shè)置退火溫度、遺傳代數(shù)等方法，依據(jù)全局收斂的思想，實(shí)現(xiàn)參數(shù)求解從局部最優(yōu)向全局最優(yōu)的轉(zhuǎn)化，提高參數(shù)的求解速度。然而，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。

2 存在問題及改進(jìn)方向

通過對(duì)可靠性增長(zhǎng)模型的分析與比較可以看出，目前仍存在以下3方面問題：

1）在AMSAA模型中，當(dāng)t→＋∞時(shí)，強(qiáng)度函數(shù)ρ（t）不收斂。

2）在武器裝備系統(tǒng)可靠性增長(zhǎng)過程分析中，樣本異總體的問題將會(huì)對(duì)可靠性分析產(chǎn)生較大影響，特別是現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)為小樣本時(shí)更加明顯。因此，如何體現(xiàn)不同試驗(yàn)階段武器裝備系統(tǒng)可靠性的差異性與相似程度，也是可靠性增長(zhǎng)模型存在的問題之一。

3）可靠性增長(zhǎng)模型的尺度參數(shù)β是技術(shù)人員對(duì)估計(jì)值的確信程度，也是對(duì)先驗(yàn)信息不確定的一種彌補(bǔ)措施。然而，它也不可避免的引入了主觀因素，易影響結(jié)果的可信度。

針對(duì)上述存在問題，筆者認(rèn)為應(yīng)從以下3方面進(jìn)行改進(jìn)：

1）在AMSAA模型的強(qiáng)度函數(shù)中引入隨機(jī)變量，完成其收斂過程的分析與判斷；

2）在使用Bayes方法確定先驗(yàn)分布時(shí)，應(yīng)在共軛先驗(yàn)分布中引入繼承因子與更新因子，減少歷史樣本與樣本異總體對(duì)武器裝備系統(tǒng)可靠性的影響；

3）對(duì)于Dirichlet模型的尺度參數(shù)β，在量化過程中引入語(yǔ)言值與隸屬度函數(shù)，使數(shù)值的量化結(jié)果更為準(zhǔn)確、客觀，減少人為因素的影響。

3 結(jié) 論

系統(tǒng)性與復(fù)雜性是武器裝備的重要特征。在武器裝備系統(tǒng)的研制與發(fā)展過程中，它必須經(jīng)過“試驗(yàn)—分析—改進(jìn)—再試驗(yàn)”的過程，才能不斷提高武器裝備系統(tǒng)的可靠性。因此，進(jìn)行武器裝備系統(tǒng)可靠性增長(zhǎng)分析，是減少序貫試驗(yàn)次數(shù)，節(jié)約研制經(jīng)費(fèi)，縮短研制周期，不斷改進(jìn)與完善武器裝備系統(tǒng)可靠性的重要手段與方法?；诖?，文中對(duì)可靠性增長(zhǎng)模型，如Duane模型、AMSAA模型和Compertz模型等，進(jìn)行了詳細(xì)的分析與比較，并指出了存在問題與改進(jìn)方向，希望能為武器裝備系統(tǒng)可靠性增長(zhǎng)研究提供理論參考與借鑒。然而，文中對(duì)其他諸如指數(shù)模型、Lloyd模型和Lipow模型等，并沒有展開集中論述，而且可靠性評(píng)估和故障分析作為可靠性增長(zhǎng)過程的重要內(nèi)容，也有待于下一步繼續(xù)深入研究與探討。

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