圓曲線間緩和曲線任意點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算

摘 要:本文主要論述了圓曲線間緩和曲線上任意點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法及實(shí)例應(yīng)用。

關(guān)鍵詞:圓曲線 緩和曲線 回旋曲線 坐標(biāo)計(jì)算

中圖分類號(hào):P226文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1674-098X(2012)04(b)-0097-02

1 引言

按直線—緩和曲線—圓曲線—緩和曲線—直線的次序組合而成的線型組合為基本型，此種線型的線路坐標(biāo)計(jì)算已多有論述。而對于高等級(jí)公路，特別是高速公路，為保證汽車在轉(zhuǎn)彎時(shí)的安全、穩(wěn)定、消除曲率突變以及增加線形美觀，在曲線的線型設(shè)計(jì)上，采用了以緩和曲線為主體的線型結(jié)構(gòu)，如緩和曲線連接兩個(gè)同向圓曲線的線型組合形式，這也使得曲線的計(jì)算和測設(shè)更為復(fù)雜，本文就此類緩和曲線任意點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算進(jìn)行了推導(dǎo)。

2 緩和曲線的基本特征

按基本型的線型組合，緩和曲線嵌入直線與圓曲線間后，其緩和曲線的曲率半徑由無窮大(與直線連接處)逐漸變化至圓曲線半徑R(與圓曲線連接處)。緩和曲線上任一點(diǎn)的曲率半徑Rt與該點(diǎn)至曲線起點(diǎn)曲線長lt成反比，即:Rt=C/lt(C為常數(shù)，為曲線半徑變化率)。當(dāng)lt等于所采用的緩和曲線長度l0時(shí)，曲率半徑Rt等于R，故C=R×l0，對于曲線上任意一點(diǎn)則有Rt×lt=R×l0。如圖1所示，建立以直緩點(diǎn)ZH為原點(diǎn)，過ZH點(diǎn)的緩和曲線的切線為X軸的直角坐標(biāo)系。文獻(xiàn)[1]中推導(dǎo)了緩和曲線任意點(diǎn)坐標(biāo)及緩和曲線角計(jì)算公式，見公式(1)、(2):

(1)

(2)

(3)

當(dāng)曲線左旋時(shí)，x為正、y為負(fù);曲線右旋時(shí)，x、y均為正。

3 兩圓曲線間的緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算

由直線—緩和曲線(H1)—圓曲線(R1)—緩和曲線(H)—圓曲線(R2)—緩和曲線(H2)—直線構(gòu)成的平面曲線，其中由圓曲線(R1)—緩和曲線(H)—圓曲線(R2)構(gòu)成的平面曲線坐標(biāo)計(jì)算為一般文獻(xiàn)中未涉及此問題。連接兩圓曲線的緩和曲線仍是回旋曲線，曲線半徑變化率為:

C=lR1R2×R1R2/(R1-R2)

其中:lR1R2為連接兩圓曲線的緩和曲線長度;

R1、R2為相鄰圓曲線半徑，且R1>R2。

此類連接兩圓曲線的緩和曲線沒有起點(diǎn)(即直緩點(diǎn)ZH)，其只為緩和曲線中半徑由R1變?yōu)镽2段。因此，計(jì)算此段緩和曲線的坐標(biāo)的首要問題是，找出緩和曲線起點(diǎn)，虛擬地恢復(fù)基本型線型組合即由直線—緩和曲線—圓曲線構(gòu)成的平面曲線，再用公式(1)、(2)計(jì)算出緩和曲線任意點(diǎn)坐標(biāo)。又知緩和曲線的曲率半徑由無窮大逐漸變到圓曲線半徑R，由于R1>R2，則知緩和曲線的起點(diǎn)應(yīng)在圓曲線半徑大的一端(即圓曲線R1端)，此時(shí)圓曲線半徑R=R2。這樣虛擬的恢復(fù)緩和曲線起點(diǎn)為ZH(直緩點(diǎn))，并構(gòu)成基本型曲線，如圖2所示。由C=lR1R2×R1R2/(R1-R2)及C=l0×R2計(jì)算出緩和曲線實(shí)際總長l0(HY至ZH點(diǎn))。因此，YH點(diǎn)至ZH點(diǎn)的曲線長:l1=l0-lR1R2，由l0、l1及公式(1)、(2)可計(jì)算出HY、YH點(diǎn)坐標(biāo)的獨(dú)立坐標(biāo)。

設(shè)P(xi，yi)為緩和曲線上任意一點(diǎn)，則其至YH點(diǎn)曲線長為li，則至ZH點(diǎn)曲線長為(li+l1)，由公式(1)、(2)、(3)推導(dǎo)出連接兩圓曲線的緩和曲線任意點(diǎn)坐標(biāo)及緩和曲線角計(jì)算公式為:

(4)

(5)

(6)

根據(jù)獨(dú)立坐標(biāo)與大地坐標(biāo)換算關(guān)系，由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式⑺、⑻計(jì)算出緩和曲線上任意點(diǎn)P(xi，yi)的大地坐標(biāo)(Xp，YP)。

Xp=X0＋xicosα－yisinα (7)

Yp=Y0＋xisinα＋yicosα (8)

當(dāng)已知此段緩和曲線上任意一點(diǎn)P(xi，yi)坐標(biāo)時(shí)，可依據(jù)公式(9)、(10)求出緩和曲線起點(diǎn)(虛擬點(diǎn))的坐標(biāo)(X0，Y0)。

X0=Xp－xicosα＋yisinα (9)

Y0=Yp－xisinα－yicosα (10)

注:當(dāng)曲線左旋時(shí)，x為正、y為負(fù);曲線右旋時(shí)，x、y均為正。

4 工程實(shí)例

湖北省十漫高速公路花園隧道為一條分離式隧道，隧道左線起訖里程為ZK91+705～ZK92+130，全長425m;右線起訖里程為YK91+705.227～YK92+133.426，全長428.199m，由于在選線時(shí)要與另一長隧道相連及地形所限，隧道左、右線均位于兩圓曲線間的緩和曲線上，其右線一段平面曲線設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)(見表1)，緩和曲線長lR1R2=151.385，R1=2600m，R2=1640m，求緩和曲線虛擬起點(diǎn)(ZH)的坐標(biāo)和曲線上任意一點(diǎn)Y3K91+900[P(Xi、Yi)]點(diǎn)的坐標(biāo)。

因R1>R2，緩和曲線起點(diǎn)在圓曲線R1端，此時(shí)圓曲線半徑R=R2?；謴?fù)以ZH點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，如圖3所示。

4.1 緩和曲線虛擬起點(diǎn)(ZH)的坐標(biāo)求解

由C=lR1R2×R1×R2/(R1-R2)=151.385×2600×1640/(2600-1640)=672401.7，得緩和曲線實(shí)際總長(YH至ZH):l0=C/R2=672401.7/1640=410m，則l1=l0–lR1R2=258.616m。因曲線為左旋，x為正、y為負(fù)，由l0、l1和公式(4)、(5)、(6)計(jì)算出YH點(diǎn)的獨(dú)立坐標(biāo):

xYH=258.552、xYH=-4.287、β=2°50′58.3″

依據(jù)YH點(diǎn)的獨(dú)立坐標(biāo)、緩和曲線角β、公式(9)、(10)計(jì)算出ZH點(diǎn)的大地坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo)與大地坐標(biāo)夾角α為:

XZH=3668391.204，YZH=37495695.535，α=2°50′58.3″+312°38′25.9″=315°29′24.2″

4.2 緩和曲線任意一點(diǎn)Y3K91+900點(diǎn)的坐標(biāo)求解

l0=C/R2=672401.7/1640=410m，則l1=l0–lR1R2=258.615m，li=900-820.546=79.454m。因曲線為左旋，x為正、y為負(fù)，由l0、l1和公式(4)、(5)計(jì)算出所求點(diǎn)的獨(dú)立坐標(biāo)為:

xi=337.826、yi=-9.572

通過所求點(diǎn)的獨(dú)立坐標(biāo)、ZH點(diǎn)的大地坐標(biāo)、α、公式(7)、(8)計(jì)算出Y3K91+900點(diǎn)的大地坐標(biāo):

Xp=3668625.407、Yp=37495451.882

5 結(jié)語

位于兩圓曲線間的緩和曲線仍是回旋曲線，通過恢復(fù)緩和曲線起點(diǎn)(直緩點(diǎn)ZH)使這種曲線的組合變?yōu)榛拘颓€組合即:直線—緩和曲線—圓曲線的平面曲線，再利用基本公式⑴、⑵計(jì)算緩和曲線任意點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而求得大地坐標(biāo)。使得使用編程便攜式計(jì)算器計(jì)算更為方便。但在計(jì)算時(shí)需注意曲線的旋轉(zhuǎn)方向和緩和曲線所連接圓曲線的起終點(diǎn)里程。

參考文獻(xiàn)

[1]交通工程測量學(xué).成都.西南交通大學(xué)出版社.

[2]盧印剛.公路緩和復(fù)曲線(卵型曲線)特性的研究及其應(yīng)用.礦山測量.

[3]曲線測設(shè)廣義公式及其應(yīng)用.北京.中國鐵道出版社.