劉世杰, 周鈺謙, 皮金鑫

(成都信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610225)

0 引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,越來(lái)越多復(fù)雜的現(xiàn)象都可以用非線(xiàn)性波動(dòng)方程來(lái)描述。例如流體力學(xué),光電通信,大氣環(huán)流等。因此尋求新的解決問(wèn)題的方法就勢(shì)在必行。近些年來(lái)許多行之有效的方法被提出如,sine-cosine展開(kāi)法[1],齊次平衡法[2],Darbour變換法[3],截?cái)嗟腜ainleve展開(kāi)法[4],Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法[5],tanh函數(shù)展開(kāi)方法及其推廣方法[6],雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法[7]等?，F(xiàn)在應(yīng)用較為廣泛的是王明亮提出的(G′/G)展開(kāi)法[8-11],使用起來(lái)簡(jiǎn)潔,高效。

文中研究的非線(xiàn)性波動(dòng)方程[12]

當(dāng)k=1,q=0時(shí)方程變形為著名的Klein-Gordon方程utt-uxx+pu+su3=0.當(dāng)p=0,q=m2,s=g2時(shí)方程變形為著名的Landou-Ginburg-Higgss方程utt-uxx-m2u+g2u3=0.

主要借助改進(jìn)的(G′/G)展開(kāi)法[10]來(lái)求解方程(1)。首先介紹改進(jìn)的(G′/G)展開(kāi)法。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮非線(xiàn)性發(fā)展方程

其中 x,t為自變量,H為u及u的偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式。為了得到方程的(2)的行波解,做一個(gè)行波變換u(x,t)=U(ξ),ξ=x+ct則方程可化為

設(shè)方程(3)的解的形式為

其中G(ξ)滿(mǎn)足二階常微分方程

由方程(5)易得,當(dāng) G′(ξ)≠0時(shí),

2 用改進(jìn)的(G′/G)方法求解非線(xiàn)性波動(dòng)方程

首先對(duì)方程(1)作行波變換 ξ=x+ct.令 u(x,t)=U(ξ),則方程(1)化為

平衡方程(7)中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)U″與非線(xiàn)性項(xiàng)U3,得到平衡系數(shù)n=1,由方程(4),則可以令方程的解為:

將解(8)帶入方程(7)中,得到方程(7)中的各項(xiàng)為

將(8)、(9)、(10)、(11)式代入方程(7),合并的同類(lèi)項(xiàng),并令其同次冪為0。則得到關(guān)于a1,b1,c0,λ,μ的代數(shù)方程組:

利用Maple軟件求解以上代數(shù)方程組,得到關(guān)于a1,b1,c0,λ,μ的幾組解:

為了更好地理解方程解的情況,給出第7組解的數(shù)值模擬圖,不妨令K1=1,K2=2.

圖1 利用Maple軟件得到關(guān)于 a1,b1,c0,λ,μ的第7組解的數(shù)值模擬圖

3 結(jié)論

借用改進(jìn)的(G′/G)展開(kāi)法求解了一類(lèi)非線(xiàn)性方程,得到了7組不同的精確解,并單獨(dú)給出了第7組解的數(shù)值模擬圖。加深了對(duì)方程解的理解。

致謝:感謝成都信息工程學(xué)院科研項(xiàng)目(CSRF20100)對(duì)本文的資助

[1] 閆振亞.淺水波近似方程的顯式精確解[J].煙臺(tái)大學(xué)學(xué)報(bào),2000,13(1):8-17.

[2] Wang M L.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equation[J].Physics Letter A,1995,199:169-172.

[3] 范恩貴.可積系統(tǒng)與計(jì)算機(jī)代數(shù)[M].北京:北京科學(xué)出版社,2004.

[4] Parkes E J,Duffy B R.Traveling solitary wave solution to a compound KdV-Burgers equation[J].Physics Letters A,1997,229:217-220.

[5] 劉式適,付遵濤,劉式達(dá).變系數(shù)非線(xiàn)性方程的Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)解[J].物理學(xué)報(bào),2002,51:1923.

[6] Parkes E J,Duffy B R.An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to non-linear evolution equations[J].Computer Physics Communication,1996,98:288-300.

[7] 李志斌,張善卿.非線(xiàn)性波方程準(zhǔn)確孤立波解的符號(hào)計(jì)算[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),1997,17(1):81-89.

[8] 王明亮,李志斌,周宇斌.齊次平衡原則及其應(yīng)用[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào),1999,98:8-16.

[9] 劉倩,周鈺謙,王法官.長(zhǎng)短波相互作用方程的精確行波解[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011:524-528.

[10] 王法官,劉合春.攝動(dòng)Wadati-Segur-Ablowitz方程的精確行波解[J].成都信息工程學(xué)報(bào),2010,25(5):542-546.

[11] 劉合春,王法官.非線(xiàn)性發(fā)展方程的精確解[J].成都信息工程學(xué)院學(xué)報(bào),2010,25(5):551-556.

[12] 劉煜,范立群.一類(lèi)非線(xiàn)性波動(dòng)方程新的顯式精確解[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(bào),2008,12:83-85.