王 進(jìn)， 印長(zhǎng)俊， 馬石城， 張 亮

(湘潭大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院， 湖南 湘潭 411105)

漸進(jìn)均勻化方法(AHM)是70年代出現(xiàn)的一種從攝動(dòng)法出發(fā)，從細(xì)觀力學(xué)的角度來研究周期性復(fù)合材料力學(xué)性能的方法，文獻(xiàn)[1]給出了一般彈性問題的均勻化控制方程，文獻(xiàn)[2]在此基礎(chǔ)上推出了二維問題的AHM彈性解，文獻(xiàn)[3]應(yīng)用有限元程序ABAQUS得出了加強(qiáng)體三維問題的數(shù)值解，文獻(xiàn)[4]以細(xì)觀力學(xué)均勻化為基礎(chǔ)得出了砌體的三維彈性數(shù)值解并分析了數(shù)值解和細(xì)觀力學(xué)模型解相比的誤差。為了將AHM應(yīng)用于工程，文獻(xiàn)[5]以均勻化控制方程為基礎(chǔ)，通過APDL語言對(duì)ANSYS開發(fā)了均勻化計(jì)算程序AHMP 1.0。傳統(tǒng)的砌體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法是根據(jù)試驗(yàn)和工程經(jīng)驗(yàn)，以概率論為基礎(chǔ)的極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法。傳統(tǒng)的方法缺乏系統(tǒng)的理論支持，難以進(jìn)一步分析受力性能和破壞機(jī)理，設(shè)計(jì)方法也難進(jìn)一步發(fā)展，而直接用有限元分析計(jì)算成本太高，難以與工程應(yīng)用接軌。砌體是由砌塊和砂漿按一定的周期性復(fù)合組砌而成，引入AHM來研究砌體是目前的一個(gè)趨勢(shì)。

1 均勻化理論及其計(jì)算程序

1.1 均勻化理論

如果不考慮單胞的殘余應(yīng)力和體力，3D單胞Y域中的兩個(gè)控制方程為：

?v∈VY

(1)

(2)

B. Hassani和E. Hinton推導(dǎo)了2D問題的解析解和數(shù)值解，本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步對(duì)3D問題進(jìn)行簡(jiǎn)單推導(dǎo)。若剛度較大材料和剛度較小材料都是各項(xiàng)同性體，2D問題需要求解3種工況得到等效彈性矩陣D的5個(gè)分量；3D問題則需要求解6種工況得到等效彈性矩陣D的12個(gè)分量，這6個(gè)工況分別是(a：k=l=1)，(b：k=l=2)，(c：k=l=3)，(d：k=2,l=3)，(e：k=3,l=1)，(f：k=1,l=2)，下面將以工況a為例進(jìn)行分析。

ε(v)=

(3)

ε(φ)=

(4)

(5)

這里ei是彈性矩陣的列向量，i=1,2,3,4,5,6，因此

(6)

將式(3)，式(4)和式(6)代入展開并去掉零系數(shù)的式(1)中得到

(7)

同樣的，3D情況下，式(2)可以變成

(8)

(9)

(10)

1.2 計(jì)算程序

絕大多數(shù)的單胞均勻化方程必須采用數(shù)值解法，例如有限元法、邊界元法、波譜法，本文采用有限元法。參考文獻(xiàn)[5]的計(jì)算程序，將此程序與砌體三維等效模量的計(jì)算接軌。以文獻(xiàn)[6]為理論基礎(chǔ)，利用APDL語言實(shí)現(xiàn)AHM，并分析剪壓砌體力學(xué)行為包括五步：

(1)建立單胞有限元模型，單胞的選取應(yīng)考慮周期性和對(duì)稱性，盡可能的簡(jiǎn)化幾何結(jié)構(gòu);

(4)重復(fù)(1)～(3)步，求得其它工況下的等效模量矩陣，對(duì)于3D問題需要算6次；

(5)根據(jù)已求得的等效模量張量定義正交各向異性均勻化材料，建立砌體剪力墻的均勻化有限元模型分析其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)和破壞機(jī)理。

2 算 例

2.1 AHM適用性

本算例是為了驗(yàn)證將AHM應(yīng)用于砌體三維等效模量的計(jì)算是否合理，算例的計(jì)算模型各參數(shù)以及結(jié)果的表現(xiàn)形式與A. Zucchini的相同，只有計(jì)算方法不同。A. Zucchini的算例中磚的尺寸為210×100×52 mm3，砂漿灰縫厚度均為10 mm。根據(jù)周期性和對(duì)稱性選取均勻化三維單胞如圖1，并建立單胞的笛卡爾右手系，X沿墻長(zhǎng)方向，Y沿墻高方向，Z沿墻厚方向。保持砌塊的材料特性為常數(shù)，而砂漿的材料特性是變化的。令磚的楊氏彈性模量Eb=20 GPa，泊松比vb=0.15；令磚的楊氏彈性模量與砂漿的楊氏彈性模量的比值在1～1000之間變化，即Eb/Em∈[1,1000]，泊松比vm=0.15。

圖1 砌體均勻化單胞

將AHM計(jì)算結(jié)果以及文獻(xiàn)[4]的細(xì)觀力學(xué)模型理論解用曲線的形式表達(dá)于圖2。圖2選列了具有代表性的四個(gè)等效模量分量，EH為均勻化等效模量，Eb為砌塊的楊氏彈性模量，Em為砂漿的楊氏彈性模量。

圖2 AHM與細(xì)觀力學(xué)模型解的比較

通過對(duì)比可見，AHM計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]細(xì)觀力學(xué)模型理論解很接近，誤差均不超過7.032%，說明在下文中應(yīng)用AHM分析砌體是合理的，同時(shí)也說明AHM在砌體結(jié)構(gòu)實(shí)際工程中是適用的。

2.2 砌體剪力墻

本例應(yīng)用AHM分析砌體剪力墻的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)和破壞機(jī)理，首先將砌體剪力墻離散為均勻化單胞，通過2.1節(jié)介紹的AHM計(jì)算得到單胞的三維等效模量D。然后定義一種新的正交各向異性實(shí)體材料：均勻化砌體。將三維等效模量D賦予這種均勻化砌體，在ANSYS平臺(tái)上建立受平面內(nèi)剪壓復(fù)合作用的均勻化砌體剪力墻模型，得到剪力墻的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)和位移等，并分析砌體剪力墻的破壞機(jī)理。與復(fù)合界面模型、砌體剪力墻試驗(yàn)[7]的相關(guān)結(jié)論對(duì)比，進(jìn)而說明AHM分析砌體剪力墻的有效性。

本例基于AHM的有限元模型采用8節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體單元，剪力墻尺寸為990×1000 mm2，由18皮磚按順磚砌式砌筑而成，其中，上下各一皮固支在鋼梁上，底部鋼梁與地面固支，頂部鋼梁與地面滑支，如圖3。試驗(yàn)中的剪力墻為機(jī)制粘土磚，尺寸為210×52×100 mm3，砌筑灰縫厚度均為10 mm。為了模擬實(shí)際砌體房屋中某一面墻的受力狀態(tài)，試驗(yàn)中采取不同的豎向均布荷載p對(duì)剪力墻進(jìn)行預(yù)壓，然后在剪力墻頂部施加一個(gè)單調(diào)緩慢均勻增大的水平荷載，該水平荷載采用極限應(yīng)變控制，保持上下邊界只發(fā)生水平位移，不允許產(chǎn)生豎向位移。相關(guān)材料參數(shù)列于表1中。為了模擬上下部可以視為剛體的鋼梁，上下部的邊界節(jié)點(diǎn)被強(qiáng)制產(chǎn)生與鋼梁完全相同的豎向和水平位移，在有限元求解器中按線性運(yùn)算法則、非對(duì)稱解方案、不考慮砌體失穩(wěn)進(jìn)行求解。

圖3 試驗(yàn)剪力墻破壞形態(tài)

本文用以對(duì)照的砌體剪力墻試驗(yàn)是由Raijmakers 和Vermeltfoort在CUE的架構(gòu)下進(jìn)行的[8]。用以對(duì)照的數(shù)值模型采用Lourenco和Rots的CIM[9,10]，相關(guān)力學(xué)參數(shù)列于表1中。

表1 砌體剪力墻的力學(xué)參數(shù)

試驗(yàn)中，剪力墻的最后破壞形態(tài)及裂縫分布見圖3，Lourenco和Rots的CIM模擬剪力墻的加載破壞最終形態(tài)及應(yīng)力云圖如圖4?；贏HM的有限元模型在裂縫貫通破壞時(shí)的第三主應(yīng)力云圖如圖5，第三主應(yīng)變?cè)茍D如圖6。本例針對(duì)計(jì)算結(jié)果分析如下：

(1)AHM的第三主應(yīng)力值介于-11.91～+0.57 MPa，CIM為-12.82～+0.90 MPa，在數(shù)值上吻合。

(2)AHM有一條大致呈60°的斜向壓應(yīng)力帶，而CIM有兩條壓應(yīng)力帶，分布在斜向裂口兩邊，在走向上大致吻合。CIM有兩條壓應(yīng)力帶的原因是該模型在加載后期磚和砂漿發(fā)生斷裂產(chǎn)生裂口之后內(nèi)應(yīng)力重新分布。

(3)AHM和CIM兩個(gè)模型的兩個(gè)趾部壓應(yīng)力水平都很高，并最終導(dǎo)致趾部壓潰，局部應(yīng)力分布與試驗(yàn)和CIM相似。

(4)AHM模擬得到的頂部最大水平位移d=3.05 mm，而CIM模擬得到的剪力墻破壞時(shí)的最大位移d=4.0 mm，誤差為23.75%。這是因?yàn)锳HM在彈性范圍內(nèi)分析，而CIM考慮了斷裂和損傷，所以AHM模擬得到的水平位移相對(duì)較小。

(5)AHM的應(yīng)變?cè)茍D表明有一條大致呈60°的斜向壓應(yīng)變帶，在這條壓應(yīng)變帶中將先產(chǎn)生裂縫，因?yàn)锳HM沒有考慮斷裂和損傷，所以圖中沒有裂縫。而剪力墻試驗(yàn)和CIM表明在加載的早期底部和頂部就產(chǎn)生了水平拉裂裂縫，加載后期產(chǎn)生形似踏步的斜向裂縫，隨著趾部磚被壓潰和中部斜裂縫處磚的突然斷裂使斜裂縫貫通，最終導(dǎo)致了剪力墻的破壞。破壞機(jī)理與試驗(yàn)和CIM大致相似。

圖4 CIM破壞形態(tài)及應(yīng)力云圖

圖5 AHM第三主應(yīng)力云圖

圖6 AHM第三主應(yīng)變?cè)茍D

3 結(jié)論與展望

本文驗(yàn)證了AHM對(duì)于砌體三維等效模量的計(jì)算是適用的，并應(yīng)用AHM分析了砌體剪力墻的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)和破壞機(jī)理，得到驗(yàn)證，對(duì)砌體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)理論有一定指導(dǎo)意義。對(duì)砌體結(jié)構(gòu)進(jìn)行均勻化處理以后，在ANSYS平臺(tái)上可以方便的求解出該工況下砌體的等效模量分量，計(jì)算精度可以滿足工程應(yīng)用的要求，實(shí)現(xiàn)了與工程應(yīng)用的緊密聯(lián)系。

今后的工作是發(fā)展在ANSYS平臺(tái)上有效的、便于操作的砌體計(jì)算模塊，最終與工程應(yīng)用無縫對(duì)接?？紤]彈塑性和損傷的砌體極限狀態(tài)分析，進(jìn)一步分析砌體的破壞機(jī)理，為設(shè)計(jì)方法的發(fā)展提供參考。

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