質(zhì)心平移定理

王光宇

(上海市松江教師進(jìn)修學(xué)院附屬立達(dá)中學(xué) 上海 201600)

1 問題提出

如圖1所示，設(shè)想某人提起啞鈴處于自然狀態(tài)Ⅰ，如圖1(a).而后將啞鈴緩慢抬起處于狀態(tài)Ⅱ，如圖1(b).由狀態(tài)Ⅰ到狀態(tài)Ⅱ，人-啞鈴系統(tǒng)的質(zhì)心發(fā)生了改變，不難想象，系統(tǒng)質(zhì)心位移應(yīng)與啞鈴質(zhì)量和位移有關(guān).那么，假如只是剛體的一部分發(fā)生了平移(簡(jiǎn)稱“動(dòng)體”)，而另一部分保持在原來的位置(簡(jiǎn)稱“靜體”)，則剛體質(zhì)心發(fā)生了位移，試問剛體質(zhì)心位移與哪些因素有關(guān)？本文借用能量、力矩、動(dòng)量等方法對(duì)其進(jìn)行理論分析，供讀者在教學(xué)中參考.

圖1 人提起啞鈴

2 基本理論

2.1 能量法

圖2

動(dòng)體平移前后剛體的重力勢(shì)能

Ep=Mgh

(1)

(2)

由式(1)、(2)得出剛體重力勢(shì)能的變化量

Mg(h′-h)=MgΔh

(3)

由于剛體重力勢(shì)能的變化主要由于動(dòng)體的位置變化引起，所以，剛體重力勢(shì)能的變化量應(yīng)由動(dòng)體的變化確定

ΔEp=mglcosθ

(4)

由式(3)、(4)得

MgΔh=mglcosθ

即

剛體質(zhì)心沿OOM方向變化量

(5)

同理，剛體質(zhì)心沿垂直O(jiān)OM方向變化量

(6)

2.2 力矩法

圖3

動(dòng)體平移前、后剛體重力力矩

MG=MglOA

(7)

(8)

由式(7)、(8)得重力力矩變化量

(9)

由于剛體重力力矩的變化由動(dòng)體位移引起，所以剛體重力力矩的變化量等于動(dòng)體力矩的變化量

ΔMG=mglcosθ

(10)

由式(9)、(10)得

MgΔh∥=mglcosθ

即剛體質(zhì)心位移沿OOM方向的變化量

同理，剛體質(zhì)心沿垂直O(jiān)OM方向變化量

2.3 動(dòng)量法

圖4

(M-m)u=m(v-u)

(11)

由式(11)得

經(jīng)時(shí)間t, 動(dòng)體質(zhì)心的相對(duì)位移為l，固連于剛體上的O點(diǎn)位移

(12)

將lOO′在OOM方向和垂直O(jiān)OM方向分解，則剛體質(zhì)心位移沿OOM方向變化量

剛體質(zhì)心位移沿垂直O(jiān)OM方向變化量

3 質(zhì)心平移定理

3.1 質(zhì)心平移定理

質(zhì)心平移定理：平面剛體的一部分發(fā)生平移時(shí)，對(duì)于剛體和其移動(dòng)部分，兩者質(zhì)心位移方向相同，且位移比等于其質(zhì)量的反比.

圖5

(13)

(14)

由式(14)得

定理得證.

討論：

(1)當(dāng)m=M時(shí)，可得

即

lOO′=l

所以，當(dāng)m=M時(shí)，相當(dāng)于剛體發(fā)生整體平移，質(zhì)心位移等于剛體的位移，如同一人站立某處，向前跨一步，仍保持原來的姿勢(shì)，質(zhì)心也隨人體向前平移相同的距離.

(2)當(dāng)m?M時(shí)，可得

即

lOO′=0

所以，當(dāng)m?M時(shí)，平移后，剛體的質(zhì)心位置幾乎沒有變化，如同一人站立，一根頭發(fā)被風(fēng)吹起，頭發(fā)的位移對(duì)人體質(zhì)心位移影響可以被忽略，質(zhì)心位置不變.

(3) 動(dòng)體沿OMO平動(dòng)，即θ=0 或θ=π，可得

3.2 作圖法求剛體質(zhì)心

由質(zhì)心平移定理，平移后剛體的質(zhì)心可通過作圖求得，步驟如下：

(3)在直線OP上求作質(zhì)心點(diǎn)O′，滿足

4 應(yīng)用舉例

【例1】如圖6所示，質(zhì)量均勻分布,長度為L的直桿，繞距離右端l處彎折θ角，求彎折后桿件的質(zhì)心.

圖6

由質(zhì)心平移定理得，剛體質(zhì)心位移與動(dòng)體質(zhì)心位移方向一致，位移大小為

質(zhì)心由O→O′點(diǎn)，O沿OMO方向平移

O沿垂直O(jiān)MO平移

討論：

圖7

圖8

(3) 彎折部分繞彎折點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡.

以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)OM為x軸，垂直O(jiān)OM方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則質(zhì)心參數(shù)方程

消去參數(shù)θ角，可得質(zhì)心O的軌跡方程

5 結(jié)語

質(zhì)心平移定理給質(zhì)心位置的確定提供了又一思路，尤其是因部分平移引起的質(zhì)心位置變動(dòng)問題.該方法帶來了諸多便捷，通過作圖即可確定變動(dòng)后的質(zhì)心位置，教學(xué)或是競(jìng)賽輔導(dǎo)中常見的大多都是規(guī)則幾何體變化而來的問題，由于剛體原質(zhì)心已知，變動(dòng)后的質(zhì)心便可方便地確定.

參考文獻(xiàn)

1 程稼福．中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程力學(xué)篇．合肥：中國科技大學(xué)出版社,2002

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3 沈晨．更高更妙的物理．杭州：浙江大學(xué)出版社,2010

4 漆安慎,杜嬋英．普通物理學(xué)教程 · 力學(xué)(第二版)．北京：高等教育出版社,2005