張紅明

(北京師范大學(xué)附中 北京 100052)

1 背景知識

機(jī)車起動問題是一種典型的力學(xué)問題，在處理這類問題時要特別注意對機(jī)車兩種典型起動方式的運(yùn)動情景的分析．一種起動方式是勻加速起動，或者叫恒定加速度起動；另一種起動方式是恒定功率起動．為了便于對機(jī)車起動問題的研究，下面對機(jī)車這兩種起動方式的運(yùn)動情景做分析．

分析時通常認(rèn)為機(jī)車所受的阻力恒定．

(1)機(jī)車恒定功率起動的分析過程

機(jī)車功率Pm(假定為額定功率)一定，隨著速度v的增大，根據(jù)Pm=Fv知機(jī)車的牽引力變小，再由牛頓第二定律F=ma知機(jī)車的加速度a逐漸變小，但速度v仍然增大，直到牽引力等于阻力即F=f時，加速度為零，速度達(dá)到最大速度vm，且滿足Pm=fvm．機(jī)車恒定功率起動時，先做的是加速度逐漸減小的加速運(yùn)動，最后做勻速直線運(yùn)動．

(2)機(jī)車勻加速起動的分析過程

加速度a一定，根據(jù)v=at，速度v逐漸增大，由P=Fv，功率P逐漸增大直到功率達(dá)到額定功率Pm．此時的牽引力不變，且仍然大于阻力即F>f．機(jī)車可以繼續(xù)加速，但功率保持不變，通過減小牽引力來實(shí)現(xiàn)加速．以后的分析同恒定功率起動的分析過程一樣．

總之，機(jī)車以恒定加速度起動時，先做勻加速直線運(yùn)動，再做加速度減小的加速運(yùn)動，最后做勻速直線運(yùn)動．同樣滿足F=f時，速度最大，且

Pm=fvm

2 問題研究

(1)該汽車的額定功率；

(2)該汽車由靜止開始運(yùn)動，經(jīng)過35 s達(dá)到最大速度40 m/s，求其在BC段的位移．

圖1

本題的解法如下.

(1)通過圖像的C點(diǎn)坐標(biāo)知牽引力F=2 000 N時，速度v=40 m/s，由Pm=Fv得機(jī)車的額定功率為Pm=8×104W；

本題的解法沒有任何問題，但學(xué)生很容易根據(jù)BC段的v-t圖像的定性分析發(fā)現(xiàn)位移至少應(yīng)該大于750 m．圖像如圖2.

圖2

問題出在哪里？顯然題目中條件“該汽車由靜止開始運(yùn)動，經(jīng)過35 s達(dá)到最大速度40 m/s”不合理．速度與時間之間的對應(yīng)關(guān)系不合適，怎樣調(diào)整呢？下面就對恒定功率起動的過程進(jìn)行研究如下.

設(shè)機(jī)車的質(zhì)量為m，阻力恒定為f，當(dāng)機(jī)車以額定功率Pm起動時，根據(jù)牛頓第二定律有

顯然通過解微分方程可以找到速度v與時間t之間的對應(yīng)關(guān)系．以下是解微分方程

得

對上式積分

解得

(1)

通過以上解微分方程，得到的是恒定功率運(yùn)動時，機(jī)車運(yùn)動時間t與機(jī)車速度v之間的函數(shù)關(guān)系.

我們當(dāng)然更希望得到機(jī)車速度v與機(jī)車運(yùn)動時間的關(guān)系，但上述函數(shù)的反函數(shù)是求不出的．同樣希望通過v-t圖像積分得到機(jī)車運(yùn)動位移的想法也不能實(shí)現(xiàn)．

同時我們還會得到一點(diǎn)啟示，就是式(1)為機(jī)車以恒定功率運(yùn)動時，機(jī)車運(yùn)動時間t與機(jī)車速度v之間的滿足函數(shù)關(guān)系.

不難發(fā)現(xiàn),機(jī)車的速度只能是無限地趨近于最大速度，不可能等于最大速度．理論上機(jī)車恒定功率運(yùn)動時，要經(jīng)過無限長的時間才能達(dá)到最大速度．

在實(shí)際問題中，機(jī)車以恒定功率運(yùn)動要經(jīng)過多長時間達(dá)到最大速度？怎樣才能避免編題時所出現(xiàn)的科學(xué)性錯誤？一種簡單的處理方法是，只要用一個接近最大速度的速度值代入上式，算出一個時間即可．如在上述的例題中，代入額定功率Pm=8×104W,代入機(jī)車質(zhì)量m=3×103kg，代入阻力f=2 000 N，代入初速度v0=10 m/s，得到機(jī)車恒定功率運(yùn)動的時間-速度函數(shù)關(guān)系式為

當(dāng)v=39.90時，t=260.01 s．基本上可以認(rèn)為機(jī)車恒定功率的運(yùn)動時間是260 s左右，這樣算出的位移就比較準(zhǔn)確．

當(dāng)t=30 s時，v=35.98 m/s．這就是題目出現(xiàn)位移不合理的原因所在．

圖3

根據(jù)以上研究，本題的第(2)問應(yīng)修改為“該汽車由靜止開始運(yùn)動，經(jīng)過260 s達(dá)到最大速度40 m/s”，當(dāng)然把時間改成200 s以上時就不會有太大的誤差．

在討論t-v函數(shù)關(guān)系時，可以利用幾何畫板作出它的圖像，圖像清楚地顯示速度是無限接近最大速度，如圖3所示．

利用幾何畫板的求點(diǎn)的坐標(biāo)功能，很容易得到t和v之間的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1所示

表1 t和v的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系

3 結(jié)論

機(jī)車以恒定功率起動的問題習(xí)題在高中學(xué)習(xí)中會大量出現(xiàn)，教師在選題或者是編題時只要掌握了函數(shù)關(guān)系式(1)，就不會出現(xiàn)科學(xué)性問題．

參考文獻(xiàn)

1 漆安慎,杜嬋英.普通物理學(xué)教程·力學(xué).北京：高等教育出版社，1997

2 仇慶久.高等數(shù)學(xué).北京:高等教育出版社，2003