陳炎龍，段紅玉

CHEN Yan-long，DUAN Hong-yu

（河南牧業(yè)經(jīng)濟學院 信息工程系，鄭州 450011）

0 引言

實際控制系統(tǒng)中產(chǎn)生的不確定性和時滯會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這使得近十年來不確定時滯系統(tǒng)魯棒控制研究倍受關注[1～3]，在不確定離散多時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究和成本界方面也取得了一些成果[4～6]。然而，基于LMI的不確定多時滯離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和可保成本方面的研究較少。最近，文獻[7]利用線性矩陣不等式（LMI）解決了一類帶有單輸入輸出時滯不確定系統(tǒng)的保成本控制，文獻[8]推廣了這一系統(tǒng)，獲得了多時滯離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和可保成本的新LMI方法。真對文獻[8]，本文研究了基于LMI和BMI的多時滯不確定離散系統(tǒng)穩(wěn)定性凸優(yōu)化算法，以提高可保成本控制水平和獲得較小下界。

1 相關基礎知識

以如下不確定多時滯離散系統(tǒng)為例[8]：

針對系統(tǒng)（1），選取Lyapunov函數(shù)為：

其中，P＞0,Si＞ 0, Tj ＞0。

定義1 對系統(tǒng)（1）和成本函數(shù)（2），如果存在狀態(tài)反饋控制器u?（k）和正數(shù)J?，使得閉環(huán)系統(tǒng)（3）漸進穩(wěn)定，且J ≤J?，則稱J?為可保成本，u? （k）為保成本控制律。

引理1[8]給定矩陣D,E 和維數(shù)適當?shù)膶ΨQ矩陣G，對滿足FT F ≤ I的矩陣F，不等式G+DFE+ETFT DT ＜0成立的充要條件是存在實數(shù)e＞0 使得G+eD D T+e?1ET E＜0。

2 所提系統(tǒng)穩(wěn)定標準

則系統(tǒng)（3）是漸進穩(wěn)定的，且可保成本：

證明 由公式（4）的Lyapunov函數(shù)V（x（k））沿公式（3）系統(tǒng)任意軌線的向前差分為：

令，η（k）=（xT（k）,xT（k?τ））T，將公式（7）中

i第二項改寫為：

因此：

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定理論，公式（3）的系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

不等式（8）表明：

上式可以改寫成：

據(jù)引理，公式（10）成立當且僅當存在實數(shù)e ＞0使得下式成立：式（12）邊同時乘以diag（X,{X m },{X n },I,I），再次利用Schur complement引理，公式（12）與公式（5）等價。而且，由公式（7）式得到：

將公式（13）兩邊從0到∞求和，結合系統(tǒng)穩(wěn)定性，就有：

3 所提相關凸優(yōu)化算法

注3：本算法依賴于初始可行解，在不等式（6）有可行解得情況下，算法可能求不到解.但是如果初始可行解滿足算法，由于它考慮解的迭代搜索，使得獲得的近優(yōu)解具有較少的保守性。

4 實例驗證

考慮不確定多時滯離散系統(tǒng)[8]：

K=（?0.0363,?0.0459,?0.0132）.相應于（6）式的可保成本J *=16.5445，小于文獻[8]中的J *=18.5931。

5 結束語

本文研究了多時滯不確定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，給出了一個系統(tǒng)穩(wěn)定定理，并基于LMI和BMI，提出了一個相關穩(wěn)定性凸優(yōu)化算法，同文獻[8]的方法相比，本文優(yōu)化算法能夠獲得較小的可保成本。

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