李亞文

（商洛學(xué)院 物理與電子信息工程系，陜西商洛 726000）

MATLAB的離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論很早已經(jīng)形成，直到20世紀90年代計算機應(yīng)用和發(fā)展，才使得其得到了廣泛的應(yīng)用[1]。離散系統(tǒng)的研究存在眾多科學(xué)領(lǐng)域，比如：信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、地質(zhì)勘探、道路檢測等[2-3]，前期通過對離散信號特性、離散系統(tǒng)的特性進行數(shù)學(xué)演算分析，可以判斷系統(tǒng)是否是物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，并能進一步優(yōu)化系統(tǒng)特性[4]。本文摒棄了常規(guī)使用數(shù)學(xué)數(shù)值計算或者羅斯準則求解零極點，進而分析系統(tǒng)特性；利用時域分析和頻域分析法研究離散系統(tǒng)響應(yīng)，借助MATLAB軟件通過分析系統(tǒng)函數(shù)特征,間接研究離散系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性幅頻特性和相頻特性，為研究離散系統(tǒng)中的數(shù)字信號傳輸和離散信號檢測提供前提基礎(chǔ)。

1 離散系統(tǒng)

系統(tǒng)分為連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，信號在系統(tǒng)中傳輸主要研究的物理量是：激勵、系統(tǒng)傳輸特性和系統(tǒng)響應(yīng)。其中，當系統(tǒng)各個物理量隨時間變化的規(guī)律不能用連續(xù)函數(shù)描述時，而只在離散的瞬間給出數(shù)值，這種系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。

如圖1為信號通過系統(tǒng)傳輸、處理的框圖。f(·)是系統(tǒng)的輸入（激勵），y(·)是系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)），h(·)是系統(tǒng)特性的一種描述。“·”是信號的自變量，可以是連續(xù)變量t，也可以是離散變量n。

圖1 系統(tǒng)分析框圖

由于離散系統(tǒng)精度高、自適應(yīng)性靈活、抗干擾能力強、可靠性好、集成化程度高且成本低[2]，因此其在通信、交通、航天航空、生物醫(yī)學(xué)、遙感等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

1.1 LTI離散系統(tǒng)時域響應(yīng)分析

LTI的離散系統(tǒng)滿足可分解、線性以及非時變特性。線性時不變連續(xù)系統(tǒng)是由常系數(shù)微分方程描述的，而線性時不變離散系統(tǒng)是由常系數(shù)差分方程描述的。在差分方程中構(gòu)成方程的各項包含有未知離散變量的 y(n)，以及 y(n+1)，y(n+2)，…，y(n-1)，y(n-2)，…。

圖2 離散系統(tǒng)響應(yīng)框圖

N階LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)N階線性差分方程一般形式[1]

a0y(n)+a1y(n-1)+…+aNy(n-N)=b0x(n)+b1x(n-1)+…+bmx(n-M)或者表示為

分析N階LTI離散系統(tǒng)時域響應(yīng)就是求解N階線性差分方程的過程。時域分析法是將離散系統(tǒng)的響應(yīng)劃分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)[3]，即y(k)=yzi(k)+yzs(k)，其中零輸入響應(yīng)是齊次差分方程的解，零狀態(tài)響應(yīng)可由卷積積分的方法求解,

1.2 LTI離散系統(tǒng)頻域分析

直接求解離散時間信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)較為復(fù)雜，因此，引入頻域分析去求解離散系統(tǒng)的時域響應(yīng)，也稱為Z域響應(yīng)。Z變換的定義[4]可由抽樣信號的拉氏變換引出，表示為

在Z域中分析N階離散系統(tǒng)的時域響應(yīng)，步驟如下：

2）對N階的離散差分方程兩邊同時取Z變換：

其中y(l)是初始條件。

3）代入系統(tǒng)的初始條件y(l)，進而可得系統(tǒng)響應(yīng) Y(z)。

4）對系統(tǒng)響應(yīng)Y(z)進行逆Z變換，最終可得離散系統(tǒng)的時域響應(yīng)y(n)。

2 離散系統(tǒng)特性分析

2.1 系統(tǒng)函數(shù)

當外加的激勵信號x(n)是因果序列時，并且系統(tǒng)初始條件為零（y(l)=0,-N≤l≤-1），因此，系統(tǒng)的響應(yīng)就是零狀態(tài)響應(yīng)，即：Y(z)=Yzs(z)。

稱H(z)為系統(tǒng)（傳輸）函數(shù)，定義LTI離散系統(tǒng)輸出Z變換與輸入Z變換之比為系統(tǒng)函數(shù)[5]

根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)對應(yīng)的單位沖擊響應(yīng)，將離散系統(tǒng)劃分為：有限脈沖響應(yīng)FIR（finite impulse response）和無線脈沖響應(yīng)IIR[6-7]（infinite impulse response）。

2.2 離散系統(tǒng)特性

H(z)與h(n)是一對Z變換對，所以只要知道H(z)在z平面上的零、極點分布情況,從而得到系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h(n)的變化規(guī)律。系統(tǒng)函數(shù)不但能反應(yīng)系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，并且能較好的反應(yīng)系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性[7]。

1）因果性

由因果系統(tǒng)的時域條件n＜0，h(n)=0及H(z)的定義，可知因果系統(tǒng)的H(z)只有z的負冪項，其收斂區(qū)為RH-＜|z|≤∞。因此收斂區(qū)包含無窮時，必為因果系統(tǒng)。

2）穩(wěn)定性

3 離散系統(tǒng)分析

由系統(tǒng)的電路模型，根據(jù)電路關(guān)系中電流KCL和電壓KVL關(guān)系得到輸入外加激勵和系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系，進而求解系統(tǒng)響應(yīng)；引入頻域分析，研究離散系統(tǒng)的系統(tǒng)傳輸函數(shù)分析零極點分布進而分析離散系統(tǒng)因果穩(wěn)定性，系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性[8-9]。舉例分析一個離散系統(tǒng)。

某離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

通過分析系統(tǒng)函數(shù)，則可研究離散系統(tǒng)特性，由離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，對差分方程兩邊同時取Z變換，得到系統(tǒng)傳輸函數(shù)

繪制零極點圖，matlab部分關(guān)鍵語句

B=[0.30.40.20.30.4];

A=[1-1.21.2-0.60.4];

[r,p,k]=residue(B,A)

zplane(B,A)

p1=abs(p)

a1=angle(p/pi)

零極點圖分布如圖3所示。

圖3 零極點圖分布

分析零極點圖圖3發(fā)現(xiàn)，極點都位于單位圓內(nèi)，因此該離散系統(tǒng)是個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)[10]。

可以看出，通過判斷系統(tǒng)極點是否位于單位圓內(nèi)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對于一個復(fù)雜的系統(tǒng)來說，求極點并不容易，以往總是使用羅斯（Routh）準則[4]判斷連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，利用勞斯（Jury）準則[4]判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用matlab軟件分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，只需在零極點圖上觀察即可，判斷極點是否位于s的右半平面，或是否有極點在Z平面的單位圓外。

為了分析系統(tǒng)時域響應(yīng)，因此研究系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，如圖4所示。

繪制幅頻相頻特性，matlab關(guān)鍵語句

B=[0.30.40.20.30.4];

A=[1-1.21.2-0.60.4];

[H,w]=freqz(b,a,1000,’whole’);

Subplot(2,1,1); plot(w/pi,abs(H));

Ylabel(‘|H|’);title(‘幅頻特性’)

Subplot(2,1,2); plot(w/pi,angle(H));

Ylabel(‘a(chǎn)ng|H|’);title(‘相頻特性’)

Xlabel（‘omega/pi’）;

圖4 幅頻特性和相頻特性

通過這個離散系統(tǒng)例子可以看出，借助matlab分析離散系統(tǒng)響應(yīng)和系統(tǒng)特性比較方便，而且以圖形形式顯示，較為直觀,比傳統(tǒng)的數(shù)值計算分析系統(tǒng)特性更為精確。

4 結(jié)語

離散系統(tǒng)研究成為通信系統(tǒng)和信號處理方面研究的核心內(nèi)容，既使是連續(xù)系統(tǒng)也是將其以適當?shù)牟介L進行時間離散后，在計算機存儲精度下的離散系統(tǒng)，因此實際的通信和信號處理都是離散信號和離散系統(tǒng)的研究。本文主要分析了求解離散系統(tǒng)時域響應(yīng)的兩種方法，即時域分析法和頻域分析法，通過分析離散系統(tǒng)系統(tǒng)的特性。借助matlab分析離散系統(tǒng)使過程變得簡便，并且圖形展示直觀形象，這種方法準確率高，簡單易于實現(xiàn)，可操作性強，為研究數(shù)字通信系統(tǒng)的研究和離散信號分析提供前提條件。

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