羅 黨，陳 玲

（華北水利水電學(xué)院，河南鄭州 450045）

灰色GM（1，1）模型是灰色系統(tǒng)理論的核心內(nèi)容和方法之一，以其計算簡便、建模所需信息較少、預(yù)測精度較高而在解決不確定關(guān)系因素間的問題方面得到了廣泛應(yīng)用［1］．近年來眾多學(xué)者對GM（1，1）模型進(jìn)行了改進(jìn)和優(yōu)化，使其逐漸趨于合理．但這些研究大多數(shù)是對非負(fù)遞增序列進(jìn)行建模，對衰減序列的理論研究并不完善．當(dāng)原始序列X（0）單調(diào)遞增時，其一次累加生成序列X（1）也單調(diào)遞增，用GM（1，1）模型擬合原始序列的精度較高;當(dāng)原始序列X（0）單調(diào)衰減時，X（1）卻單調(diào)遞增，其模型值也遞增，在對模型值進(jìn)行累減還原成原始序列的模擬值時，就會產(chǎn)生不合理的誤差［2］．

近年來對衰減序列建立模型的研究方法主要分為2種：第一，對原始序列進(jìn)行倒數(shù)變換，并建立模型;第二，對原始序列進(jìn)行反向累加，進(jìn)而建立模型．文獻(xiàn)［2］提出倒數(shù)累加生成的定義，并給出其灰色GRM（1，1）模型及其在藥物動力學(xué)中的應(yīng)用;文獻(xiàn)［3］通過對離散點處灰導(dǎo)數(shù)的加權(quán)處理，來改進(jìn)倒數(shù)累加灰色模型GRM（1，1）;文獻(xiàn)［4］通過對模型參數(shù)的估計，達(dá)到提高倒數(shù)累加灰色模型GRM（1，1）的精度，并給出其在化學(xué)動力學(xué)上的應(yīng)用;文獻(xiàn)［5］提出反向累加生成的定義，給出灰色GOM（1，1）模型;文獻(xiàn)［6］對原始數(shù)據(jù)利用反向變換生成新數(shù)據(jù)序列，建立了GM（1，1）預(yù)測模型．筆者針對衰減序列，提出映射變換和指數(shù)函數(shù)變換，將其轉(zhuǎn)變?yōu)橛成渥儞Q序列和指數(shù)函數(shù)變換序列，并對變換后的序列建立GM（1，1）預(yù)測模型，進(jìn)行模擬和預(yù)測，然后還原到原始序列，從而達(dá)到對原始序列模擬和預(yù)測的目的．通過與文獻(xiàn)［2］的方法進(jìn)行比較，得到了較高的模擬和預(yù)測精度，可為非負(fù)衰減序列的預(yù)測提供新的思路．

1 基本概念

設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），若k=2，3，…，n，x（0）（k）－x（0）（k－1）＜0，則稱X（0）為單調(diào)衰減序列［1］．

引理 1［1］設(shè)X（0）為非負(fù)序列，X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），X（1）為X（0）的一次累 加 生 成 序 列，X（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）），其中，

設(shè)Z（0）為X（1）的緊鄰均值生成序列，

式中：

2 基于衰減序列灰數(shù)預(yù)測模型的構(gòu)建

2．1 映射變換序列預(yù)測模型構(gòu)建

定理 1 設(shè)X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））為單調(diào)衰減的原始序列，則其映射變換序列為單調(diào)遞增序列，即（x（0）（n），x（0）（n+1），…，x（0）（2n－1））為單調(diào)遞增序列．

證明略．

由上述定理可知，經(jīng)過映射變換后單調(diào)衰減序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫f增序列．根據(jù)定義1，求出單調(diào)衰減序列的映射變換序列X（0）1=（x（0）（n），x（0）（n+1），…，x（0）（2n－1）），對映射變換序列X1（0）建立GM（1，1）模型，由引理1和引理2可得GM（1，1）模型x（0）（k）+az（1）（k）=b的時間響應(yīng)序列為

2．2 指數(shù)函數(shù)變換序列預(yù)測模型構(gòu)建

3 實例分析

為便于對照，選取文獻(xiàn)［2］的例子，對一名男性患者靜脈注射2 g藥物后，測得不同時刻的血藥濃度C（mg/mL）見表1．

表1 不同時刻的血藥濃度

由于后兩組數(shù)據(jù)間隔不同，所以取前6組數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，后兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測檢驗．原始數(shù)據(jù)序列為X0=（28，24，21，18，16，14），分別用文獻(xiàn)［2］方法、文章的映射變換序列和指數(shù)函數(shù)變換序列建立模型，得到的模擬值、預(yù)測值、模擬平均相對誤差和預(yù)測平均相對誤差見表2．

表2 對血藥濃度建模的各模型值C mg/mL

由表2的模型值可分別計算各模型的模擬平均相對誤差和預(yù)測平均相對誤差．文獻(xiàn)［2］、映射變換模型和指數(shù)函數(shù)變換模型模擬平均相對誤差依次為0．71%，0．79%，3．96%;預(yù)測平均相對誤差依次為5．63%，1．82%，4．44%．從計算結(jié)果可以看出，映射變換序列模型和指數(shù)函數(shù)變換序列模型的模擬精度比文獻(xiàn)［2］建立的 GRM（1，1）模型的模擬精度略低，但預(yù)測精度高于后者;映射變換序列模型的模擬精度和預(yù)測精度均高于指數(shù)函數(shù)變換序列模型的精度．

4 結(jié)語

對單調(diào)衰減序列的灰色預(yù)測模型中，用倒數(shù)累加生成的建模方法由于在建模之初和模型值還原時均要做一次倒數(shù)變換，會產(chǎn)生較大的計算誤差，所以不適用于數(shù)值較大或較小的非負(fù)序列預(yù)測問題;而用原始序列的映射變換序列可以完全避免這個問題，其適用范圍比較廣泛，只要映射序列符合GM（1，1）建模條件，均可建模，并且由模擬值和預(yù)測值還原到原始序列時沒有數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，所以不會有數(shù)據(jù)損失，從而保持較高的模擬精度和預(yù)測精度．映射變換序列模型的初值選用的是原始序列的最后一個數(shù)據(jù)，體現(xiàn)了新信息優(yōu)先原理．指數(shù)函數(shù)變換序列模型預(yù)測精度和模擬精度較高，可以對非負(fù)衰減序列進(jìn)行預(yù)測．這兩個新模型的提出為非負(fù)單調(diào)衰減序列的建模提供了新方法，擴(kuò)寬了GM（1，1）的適用范圍．

［1］劉思峰，黨耀國，方志耕，等．灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］．5 版．北京：科學(xué)出版社，2010．

［2］楊保華，張忠全．倒數(shù)累加生成灰色GRM（1，1）模型及應(yīng)用［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2003，33（10）：21 －25．

［3］周慧，王曉光．倒數(shù)累加生成灰色GRM（1，1）模型的改進(jìn)［J］．沈陽理工大學(xué)學(xué)報，2008，27（4）：84 －86．

［4］安燕，吳啟勛．倒數(shù)累加生成灰色GRM（1，1）模型及其在化學(xué)動力學(xué)上的應(yīng)用［J］．計算機(jī)與應(yīng)用化學(xué)，2006，23（2）：187－189．

［5］宋中民，鄧聚龍．反向累加生成及灰色GOM（1，1）模型［J］．系統(tǒng)工程，2001，19（1）：66 －69．

［6］王豐效．基于反向變換和遺傳算法的GM（1，1）模型優(yōu)化［J］．統(tǒng)計與決策，2011（16）：20－22．