張明亮，鄧未冰

（河南大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南開封 475004）

目前，我國高等教育已經(jīng)進(jìn)入大眾化發(fā)展階段，各高校的招生數(shù)量急劇增加，給高等教育帶來了深刻的變革，同時(shí)也產(chǎn)生了一系列的問題，如在大多數(shù)高校中，學(xué)生上自習(xí)的教室非常緊張，自習(xí)室資源供求之間的矛盾越來越突出．從學(xué)校方面說，近幾年，由于招生人數(shù)不斷擴(kuò)大，校舍資源相對緊缺，短期內(nèi)教學(xué)樓擴(kuò)建的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)跟不上擴(kuò)招的需求．許多學(xué)校不再設(shè)置固定教室作為學(xué)生自習(xí)室，取而代之的是流動教室，學(xué)生自習(xí)只能在沒有正常上課的教室中進(jìn)行．很多時(shí)候，學(xué)生為了尋找自習(xí)室，從一幢教學(xué)樓跑到另一幢教學(xué)樓，從一樓跑到五樓，逐個教室的找，浪費(fèi)了很多時(shí)間．在自習(xí)的高峰時(shí)段，由于找不到自習(xí)室，學(xué)生只能留在宿舍或者在校園內(nèi)的廣場上看書、學(xué)習(xí)，大大影響了學(xué)習(xí)效率．另外，不同的學(xué)生對教室的需求以及偏好不同，常常會出現(xiàn)有的教室人滿為患，有的教室卻人數(shù)很少，但是所有教室的電燈、電扇或暖氣都開著，這都給學(xué)校的資源造成了極大的浪費(fèi)．

緩解上述的各種狀況僅靠校舍的擴(kuò)建是不現(xiàn)實(shí)的，也難解燃眉之急．要從根本上解決以上問題，關(guān)鍵是要科學(xué)地配置高校資源．筆者針對高校自習(xí)室資源配置問題，給出了一個高校資源配置的優(yōu)化管理模型．

假設(shè)每天每個學(xué)生是否上自習(xí)是相互獨(dú)立的，且服從0－1分布，并假設(shè)每天、每個學(xué)生上自習(xí)的概率保持不變，則每天上自習(xí)學(xué)生數(shù)是一個動態(tài)平衡值，服從二項(xiàng)分布．由中心極限定理可知，上自習(xí)學(xué)生人數(shù)近似服從正態(tài)分布．用MATLAB軟件畫出正態(tài)分布曲線，估計(jì)誤差，并進(jìn)行誤差分析．以高校自習(xí)室優(yōu)先滿足自習(xí)需求為原則，以總滿意度最大和總用電量最小為目標(biāo)建立層次目標(biāo)函數(shù)，并進(jìn)行最優(yōu)分配．

1 自習(xí)室內(nèi)人數(shù)模型

1．1 模型建立

通過對河南大學(xué)每天上自習(xí)的學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計(jì)，利用MATLAB軟件畫出上自習(xí)學(xué)生人數(shù)的正態(tài)分布如圖1所示．

圖1 上自習(xí)學(xué)生人數(shù)分布

圖1中數(shù)學(xué)期望μ0=5 440．應(yīng)用中心極限定理建立數(shù)學(xué)模型，并與調(diào)查所得數(shù)據(jù)進(jìn)行比較．

設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布，E（Xk）=μ，D（Xk）= σ2＞0（k=1，2，…，n）都存在，由中心極限定理知［1］

Yn近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）．設(shè)Yn的分布函數(shù)為Fn（x），則對于任意x∈R，有

由上式可以看出，隨機(jī)誤差X－μ落在±3σ之外的概率僅為0．26%，由小概率事件原理：“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的”可知，盡管X的取值范圍是（－!，+!），但是它的值落在［μ－3σ，μ+3σ］內(nèi)幾乎是肯定的，因此，可以將±3σ定為誤差極限．由于每天每個學(xué)生是否上自習(xí)是相互獨(dú)立的，且服從0－1分布，由中心極限定理知，每天上自習(xí)的人數(shù)近似服從正態(tài)分布，所以，可以認(rèn)為需要上自習(xí)的學(xué)生人數(shù)變化區(qū)間為［μ－3σ，μ +3σ］．

為了使建立的模型應(yīng)用更為廣泛，下面給出一個較為確定的區(qū)間，表示每天需要上自習(xí)的學(xué)生人數(shù)．設(shè)每天上自習(xí)的學(xué)生人數(shù)X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），由3σ 法則知上自習(xí)總?cè)藬?shù)為

1．2 模型求解

根據(jù)實(shí)際調(diào)查數(shù)據(jù)，用MATLAB軟件計(jì)算得出學(xué)生占座率Pij分布表見表1．由表1可以看出它們符合一定的線性規(guī)律，經(jīng)數(shù)據(jù)擬合得出Pij與樓層j的線性關(guān)系為［2］

式中：i為教學(xué)樓樓號，i=1，2，…，7;j為樓層數(shù)．

表1 學(xué)生占座率分布表

在漫長而又辛苦的育兒道路上，奶爸們作為妻子的“好幫手”，正在為家庭和社會貢獻(xiàn)越來越積極的力量。這意味著，爸爸這一消費(fèi)群體的需求已經(jīng)被激發(fā)。此次活動將覆蓋奮戰(zhàn)在育兒一線的準(zhǔn)媽媽和準(zhǔn)爸爸群體，共同致力于為消費(fèi)者提供優(yōu)質(zhì)的母嬰用品和服務(wù)。

2 滿意度函數(shù)模型

2．1 模型建立

學(xué)生選擇到幾號樓幾層上自習(xí)，與很多因素有關(guān)：與樓內(nèi)的硬件設(shè)施，到宿舍的距離，到飯廳的距離等諸多因素有關(guān)．這里考慮4個指標(biāo)：座位數(shù)、到宿舍距離、到餐廳距離、有無電開水箱（簡稱水房）．滿意度函數(shù)是關(guān)于自習(xí)樓硬件設(shè)施對學(xué)生吸引力的函數(shù)，學(xué)生對教學(xué)樓的滿意度定義為［3］：

式中：fn為影響學(xué)生選擇自習(xí)樓的主要因素的量化指標(biāo)，n=1，2，3，4;常數(shù)ε為自習(xí)樓吸引力的相關(guān)因子，稱為吸引因子;f0為自習(xí)室最佳吸引數(shù)．

2．2 模型求解

由層次分析法根據(jù)實(shí)際情況賦予相應(yīng)的權(quán)值見表2．由表2計(jì)算可得各個教學(xué)樓的吸引值，根據(jù)吸引值可以計(jì)算出學(xué)生滿意度，具體結(jié)果見表3．

表2 滿意度相關(guān)的因素權(quán)值表

表3 教學(xué)樓吸引值和學(xué)生滿意度

從表3可以看出最佳吸引值為f0=5 050，吸引力的平均值為3 660，可以認(rèn)為吸引力的平均值對應(yīng)的滿意度為0．5，帶入滿意度函數(shù)

利用得出的滿意度函數(shù)對各教學(xué)樓進(jìn)行自習(xí)人數(shù)分配，則

式中：ni為分配第i棟樓的自習(xí)人數(shù);nij為分配到第i棟樓第j層的人數(shù);pij為第i棟樓第j層的占座率;i=1，2，…，7;j=1，2，…，5．

然后再把每棟樓上的總?cè)藬?shù)分配到各層，用MATLAB計(jì)算得各教學(xué)樓、各層人數(shù)見表4．

表4 MATLAB計(jì)算得各教學(xué)樓各層人數(shù)

各棟樓、各層分配人數(shù)可以按照表4得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行分配，由于1號、2號、4號樓的結(jié)構(gòu)與其他教學(xué)樓不同，造成了輸出數(shù)據(jù)的誤差．基于此，結(jié)合具體情況，對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，得出優(yōu)化分配方案和分配后上自習(xí)人數(shù)，根據(jù)上自習(xí)人數(shù)得出學(xué)校自習(xí)室開放、關(guān)閉方案見表5．

表5 優(yōu)化分配后上自習(xí)人數(shù)和教室開放、關(guān)閉方案

3 用電量模型

3．1 模型建立

用電量的大小與每個電燈（或電棒）的耗電量、開燈時(shí)間的長短有關(guān)．這里先假設(shè)每個座位每天的耗電量為qij，則每天總的用電量為［4］

式中：Nij為第i棟樓第j層的座位數(shù)．QMin滿足以下2個約束條件．

條件1：所開放的教室座位數(shù)不小于來上自習(xí)的人數(shù)N，即

條件2：問卷結(jié)果顯示，學(xué)生對座位的最大滿意度為一個學(xué)生兩個座位，即

3．2 模型求解

記q0表示一個座位對應(yīng)的功率（如一個教室有40只電棒，每只功率30 W，則總功率為1 200 W，若這個教室有100個座位，那么每個座位對應(yīng)的功率為12 W），由分析可得

式中：nijk為第i棟樓第j層第k個教室的日光燈的個數(shù);qijk為日光燈的功率（每個教室的日光燈的功率未必相等）;Nijk為第i棟樓第j層第k個教室的座位數(shù)．經(jīng)實(shí)際情況計(jì)算q0=11．13 W．

根據(jù)上述模型得出優(yōu)化后節(jié)省電量見表6．由表6可以看出，2號樓的教室全部開放，可以認(rèn)為電量節(jié)省為0，其他類同．經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，平均每個日光燈每天工作10 h，按10 h，0．6元/（kW·h）計(jì)算可得每小時(shí)共節(jié)省23．7元，每年（除了3個月的假期）可以幫助學(xué)校節(jié)省63 990元，這個數(shù)目對一個學(xué)校來說雖然并不算大，但對于節(jié)能減排有著深遠(yuǎn)的現(xiàn)實(shí)意義．如果從節(jié)約用電考慮，把每天日光燈的工作時(shí)間壓縮為6 h，電費(fèi)的節(jié)約將是相當(dāng)可觀．

表6 優(yōu)化后節(jié)省電量

4 結(jié)語

運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法分別建立了自習(xí)室人數(shù)優(yōu)化模型、學(xué)生滿意度優(yōu)化模型和用電量優(yōu)化模型，對高校資源優(yōu)化配置問題進(jìn)行了研究，所得的結(jié)果對高校相關(guān)部門的決策優(yōu)化提供了科學(xué)的依據(jù)．

［1］鄧集賢，楊維權(quán)，司徒榮，等．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］．4版．北京：高等教育出版社，2010．

［2］姜啟源，謝金星，葉?。?dāng)?shù)學(xué)模型［M］．4版．北京：高等教育出版社，2011．

［3］江釩，范延輝，丁鴻玥，等．高校自習(xí)室資源分配方法研究［J］．管理觀察，2009（20）：107－108．

［4］肖立順，石玉文，史巖巖．教室用電資源優(yōu)化問題［J］．科學(xué)傳播，2009（3）：72．