立體幾何中添加輔助線的策略

張淑敏

立體幾何中添加輔助線的主要策略：一是把定義或者定理中缺少的線、面、體補完整；二是要把已知量和未知量統(tǒng)一在一個圖形中，如統(tǒng)一在一個三角形中，這樣可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以統(tǒng)一在平行四邊形或其他幾何體中。下面加以說明。

一、添加垂線策略。

因為立體幾何的許多定義或定理是與垂線有關(guān)的，如線面角、二面角的定義，點到平面、線到平面、平面到平面距離的定義，三垂線定理，線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理，正棱柱、正棱錐的性質(zhì)，球的性質(zhì)等，所以運用這些定義或定理，就需要把沒有的垂線補上。尤其要注意平面的垂線，因為有了平面的垂線，才能建立空間直角坐標(biāo)系，才能使用三垂線定理或其逆定理。

例1. 在三棱錐 中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點，則OM與平面ABC所成的角的大小是________（用反三角函數(shù)表示）。

圖1

解：如圖1，由題意可設(shè) ，則 ，O點在底面的射影D為底面 的中心， 。又 ，OM與平面ABC所成角的正切值是 ，所以二面角大小是 。

點評：本題添加面ABC的垂線OD，正是三棱錐的性質(zhì)所要求的，一方面它構(gòu)造出了正三棱錐里面的 ， ，另一方面也構(gòu)造出了OM與平面ABC所成的角。

二、添加平行線策略。

其目的是把不在一起的線，集中在一個圖形中，構(gòu)造出三角形、平行四邊形、矩形、菱形，這樣就可以通過解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位線來作出所需要的平行線。

例2. 如圖2，在正方體 中， ，則 與DF所成角的余弦值是（ ）

A. B. C. D.

圖2

解析：取 ，易得四邊形ADFG是平行四邊形，則AG//DF，再作 ，四邊形 也是平行四邊形， 就是 與DF所成角，由余弦定理，算出結(jié)果，選A。

點評：求異面直線所成角常采用平移法。

三、向中心對稱圖形對稱中心添加連線策略。這主要是因為對稱中心是整個圖形的“交通”樞紐，它可以與周圍的點、線、面關(guān)聯(lián)起來，常見的有對平行四邊形連對角線，對圓的問題向圓心連線，對球體問題向球心連線。

例3. 如圖3，O是半徑為1的球的球心，點A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧AB與AC的中點，則點E、F在該球面上的球面距離是（ ）

A. B. C. D.

圖3

解析：添加輔助線OE、OF，連結(jié)EF，構(gòu)成 ，關(guān)鍵是求 。為了使EF與已知條件更好地聯(lián)系起來，過E作 ，垂足為G，連結(jié)FG，構(gòu)造 ，在圖3中， 。

點E、F在該球面上的球面距離為 ，故選B。

點評：本題抓住了球心，抓住了弧中點，利用這些特殊點作輔助線是解題的關(guān)鍵。

四、名線策略。即添加常用的、重要的線，如中位線、高、角平分線、面對角線和體對角線等。盡管這些線上面也有提到，但還是要在這里強化一下，這些線有著廣泛的聯(lián)系。尤其是添加三角形中位線或者梯形中位線，這主要是因為中位線占據(jù)了兩個邊的中點，并且中位線平行于底邊，且是底邊長的一半，它可以把底邊與其他線面的角度關(guān)系平移，使已知和未知集中在一個三角形中。

例4. 如圖4，正三棱柱 的各棱長都為2，E、F分別是AB、 的中點，則EF的長是（ ）。

圖4

A. 2 B. C. D.

解析：如圖4所示，取AC的中點G，連結(jié)EG、FG，則易得 ，故 ，選C。

點評：本題充分體現(xiàn)了中位線的重要性。

五、割補策略。分割成常見規(guī)則圖形，或者補形成典型幾何體。

例5. 一個四面體的所有棱長都為 ，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）

A. B. C. D. 6

解析：把這個正四面體 補成正方體，如圖5，正四面體 可看成是由正方體的面對角線構(gòu)成的，這個正四面體和這個正方體有相同的外接球面。因為四面體 的棱長為 ，所以正方體棱長為1，正方體的體對角線長為球的直徑 ，所以球的表面積 ，選A。

圖5

點評：把一些線面關(guān)系放到正方體中思考，能給問題一個更好的參照，使各種線面關(guān)系易于理解。