三角域上雙變量Chebyshev多項式及其與Bernstein基的轉換

江 平， 洪為琴

（合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽 合肥 230009）

三角域上雙變量Chebyshev多項式及其與Bernstein基的轉換

江 平， 洪為琴

（合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽 合肥 230009）

為了更好的解決三角域上的Bézier曲面在CAGD中的最佳一致逼近問題，構造出了三角域上的雙變量Chebyshev正交多項式，研究了與單變量Chebyshev多項式相類似的性質，并且給出了三角域上雙變量Chebyshev基和Bernstein基的相互轉換矩陣。通過實例比較雙變量Chebyshev多項式與雙變量Bernstein多項式以及雙變量Jacobi多項式的最小零偏差的大小，闡述了雙變量Chebyshev多項式的最小零偏差性。

三角域；Bernstein基；Chebyshev多項式

在CAGD中，有限域上的正交多項式對最小平方逼近問題起了十分重要的作用。在單變量情況下，Rababah[1-2]研究了 Chebyshev多項式和Jacobi多項式與 Bernstein多項式之間的轉換公式，并利用構造的多項式演示了CAGD中Bézier曲面的最小平方逼近問題的求解過程；Faruoki[3]研究了Legendre多項式與Bernstein多項式之間的轉換公式；利用約束Jacobi基作為工具，蔡華輝等[4]推導了 Jacobi基與 Bernstein基的轉換公式。在雙變量情況下，F(xiàn)aruoki等[5]構造出了三角域上的 Legendre多項式；Sawer[6]給出了三角域上Jacobi多項式的Bernstein基表示；Lewanowicz等[7]給出了三角域上Jacobi基與Bernstein基之間的轉換公式；后來蔡華輝等[8]更簡捷地構造出了三角域上的Jacobi多項式并給出了它與Bernstein基之間的轉換公式。

曲線或曲面的基本表示形式都可以由Bernstein-Bézier基的線性組合來表示[9]，它具有計算穩(wěn)定性等特點，但Bernstein多項式的非正交性使得它在最小平方逼近問題的求解過程十分的煩瑣。因此研究二者之間的相互轉換公式也是十分必要的。由于Bernstein多項式在CAGD中的特殊應用和研究背景，因此文章考慮了構造三角域上的雙變量Chebyshev多項式。

受文獻[5]和文獻[8]的啟發(fā)，在文章第一部分，結合單變量Chebyshev多項式的表達式構造出了三角域上的雙變量Chebyshev多項式的表達式；然后在第二部分研究了它的性質，使得構造的多項式具有理論意義；進一步，在文章第三部分利用文獻[1]中單變量情況下 Chebyshev基與Bernstein的基的轉換公式，給出了三角域上的雙變量情況下的基的轉換公式，其中轉換公式的系數(shù)是由單變量系數(shù)給出的，這使得構造的多項式便于實際的應用。

1 三角域上雙變量Chebyshev多項式的構造

其中， u + v + w= 1。

三角域A上的Bernstein基函數(shù)[5]為：

三角域A上雙變量Chebyshev多項式具有下面的分層排序：

一共有(n+1)(n+2)/2個多項式，這些多項式就形成了中的三角域 A上的雙變量 Chebyshev多項式在Chebyshev權下的一組正交基。

定義1 對于所有的n=0,1,2,…；r=0,1,2,…,n，三角域A上的雙變量Chebyshev多項式為

由于單變量Jacobi多項式[2]為

由文獻[1]中單變量Chebyshev多項式知，雙變量Chebyshev多項式可以改寫為

其中，Tr(u)為單變量Chebyshev多項式。

在三角域上雙變量Chebyshev多項式Tn,r(u, v, w)（其中,w=1-u- v）當n=0,1,2,3時的結果如下表：

為了更直觀的了解雙變量Chebyshev多項式的特點和性質，下面畫出當 n= 4時，的圖像：

圖1 當n=4(r=0, 1, 2, 3, 4)時，三角域A上的雙變量Chebyshev多項式—Tn,r(u, v, w)

三角域上的雙變量Jacobi多項式由下面的式子給出[8]：

顯然，Tn,r(u, v, w)在A的一條邊界(w = 0)上恰好退化為權為時的單變量Chebyshev多項式 Tr( u)，且很容易可以看出定義中的 Tn,r(u, v, w)與文獻[8]中當α = β =- 1 2,γ = 0時的雙變量Jacobi多項式是一致的。

2 三式角性域質上雙變量Chebyshev多項

下面研究三角域A上雙變量Chebyshev多項式與單變量情況下相類似的性質：

證明 當 r = n, n ≥ 2時，由式(2)和文獻[1]有：

當 r = n - 1,n≥1時，

另外，當 r ≥ n -2,n ≥ 2時，由文獻[10]知單變量Jacobi多項式當自變量x∈[-1,1]時的遞推公式為

證畢

與單變量情況下的遞推關系式是一致的。

則在三角域A上有下面的結論成立：

雙變量C he by sh ev多項式 T（u, v, w ）中n,r un（n≥ 1）和 vn（n≥ 1）的系數(shù)分別為（-1）n-rC和（-1 ）nC ；

證明：將 Tn,r（u, v, w）按u的次數(shù)從高到低排列，考慮u的最高次項，

即Tn, r（u, v, w）關于v的最高次項系數(shù)為

證畢

則首項系數(shù)為1的多項式的零偏差定義為

根據(jù)定理2以及零偏差的定義知

則由表 1可以給出當 n=4時，三角域上雙變量Chebyshev多項式、Jacobi多項式和Bernstein多項式的零偏差的大小的比較。

表1 當n=4時，三角域上雙變量Chebyshev多項式、Jacobi多項式和Bernstein多項式的零偏差的大小的比較

通過上表不難看出，相較于首項系數(shù)為1的雙變量Jacobi多項式和Bernstein多項式來說，雙變量Chebyshev多項式在三角域上具有最小零偏差性，我們在今后的工作中可以進一步的研究最小零偏差性的證明過程。

定理3雙變量多項式Chebyshev在三角域上帶權正交，即

則有

證畢

3 三角域上雙變量Chebyshev基與Bernstein基的轉換公式

令

當12,n n都是大于0的整數(shù)時，其中

在文獻[1]中有公式

其中

在文獻[8]中有公式

其中

于是可以得到如下定理：

定理1

其中，

公式中的riN ,由式(10)和式(11)給出

證明：

證畢

定理2

其中，

證畢

顯然定理1 和定理2 的結論與文獻[8]中當α = β = -1 2,γ = 0的結果一致。由文獻[8]知道矩陣Μ中第行、第列元素就是，矩陣Μ 中第-1行，第列元素就是，即,其中

例1 當n=1時，設

若

則由式(12)知

而由式(13)可以解出，

即有，

不難驗算出下列等式成立，

4 結 語

文章給出了用重心坐標構造出的三角域上的雙變量Chebyshev加權正交基，研究了它與單變量情況相類似的性質，并利用單變量的Chebyshev基與Bernstein基的轉換公式推導出了雙變量情況下二者的轉換公式。并且通過給出具體的實例闡述了首項系數(shù)為 1的雙變量Chebyshev多項式與首項系數(shù)為 1的雙變量Jacobi多項式以及Bernstein多項式相比較具有最小零偏差性。在單變量 Chebyshev中，第一類Chebyshev多項式還有可以用三角函數(shù)來表示，文章并沒有給出雙變量Chebyshev多項式的三角函數(shù)表示，可以進一步研究雙變量情況下的三角函數(shù)表示，那樣在研究它的值域和遞推關系式等等情況下會簡便很多。另外，文章構造出的雙變量Chebyshev多項式的最小零偏差性是通過數(shù)據(jù)實例來給出的，并沒有給出具體的證明過程，而且文章提及的 Chebyshev多項式都是指第一類Chebyshev多項式。因此，今后可以進一步研究雙變量Chebyshev多項式的最小零偏差性以及構造第二類雙變量Chebyshev多項式的構造公式及其應用。

[1] Rababah A. Transformation of Chebyshev-Bernstein polynomials basis [J]. Computational Methods in Applied Mathematics, 2003, 3(2): 608-662.

[2] Rababah A. Jacobi-Bernstein basis transformation [J]. Computational Methods in Applied Mathematics, 2004, 4(2): 206-214.

[3] Farouki R T. Legendre-Bernstein basis transformations [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000, 119(1): 145-160.

[4] 蔡華輝, 王國瑾. 基于約束 Jacobi 基的多項式反函數(shù)逼近及應用[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2009, 21(2):137-142.

[5] Farouki R T, Goodman T N T, Sauer T. Construction of orthogonal bases for polynomials in Bernstein form on triangular and simplex domains [J]. Computer Aided Geometric Design, 2003, 20(2): 209-230.

[6] Sauer T. Jacobi polynomials in Bernstein form [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007, 199(1): 149-158.

[7] Lewanowicz S. Woiny P. Connections between two-variable Bernstein and Jacobi polynomials on the triangle [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2006, 197(2): 520-523.

[8] 蔡華輝, 王國瑾. 三角域上雙變量 Jacobi-Bernstein的基轉換及其應用[J]. 計算機輔助設計與圖形學學報, 2009, 21 (10):1394-1400.

[9] Farin G. Curves and surfaces for CAGD: a practical guide [M]. 5th ed. San Francisco: Morgan Kaufmann Publishers, 2002.

[10] 孫慧娟, 趙小香. 有關雅克比多項式一些性質的研究[J]. 四川理工學院學報(自然科學版), 2009, 22 (6):37-41.

Bivariate Chebyshev Polynomials and Transformation of Chebyshev-Bernstein Basis on Triangular Domains

Jiang Ping, Hong Weiqin
( School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China )

For solving least squares approximation problem of Bézier surface effectively and simply on triangular domains in CAGD, we present a polynomial representation, bivariate Chebyshev polynomials, adapted to a triangular domain, with properties similar to the univariate Chebyshev form．We convert and compare this representation to the Bernstein-Bézier and Jacobi representations．We also give some examples to illustrate that the deviation of the bivariate Chebyshev polynomials compared with zero is the least than of the bivariate Bernstein polynomials and bivariate Jacobi polynomials.

triangular domains; Bernstein basis; Chebyshev polynomial

TP 391

A

2095-302X (2013)06-0022-08

2013-02-25；定稿日期：2013-03-25

江 平（1972-），女，安徽樅陽人，副教授，博士，主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：jiangping_72@sina.com

洪為琴（1987-），女，安徽宿松人，碩士研究生，主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：494786700@qq.com