朱保華，黃 靜，張寶武

(1．桂林電子科技大學，廣西 桂林541004;2．貴州民族學院，貴州貴陽550000;3．中國計量學院，浙江 杭州310018)

1 引言

如果利用兩束同頻率、同強度、同偏振方向、沿相反方向傳輸?shù)墓馐饔迷谠由?，當原子靜止時，則原子所受到的合力為零，這是因為兩束光的波矢方向相反。但是，當原子沿著光的傳播方向具有某一運動速度時，該原子就會感受到一個力的作用，且該力的大小與原子運動速度成比例，而方向要依賴于激光的頻率。若激光頻率調(diào)諧至低于原子的共振頻率，由于多普勒頻移的存在，則與原子運動方向相反的那束激光的頻率對于原子而言是處于藍失諧狀態(tài)，因此也就越接近于原子的共振。同樣，與原子運動方向相同的那束激光的頻率對于原子而言處于紅失諧狀態(tài)，故此也就進一步遠離原子的共振。因此原子與其運動方向相反的激光束的相互作用會更強，由于耗散力的作用，這樣也會進一步減小原子的運動速度，此即為激光多普勒冷卻的基本機理［1－2］。

2 二能級鈉原子光學布洛赫方程

原子與激光場相互作用的過程中，系統(tǒng)的密度算符ρ包含了二者相互作用的有效信息，故此可以通過求解激光場與原子系統(tǒng)的密度算符ρ來描述激光場中原子的運動問題。由于哈密頓量H與光學布洛赫方程的密度算符ρ之間的關(guān)系為［3］:

則對于二能級原子的四個密度矩陣算符 ρgg，ρeg，ρge及 ρee而言，有:

式中，下標“g”表示基態(tài);“e”表示激發(fā)態(tài)。

考慮到原子與激光場的耦合，則當二者相互耦合時，上述的方程具有如下的特殊形式［3－4］:

其中，Γ－1為激發(fā)態(tài)的輻射壽命。在接下來的討論中認為原子的密度算符可以直接通過把激光場的運動和自發(fā)輻射的貢獻直接相加來得到，則總的密度算符為式(2)和式(3)之和，即:

上式即為具體的光學布洛赫方程。在穩(wěn)態(tài)條件下，ρee和 ρgg均趨于一個常值，而 ρeg及 ρge則分別會按著 e－iωLt，eiωLt進行振蕩。當作用時間達到特征時間Γ－1后，系統(tǒng)就達到了上述的穩(wěn)態(tài)情況。結(jié)合式(4)和密度算符的跡守恒條件ρee+ρgg=1，厄米共軛特性條件 ρeg=ρge*則可以求解出穩(wěn)態(tài)條件下ρeg的值，即為［5］:

將式(5)代入ρee的表達式，則可以得到:為飽和系數(shù);Δ為反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度;I為光強;Is為飽和光強。由式(6)可知，激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)ρee在飽和參數(shù)S0較小的條件下，隨該飽和參數(shù)S0的增加而線性增加。

則其余三個密度算符也可以求解出其具體形式，分別為:

由式(7)可知當 S01時，ρee趨于。由于激發(fā)態(tài)的粒子以速率Γ進行衰減，且在穩(wěn)態(tài)條件下激發(fā)速率和衰減速率相等，則激光場總的散射速率可以表示為［5］:

當激光場強度較大時，S01，則γp飽和于為躍遷過程的功率展寬線寬。

3 耗散力特性分析

圖1給出了不同飽和參數(shù)S0條件下線寬的展寬和激光失諧量之間的關(guān)系。由圖可以看出當飽和參數(shù)S0較大時(S0＞1)，功率展寬的輪廓具有較大的展寬程度，這是由于當飽和參數(shù)較大時，隨著邊沿區(qū)域激光強度的增加，其吸收過程也會隨之加強，而中心區(qū)域的原子卻早已處于激發(fā)態(tài)，故此，輪廓中心區(qū)域的吸收已經(jīng)達到了飽和，而邊沿區(qū)域的吸收卻未達到飽和。

其中

則上式可以表示為:

圖1 激發(fā)散射速率與失諧量之間的關(guān)系

從上面的分析中可知，在穩(wěn)態(tài)條件下Γ的數(shù)值即為激發(fā)態(tài)上所觀察到原子的平均幾率(即原子處于激發(fā)態(tài)上的平均幾率)，該值來自于吸收過程之間的競爭。該吸收過程將會對激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)有貢獻，同時也會刺激自發(fā)輻射過程的進行，而該自發(fā)輻射過程會使激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)減少，使基態(tài)上的粒子數(shù)增加。而Γρee的值表示穩(wěn)態(tài)條件下，當激光照射原子時的自發(fā)輻射率。當飽和參數(shù)值S0較小時，該自發(fā)輻射率與激光強度成正比，當激光強度增大時，飽和參數(shù)S0變的遠遠大于1，則穩(wěn)態(tài)值ρee趨于1/2，這就意味著原子將會有一半的時間處于激發(fā)態(tài)上，在這種情況下，自發(fā)輻射率趨于Γ/2。

對于激光行波場而言，可以表示為:

則密度矩陣方程［6］為:

將式(10)代入式(11)，在一級近似條件下進行積分，可得:

在旋波近似條件下，上式可以簡化為:

考慮到多普勒頻移，則有:

于是可以得到原子的極化為:

在電偶極近似條件下，根據(jù)量子力學可知，激光場中原子所受的力為激光場的梯度與原子極化的標積，即為:

將式(10)、式(15)代入式(16)可得:

根據(jù)式(7)中引進的飽和參數(shù)，且令δ=ωL－ω0為激光失諧量，則行波場作用于原子的力最終可以表示為:

式(17)對時間求平均，可得:

對于由式(19)所給出的力F2而言，當處于激光場中的原子具有動量為m時，該原子吸收激光場動量為k的光子后，原子的動量將會發(fā)生變化，其相應的速度也會產(chǎn)生量值為Δν=k/m的變化。假若此時與同向，則原子將受到一種加速作用，反之當與反向，則原子將會受到一種減速的作用。原子吸收光子后將通過自發(fā)輻射重新回到基態(tài)，釋放出的光子是各向同性的，多次自發(fā)輻射平均起來，則對于原子動量變化的貢獻為零。這樣，原子在每一光子吸收和再發(fā)射過程中平均得到Δν的凈速度變化。對于鈉原子而言，在389 nm的共振輻射激光場作用下，每個吸收－自發(fā)輻射過程所引起的速度變化為1．8 cm/s，由于此力與自發(fā)輻射有關(guān)，所以稱該力為自發(fā)輻射力，也稱為耗散力。

由式(19)可見，該耗散力具有共振的性質(zhì)，當ωL=ω0，即當激光場的頻率與鈉原子的共振頻率相同時此耗散力具有最大值。對于鈉原子而言，在激光共振波長λ=389 nm的激光場作用下，鈉原子所獲得的加速度為2．8×105m/s2，該值為重力加速度的約105倍，可見在耗散力的作用下，鈉原子的運動速度將會發(fā)生較大的改變。

圖2給出了耗散力的共振特性，可見對于鈉原子而言，當激光場的頻率與鈉原子的共振頻率相同時，鈉原子所受到的激光場耗散力最大，達到了2×10－20N。

圖2 耗散力與激光場頻率間的關(guān)系

圖3 給出了δ=－Γ條件下該行波場對原子所施加的力與飽和參數(shù)S0之間的關(guān)系，從中可以看出，隨著S0的增加(激光場強度增加)，該力F也隨之增加并趨于飽和，且其飽和值為 Fmax=kΓ/2。由于上述耗散力的作用，使得鈉原子在激光場運動時將會獲得一定的加速度。

圖3 激光行波場中鈉原子所受力與飽和參數(shù)S0間的關(guān)系

圖4 給出了激光場強度一定(S0=1)時，不同失諧量條件下原子速度與所受激光場耗散力之間的關(guān)系，從中可以看出當激光失諧量為線寬的一半，即δ/Γ=－0．5時，該激光場耗散力達到最大值。

圖5給出了不同飽和參數(shù)條件下激光失諧量與激光場對原子的阻尼系數(shù)之間的關(guān)系。從圖中可以得知，當激光強度較小，失諧量較小時，原子所受到的阻尼系數(shù)β與激光功率及激光失諧量均成線性關(guān)系。當激光失諧量為原子線寬的一半，即 δ=－0．5Γ時，該阻尼系數(shù)達到最大值。這正好與圖4的結(jié)果相吻合，但是當激光失諧量大于0．5Γ，光強大于飽和強度Is時，β達到飽和甚至開始降低。這是由于飽和躍遷所導致的，此時原子的吸收速率僅僅依賴其速度。以鉻原子在激光場中受到的阻尼力為例，鉻原子對應的躍遷能級為7P4→7S3，相應的躍遷波長為λ=425．55 nm，故每個光子所攜帶的動量為 k=15．6 ×10－28kg·m/s，該躍遷所對應的壽命為31．77 ns，假定有50%的粒子處于激發(fā)態(tài)，則激光場中鉻原子所能獲得的阻尼力高達2．46×10－20N，相應的加速度為2．8×105m/s2，這要遠遠大于電場或磁場所帶來的效應。

圖5 不同飽和參數(shù)條件下激光失諧量與阻尼系數(shù)之間的關(guān)系

4 結(jié)束語

本文基于光學布洛赫方程和密度矩陣分析了多普勒激光冷卻場作用下二能級中性鈉原子的耗散力特性，并對不同激光場參數(shù)條件下的耗散力特性進行了仿真，仿真結(jié)果顯示利用多普勒激光冷卻場可實現(xiàn)中性鈉原子的橫向冷卻，為沉積型原子光刻技術(shù)提供了重要的理論指導。

［1］ Wang Yuzhu，Xu Zhen．Laser cooling and its applications in science and technology［J］．Progress in Physics，2005，25(4):347 －352．(in Chinese)王育竹，徐震．激光冷卻及其在科學技術(shù)中的應用［J］．物理學進展，2005，25(4):347 －352．

［2］ Zhang Wentao，Li Tongbao．Development of ultra-high vacuum chromium atomic sources in atom lithography［J］．Laser ＆ Infrared，2007，37(2):155 －157．(in Chinese)張文濤，李同保．用于鉻原子光刻的超高真空原子源的研制［J］．激光與紅外，2007，37(2):155 －157．

［3］ PD Lett，W D Phillips，SL Rolston，et al．Opticalmolasses［J］．J．Opt．Soc．Am．B，1989，6(11):2084 －2107．

［4］ Zhang Baowu，Zhang Wentao，Ma Yang，et al．Collimation of chromium beam by one-dimensional doppler laser with large collimating slit［J］．Acta Phys．Sin，2008，57:5485－5490．

［5］ Zhang Baowu，Li Tongbao，Ma Yan．One-dimensional doppler laser collimation of chromium beam with a novel pre-collimating scheme［J］．Chinese Optics Letters，2008，6:782－784．

［6］ M Mutzel，U Rasbach，D Meschede．Atomic nanofabrication with complex light fields［J］．Appl．Phys．B，2003，77:1－9．

［7］ Zhang Wentao，Zhu Baohua，Huang Jing，et al．Chromium atom deposition in elliptical standing wave filed［J］．Acta Phys．Sin，2011，60:103203 －1 －5．

［8］ Zhang Wentao，Zhu Baohua，Huang Jing，et al．Influence of divergence angle on deposition of neutral chromium atoms using laser standing wave［J］．Chinese Physics B，2012，32:033301 －1 －5．

［9］ Zhang Wentao，Zhu Baohua，Xiong Xianming．Analysis of nanometer structure for chromium atoms in gauss standing laser wave［J］．Chinese Physics Letters，2010，27:12302－1－4．