張文福，杜 娟，劉迎春，李 琛，任亞文

（1．東北石油大學防災減災工程及防護工程省高校重點實驗室，黑龍江大慶 163318；2．東北石油大學土木建筑工程學院，黑龍江大慶 163318）

索桁架組合體系的固有振動能量變分解

張文福1，2，杜 娟1，2，劉迎春1，2，李 琛1，2，任亞文1，2

（1．東北石油大學防災減災工程及防護工程省高校重點實驗室，黑龍江大慶 163318；2．東北石油大學土木建筑工程學院，黑龍江大慶 163318）

索桁架組合體系與普通梁板結(jié)構(gòu)不同，需要考慮索力增量，振動特性較為復雜．首先，采用Timoshenko梁的連續(xù)化模型模擬桁架梁，推導桁架梁的等代抗彎剛度；采用能量變分法，分析索桁架組合體系固有振動，給出索桁架組合體系豎向振動頻率解析解；分析770m跨度索桁架組合體系、900m跨度索桁架組合體系和1 200m跨度索桁架組合體系，與有限元ANSYS分析結(jié)果對比，誤差在10%以內(nèi)．該方法公式較簡單、精度較高，可為索桁架組合體系的工程設計提供參考．

固有振動；能量變分法；索桁架組合體系；Timoshenko梁；有限元

0 引言

索桁架結(jié)構(gòu)具有受力合理、施工方便、用料經(jīng)濟、造型簡單、靈活、經(jīng)濟等優(yōu)點，在大跨空間結(jié)構(gòu)中得到迅速發(fā)展，隨著跨度的不斷增大，索桁架結(jié)構(gòu)變得輕柔化，抗風成為首要問題．人們研究單索、雙層索及勁性索，張文福、沈世釗等利用能量變分法原理，給出雙層索在均布荷載、三角形荷載和對稱三角形荷載作用下的撓度近似公式，并對單向勁性索結(jié)構(gòu)進行固有振動分析，提出單向勁性索結(jié)構(gòu)自振頻率的計算公式；此外，還將雙曲拋物面索網(wǎng)中的穩(wěn)定索與承重索用勁性索代替，形成勁性索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，基于能量變分法和Rayleigh法提出勁性索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型的簡化計算公式［1—5］．Isabella Vassilopouloufe等建立多自由度的鞍形索網(wǎng)模型，并分析固有頻率和振型［6］．Kassimali A等分析索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在對稱荷載和非對稱荷載作用下的非線性位移響應和剛度性能［7］．對于索和梁的組合結(jié)構(gòu)，魏明海等利用Hamilton原理推導索—梁組合結(jié)構(gòu)非線性動力學方程，同時考慮索的垂度及由梁和索之間模態(tài)耦合引起的非線性影響，利用Galerkin方法將索—梁組合結(jié)構(gòu)非線性運動偏微分方程離散為一組常微分方程［8］．對于索桁架結(jié)構(gòu)，李春光等以矮寨大橋為例，通過懸臂位移法反算得到主梁的等效剛度特性，設計桁式加勁梁懸索橋氣彈模型，反映主跨結(jié)構(gòu)的風振響應［9］．岳更新也以矮寨大橋為例，利用ANSYS有限元軟件建立整體結(jié)構(gòu)的三維分析模型并進行動力特性分析，給出橫向、豎向、主纜、扭轉(zhuǎn)及耦合振動的頻率和振型［10］．白樺等以劉家峽大橋為例，研究采取導流板、中央穩(wěn)定板、封閉防護欄等氣動措施組合對鋼桁架懸索橋顫振穩(wěn)定性的影響［］．

鑒于對索桁架的固有振動研究較少，筆者采用能量變分法分析桁架的固有振動，推導索桁架的各階豎向振動頻率解析解，并利用ANSYS有限元軟件對幾種不同跨度的索桁架模型進行計算，對兩種方法求得的結(jié)果進行比較，結(jié)果表明誤差在10%以內(nèi)．

1 等效力學模型

（1）在推導索梁結(jié)構(gòu)計算理論時，采用假設［1—5］：①索是理想柔性的，既不受壓，也不抗彎；②索是小垂度的，索的材料符合胡克定律；③索左右支座為固定鉸支座，梁為簡支梁；④連接索與梁的吊桿為剛性桿，不會發(fā)生軸向變形（見圖1，其中L為索桁架長度）．

（2）當梁采用格構(gòu)式構(gòu)件時，為簡化計算并進行連續(xù)化處理，建立桁架梁的連續(xù)化模型，采用假設：①梁的材料符合胡克定律；②沿梁長度方向的網(wǎng)格設置相當稠密，數(shù)目一般在5以上；③彎矩和軸力主要由上弦桿和下弦桿承擔，剪力主要由斜腹桿承受；④梁以豎向振動為主，并且振動是微幅的．

桁架梁的剪切變形對剛度的影響較大，為了更好地模擬桁架梁的動力特性，采用雙變量的Timoshen—ko梁［12］模型，即假設垂直于軸線的直線段變形后仍為直線，不再垂直于軸線，而是在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一個角度θ，又與Euler梁理論不同，θ＝?w／?x，即產(chǎn)生一個剪切角γ＝?w／?x—θ（見圖2），將此類桁架梁連續(xù)化為具有兩個廣義位移未知量的Timoshenko梁模型，其中w為位移，θ為轉(zhuǎn)動角度，γ為剪切角．

圖1 索桁架結(jié)構(gòu)示意Fig．1 Schematic diagram of cable—truss structure

圖2 桁架梁剪切角示意Fig．2 Shear angle schematic diagram

對于桁架梁（見圖1），首先確定桁架梁的等代抗彎剛度［13—14］．在沿梁的長度方向任取一平面桁架單元（見圖3（a）），假設等代實體梁單元的抗彎剛度為EIeq（見圖3（b）），在一對彎矩M單獨作用下，等代實體梁單元應變能Ubeam為

圖3 在彎矩作用下的平面桁架與等代實體梁單元Fig．3 Element of plane truss and equivalent entities beam under moment

根據(jù)（2）中的假設③，彎矩主要由上、下弦桿承擔，可得平面桁架梁單元應變能Utruss為

式（1—2）中：E為材料的彈性模量；Aa、Ab分別為上、下弦桿的截面面積；h、s分別為桁架梁的高度和節(jié)間距離．

根據(jù)等代實體梁單元應變能與平面桁架梁單元相等原則，可得桁架梁單元的等代抗彎剛度為

根據(jù)索曲線，確定索的幾何伸長（假定跨度不變），在初始狀態(tài)和振動狀態(tài)下，索長度的表達式［1］分別為

從初始狀態(tài)到振動狀態(tài)，整根索的總伸長度Δs的表達式為對于小垂度索，與1相比是小量，利用Taylor級數(shù)將式（4）根號項展開，若取前2項，則式（4）變?yōu)?/p>

2 固有振動分析

2．1 能量變分法

假設索桁架一起振動，并且只發(fā)生豎向振動，設索桁架的振動位移函數(shù)為

式（5—6）中：W（x）為振型函數(shù)，

索的狀態(tài)曲線為

將式（8）代入式（5），索的總伸長度可簡化為

索的應變能為

式中：H0Δs為索力增量產(chǎn)生的應變能；H0為索的水平拉力；EcAc為索的拉伸剛度．式（10）忽略后2項的影響．

索的荷載勢能為桁架梁的應變能為

式中：EIeq為梁的豎向抗彎剛度．索桁架的總動能為

式中：ˉm為索、桁架單位長度的總質(zhì)量．索桁架結(jié)構(gòu)的總能量方程為

式中：U為結(jié)構(gòu)總的應變能；V為結(jié)構(gòu)總的荷載勢能．

將式（6）代入式（14），根據(jù)瑞雷原理和勢能駐值原理［15］?∏／?Am＝0，可得：

方程（15）的反對稱振動展開式（m，i＝2，4，6，…p）為

求解式（16）可得反對稱豎向振動頻率為

運用MATHEMATIC軟件求解方程，得出各階正對稱振動頻率；然后將各階正對稱頻率代入式（18），得到系數(shù)矩陣；再將系數(shù)代入振型函數(shù)，求出各階正對稱振型．也可以采用手算方法求出各階正對稱振動頻率．選取2個正弦函數(shù)組合，設振型函數(shù)表達式為

推導過程與式（8—18）類似，可得正對稱振動簡化的振動方程為

故頻率方程為

解式（21）可得正對稱豎向振動的頻率為

將ω1和ωi代入方程（20）可得系數(shù)A1和Ai，將A1和Ai代入振型函數(shù)式（19）可得正對稱振動的各階振型．

2．2 ANSYS有限元法

選取4種跨度索桁架模型進行有限元分析［16］，與能量變分法求得的理論解進行對比，模型參數(shù)見表1．跨度分別取770、900、1 200m．在有限元分析時，索和吊桿采用LINK10單元，桁架梁采用LINK180單元．

利用有限元法（FEM）和能量變分法分析770、900、1 200m跨度的索桁架，得到正對稱豎向振動頻率和反對稱豎向振動頻率（見表2和表3）．由表2和表3可以看出，對于前3階頻率，采用能量變分法分析得到的結(jié)果比采用有限元法分析得到的結(jié)果稍??；對于第四階頻率到第八階頻率，采用能量變分法分析得到的結(jié)果比采用有限元法分析得到的結(jié)果稍大，但是誤差都在10%以內(nèi)．

表1 索桁架結(jié)構(gòu)的參數(shù)Table 1 The parameters of cable—truss structure

表2 索桁架結(jié)構(gòu)的正對稱豎向振動頻率Table 2 The symmetric vertical vibration frequency of cable—truss structure Hz

表3 索桁架結(jié)構(gòu)的反對稱豎向振動頻率Table 3 Anti—symmetric vertical vibration frequency of cable—truss structure Hz

3 結(jié)論

（1）通過建立Timoshenko梁的連續(xù)化模型模擬桁架梁，推導桁架梁的等代抗彎剛度，基于能量變分法原理給出索桁架的豎向振動頻率解析解．

（2）分析770m跨度索桁架、900m跨度索桁架和1 200m跨度索桁架，將豎向振動頻率解析解與有限元分析得到的結(jié)果進行對比，結(jié)果誤差在10%以內(nèi)，說明能量變分法可以較好地分析索桁架的動力特性．

（3）文中給出的頻率解析解實用、簡潔、精度高，可供索桁架結(jié)構(gòu)的抗風設計與抗震設計參考．

［1］ 張文福．空間結(jié)構(gòu)［M］．北京：科學出版社，2005．Zhang Wenfu．Spatial structure［M］．Beijing：Science Press，2005．

［2］ 張文福，孫曉剛，張紅星，等．預應力雙層索靜力分析的能量變分解［J］．空間結(jié)構(gòu)，2007，13（1）：29—31．Zhang Wenfu，Sun Xiaogang，Zhang Hongxing，et al．The energy variational solutions for static analysis of prestressed double—layer cable［J］．Spatial Structures，2007，13（1）：29—31．

［3］ 張文福，孫曉剛．勁性索結(jié)構(gòu)固有振動分析的能量變分法／／第六屆全國現(xiàn)代結(jié)構(gòu)工程學術(shù)研討會論文集［C］．北京：工業(yè)建筑雜志社，2006：793—798．Zhang Wenfu，Sun Xiaogang．The energy variational solution for the nature vibration of stiff cable structure∥The Sixth National Con—ference on Structural Engineering［C］．Beijing：Industrial Construction Magazine，2006，793—798．

［4］ 張文福，劉文洋，巨秀麗．勁性索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的固有振動分析［J］．空間結(jié)構(gòu)，2006，12（1）：55—58．Zhang Wenfu，Liu Wenyang，Ju Xiuli．Natural vibration analysis of stiff cable net structure［J］．Spatial Structures，2006，12（1）：55—58．

［5］ 沈世釗，徐崇寶，趙臣．懸索結(jié)構(gòu)設計［M］．北京：中國建筑工業(yè)出版社，1997．Shen Shizhao，Xu Congbao，Zhao Chen．Design of suspension structure［M］．Beijing：China Building Industry Press，1997．

［6］ Isabella Vassilopoulou，Gantes C J．Vibration modes and natural frequencies of saddle form cable nets［J］．Computers ＆Structures，2010，88（1—2）：105—119．

［7］ Kassimali A，Parsi—Feraidoonian H．Nonlinear behavior of prestressed cable trusses［J］．Journal of Constructional Steel Research，1987，7（6）：435—450．

［8］ 魏明海，肖儀清．內(nèi)外共振聯(lián)合作用下索—梁組合結(jié)構(gòu)非線性振動分析［J］．振動與沖擊，2012，7（1）：79—84．Wen Minghai，Xiao Yiqing．Analysis of nonlinear vibration of beam combination structure of cable—the united action of internal and ex—ternal resonance［J］．Journal of Vibration and Shock，2012，7（1）：79—84．

［9］ 李春光，陳政清，張志田．大跨度桁式加勁梁懸索橋氣彈模型等效設計［J］．振動與沖擊，2009，28（9）：171—187．Li Chunguang，Chen Zhengqing，Zhang Zhitian．Equivalent design of aeroelastic model for a long—span suspension bridge with truss stiffening girder［J］．Journal of Vibration and Shock，2009，28（9）：171—187．

［10］ 岳更新．桁式加勁梁懸索橋抗風動力特性分析［J］．萍鄉(xiāng)高等專科學校學報，2008（6）：24—28．Yue Gengxin．Analysis on resisting wind dynamic characteristics on suspension bridge with truss beam［J］．Journal of Pingxiang Col—lege，2008（6）：24—28．

［11］ 白樺，李宇，李加武，等．鋼桁架懸索橋顫振穩(wěn)定性能研究［J］．振動與沖擊，2013，32（4）：90—95．Bai Hua，Li Yu，Li Jiawu，et al．Flutter stability of a steel truss girder suspension bridge［J］．Journal of Vibration and Shock，2013，32（4）：90—95．

［12］ Ji Yao Shen，Jen—Kuang Huang，Taylor L W．Timoshenko beam modeling for parameter estimation of NASA mini—mast truss［J］．Journal of Vibration and Acoustics，1993（115）：21—24．

［13］ 張文福，趙文艷．網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬分析與設計［M］．哈爾濱：哈爾濱地圖出版社，2003．Zhang Wenfu，Zhao Wenyan．Numerical simulation analysis and design of the grid structure［M］．Harbin：Harbin map Press，2003．

［14］ 張文福，張百龍．網(wǎng)架結(jié)構(gòu)設計［M］．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，1994．Zhang Wenfu，Zhang Bailong．Design of double—layer space grids［M］．Harbin：Harbin Institude of Technology Press，1994．

［15］ 胡海昌．彈性力學的變分原理及其應用［M］．北京：科學出版社，1981．Hu Haichang．Variational principles in elasticity and its applications［M］．Beijing：Science Press，1981．

［16］ 劉濤，楊鳳鵬．精通ANSYS［M］．北京：清華大學出版社，2002．Liu Tao，Yang Fengpeng．Proficient in ansys［M］．Beijing：Tsinghua University Press，2002．

TU311

A

2095—4107（2013）05—0103—06

DOI 10．3969／j．issn．2095—4107．2013．05．015

2013—05—13；編輯：任志平

國家自然科學基金項目（51178087）；黑龍江省教育廳重點項目（12511z004）

張文福（1965—），男，博士，教授，主要從事結(jié)構(gòu)工程、抗風與抗震方面的研究．

方程（15）的正對稱振動展開式（m，i＝1，3，5，…p）：