范文博，王文龍 ，陳岳龍，李大鵬

1) 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)地球科學(xué)與資源學(xué)院，北京，100083; 2)北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，北京，100081

內(nèi)容提要：最小二乘法(least squares method)是直線擬合常用的方法，在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)內(nèi)被廣泛應(yīng)用，尤其在同位素地質(zhì)年代學(xué)領(lǐng)域更是必不可少。僅考慮x或y誤差的普通最小二乘法(normal/ordinary least squares)廣為人知，但事實(shí)上最小二乘法并非如此簡(jiǎn)單，尤其是在同時(shí)考慮x、y誤差(乃至誤差相關(guān))并采用加權(quán)處理時(shí)，其數(shù)學(xué)處理方法會(huì)變得十分復(fù)雜，而此時(shí)普通最小二乘法顯得極不合理。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合同位素地質(zhì)年齡計(jì)算的需要，對(duì)直線擬合的最小二乘法進(jìn)行了系統(tǒng)地總結(jié)研究，詳細(xì)介紹了普通最小二乘法、加權(quán)普通最小二乘法(normal/ordinary weighting least squares)、標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)最小二乘法(standard weighting model)、標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立加權(quán)最小二乘法(standard independent weighting model)、獨(dú)立加權(quán)最小二乘法(independent weighting model)及誤差相關(guān)最小二乘法(error correlated independent weighting model)的數(shù)學(xué)原理及相關(guān)變量的計(jì)算過(guò)程。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步闡述了MSWD(mean squared weighted deviation)這個(gè)同位素地質(zhì)年代學(xué)中經(jīng)常使用的參數(shù)的數(shù)學(xué)意義，以及MSWD對(duì)計(jì)算結(jié)果的評(píng)判意義。準(zhǔn)確理解這些數(shù)學(xué)方法，對(duì)于我們合理選擇同位素地質(zhì)年齡相關(guān)參數(shù)的計(jì)算方法，科學(xué)評(píng)價(jià)直線擬合結(jié)果并探討其地質(zhì)意義至關(guān)重要。我們的研究同時(shí)有助于拓展和完善數(shù)學(xué)領(lǐng)域最小二乘法的基本理論，并可用于其他領(lǐng)域相似的研究之中。

同位素地質(zhì)年代學(xué)研究是確定地質(zhì)體絕對(duì)年齡的主要手段，包括Rb-Sr、Sm-Nd、Re-Os、U-Th-Pb、K-Ar(Ar-Ar)等測(cè)年方法，在當(dāng)前地質(zhì)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用。在同位素地質(zhì)年齡的計(jì)算中，常常需要根據(jù)一組樣品的同位素測(cè)試結(jié)果進(jìn)行直線擬合，最常見(jiàn)的是等時(shí)線擬合，主要有Rb-Sr、Sm-Nd、K-Ar、Re-Os、Pb-Pb等等時(shí)線。除此之外，U-Pb不一致年齡的計(jì)算，以及利用26Al-26Mg、129I-129Xe等絕滅了的放射性(extinct radioactivity)同位素方法研究隕石的相對(duì)年齡時(shí)，也要用到直線擬合。事實(shí)上，在地球科學(xué)內(nèi)的諸多領(lǐng)域，都用到了直線擬合。

直線擬合常用的是最小二乘法，其在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用。其所要解決的問(wèn)題是：根據(jù)兩個(gè)理論上存在線性關(guān)系的變量的幾組測(cè)試數(shù)據(jù)點(diǎn)(多數(shù)情況下，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)不見(jiàn)得恰好位于理論直線之上)，尋找這兩個(gè)變量之間的線性函數(shù)關(guān)系。當(dāng)這些測(cè)試數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合直線的“偏差平方和”最小時(shí)，得到最佳擬合直線，即為所求。通常情況下，直線擬合多數(shù)采用最簡(jiǎn)單的普通最小二乘法，這也是諸多數(shù)學(xué)書(shū)籍中介紹最多、并被多數(shù)人所熟知的直線擬合方法(例如中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所數(shù)理統(tǒng)計(jì)組，1974；張啟銳，1988；周復(fù)恭和黃運(yùn)成，1989；張小蒂，1991；周紀(jì)薌，1993；吳翊等，1995；李慶陽(yáng)，2001；同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，2002；盛聚等，2008；周惟公，2008；王黎明等，2008；褚寶增和王翠香，2010；何曉群和劉文卿，2011)。這種方法隱含地假設(shè)變量x不存在誤差，并將所有誤差都?xì)w于變量y(類(lèi)似，可將所有誤差都?xì)w于變量x)，即便在x和y同為測(cè)量值的情況下，此時(shí)普通最小二乘法在確定未知參數(shù)及估計(jì)其真實(shí)誤差方面，失去了準(zhǔn)確性(Borcherds and Sheth, 1995; Sheth et al., 1996)。

僅考慮x或y誤差的普通最小二乘法廣為人知，但實(shí)際上最小二乘法并非如此簡(jiǎn)單，尤其是在同時(shí)考慮x、y誤差(乃至誤差相關(guān))并采用加權(quán)處理時(shí)，其數(shù)學(xué)處理方法會(huì)變得十分復(fù)雜，而這對(duì)于許多應(yīng)用同位素地質(zhì)年代學(xué)方法進(jìn)行地質(zhì)學(xué)研究的人來(lái)說(shuō)，都十分陌生。之所以會(huì)如此，主要有兩方面的原因：① 數(shù)學(xué)處理方法的復(fù)雜性以及相關(guān)資料的相對(duì)缺乏；② 采用已有的軟件(Isoplot)而“無(wú)需”思考其數(shù)學(xué)原理。

雖然同位素地質(zhì)年代學(xué)方法被廣泛應(yīng)用，但地質(zhì)學(xué)研究者多熱衷于年齡結(jié)果本身的地質(zhì)意義，同時(shí)由于同時(shí)跨越了數(shù)學(xué)和地質(zhì)學(xué)兩個(gè)學(xué)科，因此很少有人同時(shí)結(jié)合地質(zhì)需要、對(duì)最小二乘法的數(shù)學(xué)原理作系統(tǒng)深入的總結(jié)介紹。如前所述，許多數(shù)學(xué)書(shū)籍也只涉及最簡(jiǎn)單的普通最小二乘法，何曉群和劉文卿(2011)、費(fèi)業(yè)泰(2010)對(duì)考慮加權(quán)的最小二乘法也只是做了簡(jiǎn)單介紹。李志昌等(2004)介紹了York(1966,1969)、McIntyre 等(1966)算法的一部分，而更多的同位素書(shū)籍(韓吟文和馬振東，2003；陳駿和王鶴年，2004；陳岳龍等，2005；陳道公等，2009)，則忽略具體算法而只強(qiáng)調(diào)MSWD(見(jiàn)下文介紹)對(duì)等時(shí)線擬合結(jié)果評(píng)價(jià)的用處。事實(shí)上，想要真正了解MSWD對(duì)擬合結(jié)果的評(píng)判意義，就必須對(duì)最小二乘法本身有所把握。國(guó)外一些學(xué)者在前人[如Deming，1943；據(jù)York(1966)，Borcherds and Sheth(1995)所述]研究的基礎(chǔ)上，對(duì)最小二乘法的數(shù)學(xué)算法及相關(guān)問(wèn)題作了進(jìn)一步的研究和探索(如McIntyre et al., 1966; York, 1966, 1967, 1969; Brooks et al., 1972; Titterington and Halliday, 1979; Borcherds and Sheth, 1995; Sheth et al., 1996; Mahon, 1996; Bruzzone and Moreno, 1998)，取得了突破性進(jìn)展。但這些研究各有新的嘗試和側(cè)重，同時(shí)難免存在著一些分歧、甚至錯(cuò)誤，因此想要系統(tǒng)了解最小二乘法并非易事。Ludwig(2008)開(kāi)發(fā)的Excel加載宏Isoplot，提供了同位素年齡計(jì)算的一個(gè)很好的平臺(tái)，其以York(1969)、Titterington和Halliday(1979)、Brooks 等(1972)等的算法(Ludwig，2008)為基礎(chǔ)，但未對(duì)具體數(shù)學(xué)方法作詳細(xì)介紹。這樣的話，雖然Isoplot被廣泛使用，但相關(guān)同位素年齡的計(jì)算方法，對(duì)多數(shù)地質(zhì)學(xué)研究者來(lái)說(shuō)仍然是一個(gè)“謎”。正如Allegre(2008)所述，如今相關(guān)測(cè)試方法已經(jīng)有了很大的進(jìn)步，而理論模型——或許是統(tǒng)計(jì)模型應(yīng)該跟上分析方法前進(jìn)的步伐，這點(diǎn)十分重要，但事實(shí)并非如此，這使得我們不得不思考如何對(duì)待通過(guò)自動(dòng)化的分析方法已經(jīng)積累的大量數(shù)據(jù)?？梢?jiàn)，將最小二乘法這個(gè)在同位素地質(zhì)年代學(xué)內(nèi)普遍應(yīng)用的統(tǒng)計(jì)方法“顯性化”，是非常有意義的，這也有助于解決實(shí)際研究中存在的一些困擾，例如如何理解MSWD對(duì)年齡結(jié)果的評(píng)價(jià)及參考意義。

鑒于此，以下將在前人研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合同位素地質(zhì)年齡計(jì)算的相關(guān)知識(shí)，對(duì)直線擬合的最小二乘法作詳細(xì)總結(jié)和研究，并進(jìn)一步在此基礎(chǔ)上討論同位素地質(zhì)年代學(xué)應(yīng)用的相關(guān)問(wèn)題。

1 相關(guān)測(cè)年原理簡(jiǎn)介

首先以Rb-Sr等時(shí)線法為例，介紹應(yīng)用最小二乘法所要解決的地質(zhì)問(wèn)題。核素87Rb通過(guò)一次β-衰變變成穩(wěn)定同位素87Sr，根據(jù)放射性衰變定律，進(jìn)一步推演得到

87Sr=87Sr0+87Rb(eλt-1)(Faure，1986)

式中，λ為87Rb的衰變常數(shù)，t為從同位素體系封閉到現(xiàn)在的時(shí)間，亦即所求的地質(zhì)年齡。而87Sr、87Sr0和87Rb均表示物質(zhì)的量，即是以mol為單位，本當(dāng)寫(xiě)為n(87Sr)、n(87Sr)0和n(87Rb), 但本文中太多，為簡(jiǎn)便計(jì)寫(xiě)為現(xiàn)式，后邊其他同位素亦仿此處理。

兩邊同時(shí)除以穩(wěn)定核素86Sr的含量，得：

此式為Rb-Sr同位素定年的基礎(chǔ)，其中87Rb/86Sr、87Sr/86Sr為現(xiàn)今樣品的實(shí)測(cè)同位素含量比值，(87Sr/86Sr)0為距今t時(shí)刻時(shí)這兩種同位素的初始比值。由于 (87Sr/86Sr)0未知，因此不能直接計(jì)算年齡。對(duì)于一套同源、同時(shí)、封閉的樣品，其87Sr/86Sr 初始值均一，也就是不同樣品間的(87Sr/86Sr)0一致，而其距今t時(shí)刻時(shí)的87Rb含量可能不同，從而導(dǎo)致放射性成因累積的87Sr含量不同。這樣的話，這一套樣品內(nèi)的不同樣品之間，87Rb/86Sr、87Sr/86Sr就會(huì)有所差異。這時(shí)，t、λ為常數(shù)，上式便可看作直線方程

y=a+xb(Faure，1986)

這里b=eλt-1，y=87Rb/86Sr，x=87Sr/86Sr。

對(duì)于上述一組樣品，根據(jù)其(87Rb/86Sr，87Sr/86Sr)測(cè)試值及其誤差，運(yùn)用最小二乘法擬合直線，就能夠得到其斜率與截距。根據(jù)斜率b=eλt-1，就可得到所關(guān)注的年齡t，而其截距則為(87Sr/86Sr)0，可用于同位素地球化學(xué)示蹤。

除Rb-Sr同位素體系之外，Sm-Nd、K-Ar、Re-Os同位素體系定年也常用到等時(shí)線法，其同位素定年方程分別為(Faure，1986) ：

對(duì)于U-Pb同位素體系，最小二乘法直線擬合主要用于Pb-Pb等時(shí)線擬合以及U-Pb諧和圖中的不一致線擬合。前者的斜(率)截(距)式直線方程為(Rosholt et al., 1973; Faure, 1986; 陳道公，2009)：

后者的點(diǎn)斜式直線方程為:

(Wetherill, 1956; Allegre, 2008)

在應(yīng)用絕滅了的放射性同位素對(duì)隕石進(jìn)行相對(duì)年齡測(cè)定時(shí)，同樣需要首先用到直線擬合，如26Al—26Mg、129I—129Xe隕石測(cè)年，其對(duì)應(yīng)直線方程分別為:

(Allegre, 2008)

綜上可知，這里所要解決的問(wèn)題是，根據(jù)樣品的一組同位素比值測(cè)試數(shù)據(jù)(往往帶有實(shí)驗(yàn)誤差)(xi,yi)，i=1,2,3，…，n，選擇最優(yōu)的最小二乘法處理模型，擬合最佳直線并計(jì)算斜率、截距及其誤差，并進(jìn)一步根據(jù)擬合結(jié)果，盡可能地甄別、評(píng)判其是否有真正的地質(zhì)年代意義。

2 直線的最小二乘法擬合

現(xiàn)給出樣品的一組同位素比值測(cè)試數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi、yi)，i=1,2,3，…，n(n>2)，據(jù)此求自變量x和因變量y之間的函數(shù)關(guān)系L:y=a+xb。其中a、b為待定參數(shù)，當(dāng)擬合直線與數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的(加權(quán))偏差平方和S最小時(shí)，得到最佳擬合直線。關(guān)于偏差平方和，根據(jù)York(1969)，有兩種等價(jià)的最一般形式:

(1)

(2)

這里(xi,yi)是第i個(gè)測(cè)試值，(Xi,Yi)是對(duì)應(yīng)的調(diào)整值(圖1)，即最佳擬合直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

(3)

ρi為第i個(gè)點(diǎn)x和y變量的誤差相關(guān)系數(shù)(error correlation，詳見(jiàn)誤差相關(guān)最小二乘法部分)，對(duì)于U-Th-Pb測(cè)年，由于縱橫坐標(biāo)變量xi、yi是同時(shí)同步測(cè)試的，往往需要考慮誤差相關(guān)系數(shù)，而對(duì)于其它測(cè)年方法，在實(shí)際應(yīng)用中多不考慮這個(gè)參數(shù)。

圖1 最小二乘擬合中，相關(guān)量之間的一般幾何關(guān)系Fig. 1 Illustration of relationship between various variables in least squares fitting of a straight lineL為最佳擬合直線，L′為調(diào)整線，(xi,yi)為測(cè)試點(diǎn)，(Xi,Yi)為對(duì)應(yīng)調(diào)整點(diǎn)，yri表示y方向的殘差，xri表示x方向的殘差L is the best straight line，L′ is the adjustment line，(xi,yi)is the data point while(Xi,Yi)is the adjustment point corresponding. yri denotes residual in y direction，and xri in x direction

當(dāng)ρi=0時(shí)，x、y的誤差不相關(guān)，這時(shí)得到Y(jié)ork(1966)、Borcherds和Sheth(1995)中所提到的Deming(1943)所定義的偏差平方和的公式，即與(1)式對(duì)應(yīng)的(4)式，以及McIntyre 等(1966)、Wendt(1969)[轉(zhuǎn)引自Brooks, 1972]、Borcherds和Sheth(1995)、Sheth等(1996)、何曉群和劉文卿(2011)所用的與(2)對(duì)應(yīng)的(5)式，

(4)

(5)

(6)

圖1給出了擬合直線與相關(guān)量之間的一般幾何關(guān)系。L為最佳擬合直線y=a+xb，連結(jié)測(cè)試點(diǎn)(xi,yi)與(Xi,Yi)的直線Li′為調(diào)整線，其斜率為每個(gè)點(diǎn)的y方向殘差(yi-residual，以下用yri表示)與x方向殘差(xi-residual，以下用xri表示)之比，即

(7)

可以看出，隨著擬合直線(即參數(shù)a、b)的變化，S也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化，當(dāng)S取最小值時(shí)，所有點(diǎn)沿各自調(diào)整線回歸到擬合直線上的距離之和最短，這時(shí)就得到了最佳擬合直線。方便起見(jiàn)，這里定義最佳擬合直線所對(duì)應(yīng)的S的最小值為S*。以下從最簡(jiǎn)單的普通最小二乘法開(kāi)始，逐步深入，分別介紹基于不同假設(shè)所得到的最小二乘直線擬合方法。實(shí)際應(yīng)用中，則需要根據(jù)數(shù)據(jù)本身特征，選擇最適合的最小二乘法進(jìn)行直線擬合。

2.1 普通最小二乘法(normal/ordinary least squares)

顧名思義，這是介紹并使用最多的最小二乘擬合方法(例如吳翊等，1995；同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，2002；李慶陽(yáng)，2001；盛聚等，2008；王黎明等，2008；褚寶增和王翠香，2010；何曉群和劉文卿，2011)，在Isoplot被廣泛使用之前，等時(shí)線擬合多用這種方法[如申浩澈(1983)所述]。假設(shè)xi不存在誤差(xi=Xi)，yi存在誤差(yi≠Yi)，令wi=w(yi)=1(可認(rèn)為w(xi)=)，這時(shí)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)沿與y軸平行的調(diào)整線調(diào)整到最佳擬合直線(圖2a)，

(8)

對(duì)于固定的一組數(shù)據(jù)，(8)式是S關(guān)于a、b的二元函數(shù)，根據(jù)多元函數(shù)的極值條件(同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，2002)，分別對(duì)S求關(guān)于a、b的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，得：

進(jìn)一步變換得到所謂的“法方程”或“正規(guī)方程”，

(9)

(10)

據(jù)(9)、(10)，解得(吳翊等，1995；王黎明等，2008；盛聚等，2008；何曉群和劉文卿，2011)：

(11)

(12)

與之類(lèi)似，也可將所有的誤差都?xì)w于xi(xi≠Xi，yi=Yi)，令w(xi)=1，wi=w(xi)/b2=1/b2(可認(rèn)為w(yi)=)，進(jìn)行處理，如圖2b。

對(duì)于一些研究對(duì)象，普通最小二乘法假設(shè)一個(gè)變量不存在誤差，這是成立的。而對(duì)于同位素地質(zhì)年代學(xué)，由于所有xi、yi都是測(cè)試值，這點(diǎn)顯然不成立。筆者認(rèn)為，對(duì)于Rb-Sr等時(shí)線法，考慮到87Rb/86Sr的測(cè)試誤差往往比87Sr/86Sr的誤差大許多，因此采用將所有誤差歸于87Rb/86Sr的(加權(quán))普通最小二乘法，或許是可以接受的。Sm-Nd等時(shí)線法類(lèi)似。

2.2 加權(quán)普通最小二乘法(normal/ordinary weighting least squares)

這是對(duì)普通最小二乘法的改進(jìn)，與前者不同的是其給予每個(gè)點(diǎn)不同的權(quán)重。假設(shè)xi不存在誤差(xi=Xi)，yi存在誤差(yi≠Yi)，這時(shí)wi=w(yi)=1/σ2(yi)(可認(rèn)為w(xi)=)，所有調(diào)整線都平行于y軸(圖2a)，

(13)

同理，可以根據(jù)?S/?a=0，?S/?b=0，解得(Bruzzone and Moreno, 1998)：

(14)

對(duì)(14)式中b的表達(dá)式進(jìn)一步變換可得：

(15)

類(lèi)似，也可將所有的誤差都?xì)w于xi(xi≠Xi，yi=Yi)并采用加權(quán)處理，令w(xi)=1/σ2(xi)，wi=w(xi)/b2(可認(rèn)為w(yi)=)，進(jìn)而確定最佳擬合直線(如圖2b)。

2.3 標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)最小二乘法(standard weighting model)

普通最小二乘法以及加權(quán)普通最小二乘法的一個(gè)顯著缺陷是只考慮一個(gè)變量的誤差，在同位素年代學(xué)研究中，兩個(gè)變量都是測(cè)試值，從而不可避免都存在誤差，這顯然不夠精確。

(16)

同上，令?S/?a=0，得

(17)

令?S/?b=0，得：

(18)

將(17)式代入(18)，化簡(jiǎn)會(huì)得到關(guān)于b的一元二次方程，解之并取其中一個(gè)解，得到:

(19)

a的解法同上，由最佳擬合直線過(guò)重心計(jì)算得到[(17)式，與(12)式本質(zhì)相同]。

2.4 標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立加權(quán)最小二乘法(standard independent weighting model)

圖 2 不同類(lèi)型的最小二乘擬合方法中，數(shù)據(jù)點(diǎn)的調(diào)整方式：(a)(加權(quán)的)普通最小二乘模型，只考慮縱坐標(biāo)的誤差，所有調(diào)整線都平行于y軸，需要說(shuō)明的是，對(duì)于同一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，加權(quán)的普通最小二乘擬合與普通最小二乘擬合所擬合直線可能會(huì)不同；(b)(加權(quán)的)普通最小二乘模型，只考慮橫坐標(biāo)的誤差；(c) 標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)模型，所有調(diào)整線都互相平行且垂直于最佳擬合直線；(d)標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立加權(quán)模型，所有調(diào)整線都互相平行；(e)獨(dú)立加權(quán)模型，一般情況下，不同數(shù)據(jù)點(diǎn)的調(diào)整線不平行，但限制在三角陰影區(qū)內(nèi)；(f)誤差相關(guān)的加權(quán)最小二乘擬合模型，同樣不同數(shù)據(jù)點(diǎn)的調(diào)整線不再平行，但調(diào)整線不再限制在三角陰影區(qū)內(nèi)(參考York, 1966, 1967, 1969; Borcherds and Sheth, 1995; Sheth et al., 1996; Mahon, 1996; Bruzzone and Moreno, 1998，有增改)Fig. 2 Various types of adjustments in different models of least squares fitting: (a) normal/ordinary least squares and normal/ordinary weighting least squares, only the errors in y direction are considered. It should be noted that weighting least squares may have different results from the not-weighting in this situation; (b) normal/ordinary least squares and normal/ordinary weighting least squares, only the errors in x direction are considered; (c) standard weighting model, all the adjusting lines are parallel to each other and are perpendicular to the best fitting line at the same time; (d) standard independent weighting model, the adjusting lines are parallel to each other; (e) independent weighting model, the adjusting lines are not necessary to be parallel but should be situated within the shadow area; (f) error correlated independent weighting model, the adjusting lines are not necessary to be parallel or be restricted within the shadow area(after York, 1966, 1967, 1969; Borcherds and Sheth, 1995; Sheth et al., 1996; Mahon, 1996; Bruzzone and Moreno, 1998)

(20)

令?S/?a=0，?S/?b=0，同上解得：

(21)

(22)

S的最小化給出關(guān)于b的二次方程，解之并選取其中一個(gè)合適的根作為擬合直線的斜率，得到(Bruzzone and Moreno，1998):

(23)

這里b*指(14)中的b，即對(duì)于此組數(shù)據(jù)，假若xi沒(méi)有誤差時(shí)計(jì)算所得的斜率。S、Sx、Sy、Sxy、Sxx、Syy如2.2節(jié)中所述。

2.5 獨(dú)立加權(quán)最小二乘法(independent weighting model)

這是雙變量最小二乘擬合的更一般情形，其同時(shí)考慮每個(gè)點(diǎn)xi、yi的不確定度，并認(rèn)為σ(xi)、σ(yi)二者之間不存在確定的數(shù)學(xué)關(guān)系。與上述2.1～2.4節(jié)的情形不同，此時(shí)調(diào)整線一般不再平行，并被限制在假設(shè)x、y都不存在誤差時(shí)的豎直和水平調(diào)整線以及最佳直線所包圍的三角形內(nèi)(圖2e)，而且得不到斜率b和截距a的解析解，必須使用迭代法，尋找認(rèn)為達(dá)到我們所需要精度的近似解。下面給出兩種處理辦法。

2.5.1 獨(dú)立加權(quán)模型解法一

York(1966)從表達(dá)式(4)著手解決這個(gè)問(wèn)題，延續(xù)其思路，以下進(jìn)一步更詳細(xì)地解析相關(guān)過(guò)程：

2.5.1.1 步驟 1

S是關(guān)于Xi、Yi的泛函，根據(jù)泛函極值條件及相關(guān)運(yùn)算法則，當(dāng)S取得極值時(shí)，其一階變分為0，即有：

(24)

(25)

這里δs、δ(xi)、δ(yi)分別表示S、xi、yi的一階變分[此概念來(lái)自“變分法”這一數(shù)學(xué)分支學(xué)科，而變分法則是研究求泛函極大值和極小值的方法，簡(jiǎn)單理解，“一階變分”類(lèi)似于高等數(shù)學(xué)中的微分，有關(guān)其詳細(xì)的數(shù)學(xué)定義可參考老大中(2004)、邵克勇等(2011)]。

由于(Xi,Yi)位于最佳擬合直線上，因此有：

Yi=a+bXi

(26)

兩邊同時(shí)求變分，得到：

δa+Xiδb+bδ(Xi)-δ(Yi)=0

(27)

對(duì)于不同的i，(27)式乘以各自的一個(gè)未定乘數(shù)λi，并求和，得到：

(28)

(25)+(28)，得：

(29)

令δ(Xi)、δ(Yi)、δa、δb的系數(shù)為0，得到：

(30)

(31)

(32)

(33)

將(30)、(31)分別代入(26)中，分別替換Xi、Yi，得到：

(34)

由(34)式解出λi，得到：

λi=wi(yi-a-bxi)

(35)

wi由(6)式給出。

2.5.1.2 步驟2

現(xiàn)在，(32)、(33)、(35)一共有(n+2)個(gè)等式，(n+2)個(gè)未知數(shù)：a、b和λi。根據(jù)(32)和(35)，有：

(36)

根據(jù)(33)和(35)，有：

(37)

將(30)代入(37)，替換Xi，得到：

(38)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)，有：

(39)

將(35)式代入(39)式，替換λi得到：

(40)

這里可以通過(guò)(36)、(40)同時(shí)解出a、b。

2.5.1.3 步驟 3

現(xiàn)在，從等式(36)中解出a，得到[與(12)式形式相同]：

(41)

這里

(42)

將(41)式代入(40)式，化簡(jiǎn)即得到Y(jié)ork(1966)的“最小二乘立方方程”。事實(shí)上，正如Mahon(1996)所認(rèn)識(shí)到的，由于wi中也含有b，因此這也只是一個(gè)形式上的立方方程：

(43)

(43)式中，左邊第一項(xiàng)系數(shù)化為1，得：

b3-3αb2+3βb-γ=0

(44)

其中

(45)

(46)

(47)

將(44)式看作一元三次方程，得到其三個(gè)實(shí)根為：

這里

York(1966)指出b3是我們所需的根，因此：

(48)

由于α、β、γ都含有wi，而wi中也含有b，因此并不能直接從(48)式中解出所需的斜率b。這時(shí)就需要用到方程求根的迭代法(參見(jiàn)李慶揚(yáng)，2001)，用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算(參見(jiàn)彭國(guó)倫，2002)。簡(jiǎn)要說(shuō)明其原理：

① 首先給出一個(gè)b的近似值b(1)，代入(6)計(jì)算wi并將所得代入(45)、(46)、(47)計(jì)算α、β、γ，進(jìn)一步將所得代入(48)得到b(2)；

② 將b(2)代入(6)計(jì)算wi并將所得代入(45)、(46)、(47)計(jì)算α、β、γ，進(jìn)一步將所得代入(48)得到b(3)；

③ 依次重復(fù)以上過(guò)程，直到b(k+1)-b(k)<ε。這里ε是一個(gè)我們可以接受的、使得b(k+1)與bk接近幾乎完全相等的數(shù)值，取決于我們所要求的斜率b的精度。b(k+1)即為所求斜率b。

這時(shí)，a同樣由(12)式(也就是(41)式)解出。

將(30)、(31)代入(7)式，得到一個(gè)極有意義的表達(dá)式(York，1967)，

(49)

據(jù)此可以確定調(diào)整線的方向，可以看出，調(diào)整線的斜率與最佳擬合直線的斜率b符號(hào)相反，亦即調(diào)整線位于圖2 所示的三角陰影區(qū)內(nèi)。此等式對(duì)于2.1節(jié)至2.5節(jié)都成立。

2.5.2 獨(dú)立加權(quán)模型解法二

其它學(xué)者(McIntyre et al, 1966; Wendt, 1969，轉(zhuǎn)引自Brooks, 1972; Borcherds and Sheth, 1995等)則從公式(5)著手，根據(jù)S取最小值時(shí)的條件，得出斜率和截距的計(jì)算辦法。下面我們嘗試推導(dǎo)，

令?S/?a=0，得：

(50)

令?S/?b=0，得：

(51)

將(50)代入(51)，化簡(jiǎn)得到：

(52)

同樣可將(52)式看作關(guān)于b的三次方程，用上述類(lèi)似的迭代法處理即可。

Borcherds和Sheth(1995)并未先將(50)式代入(51)，而是將解三次方程的復(fù)雜性轉(zhuǎn)移到迭代過(guò)程中去。根據(jù)(51)化簡(jiǎn)得到一個(gè)二次方程：

Ab2+Bb+C=0

(53)

其中

A=a∑w2(yi)w(xi)xi-∑w2(yi)w(xi)xiyi

B=a2∑w2(yi)w(xi)-2a∑w2(yi)w(xi)yi

C=∑w2(xi)w(yi)xiyi-a∑w2(xi)w(yi)xi

這時(shí)開(kāi)始用迭代法：

① 用普通最小二乘法得到b的初始值b0，代入(50)計(jì)算a，用這個(gè)a代入(51)式，計(jì)算得到b的兩個(gè)根。② 將b的兩個(gè)根及①中a代入(5)分別求S。選擇較小的S對(duì)應(yīng)的b作為新的b值，記為b1。③b1再代入(51)式，計(jì)算得到b的兩個(gè)根，與②類(lèi)似處理，得到b2。依次重復(fù)，得到b(j)，直到b(k+1)-b(k)<ε。ε與2.5.1節(jié)中相同。這時(shí)的b(k+1)與對(duì)應(yīng)的a即為所求。

2.5.3 獨(dú)立加權(quán)模型與其它最小二乘模型的關(guān)系

可以認(rèn)為2.1～2.4節(jié)所述的四種模型是2.5節(jié)中的獨(dú)立加權(quán)最小二乘模型的特殊情形，雖然如此，但由于前四種情形下，能夠得到斜率b的解析解，而且實(shí)踐中會(huì)有與之類(lèi)似的問(wèn)題，因此詳細(xì)討論是有必要的。而獨(dú)立加權(quán)最小二乘模型則無(wú)解析解，需用迭代法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

2.1～2.4節(jié)以及2.5.2節(jié)都是用偏導(dǎo)數(shù)為0作為取得極值的條件進(jìn)行推導(dǎo)的，因此其解是相通的；而2.5.1節(jié)則采用變分法得到，給定2.5.1節(jié)中(43)式不同的條件，進(jìn)一步演算，則可得到公式(11)、(15)、(20)、(22)。

2.6 誤差相關(guān)最小二乘法(error correlated independent weighting model)

York(1969)將獨(dú)立加權(quán)模型進(jìn)一步復(fù)雜化，提出了(1)(2)兩種計(jì)算公式，并引進(jìn)誤差相關(guān)(系數(shù))ρi誤差相關(guān)這個(gè)參數(shù)，即σ(xi)和σ(yi)之間的線性相關(guān)系數(shù)，ρi1，當(dāng)其取0時(shí)，σ(xi)和σ(yi)相互獨(dú)立；當(dāng)其絕對(duì)值為1時(shí)，說(shuō)明其完全線性相關(guān)，+1意味著正相關(guān)，-1則負(fù)相關(guān)(Ludwig，2008；梁晉文，2001；費(fèi)業(yè)泰，2010；褚寶增和王翠香，2010)。通常所見(jiàn)的U-Pb諧和圖中，誤差橢圓的方位也就是誤差相關(guān)系數(shù)的反映。對(duì)于此種最小二乘法，不僅考慮每個(gè)點(diǎn)的誤差，而且考慮每個(gè)點(diǎn)縱橫坐標(biāo)誤差之間的相關(guān)系數(shù)，這時(shí)所有測(cè)試點(diǎn)的調(diào)整線一般不平行，且不會(huì)限制在上述2.5節(jié)中所述的陰影三角形內(nèi)(圖2f)。

與2.5節(jié)類(lèi)似，也可以從(1)式著手，令S的一階變分為0，或從(2)式著手，分別對(duì)a、b求偏導(dǎo)數(shù)并令其結(jié)果為0，推演b的計(jì)算過(guò)程。這里不再做詳細(xì)推導(dǎo)，其具體原理同上。York(1969)從(2)式著手，得到的最小二乘平方方程為：

(54)

據(jù)此的最佳擬合直線斜率為：

(55)

(56)

其中：

wi由(3)式給出。

x、y的殘差分別為：

(57)

(58)

3 相關(guān)參數(shù)的誤差估計(jì)

關(guān)于最佳擬合直線的斜率b和截距a的誤差(標(biāo)準(zhǔn)差)計(jì)算，較多采用的是誤差傳遞公式(McIntyre et al., 1966; York, 1966, 1969; Brooks et al., 1972; Kullerud, 1991; Mahon, 1996)，而York(1969)所給的誤差公式則存在錯(cuò)誤(Titterington and Halliday, 1979; Mahon, 1996)。Titterington and Halliday(1979)用最大似然法所討論的結(jié)果與誤差傳遞公式的計(jì)算結(jié)果相同。Sheth等(1996)則提出了另一種標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法。無(wú)論哪種算法，都是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的近似估計(jì)，這里主要介紹前者。而另一個(gè)至關(guān)重要的問(wèn)題是在得到標(biāo)準(zhǔn)差后，如何確定置信區(qū)間。

3.1 標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

這里以誤差相關(guān)的最小二乘模型為例介紹，其它模型可以通過(guò)相關(guān)參數(shù)取特殊值得到，也可用類(lèi)似的方法進(jìn)行推導(dǎo)。記(56)式為F(b,xi,yi)=0，即：

(61)

根據(jù)誤差傳遞公式(省略泰勒序列的高次項(xiàng))，有(Titterington and Halliday, 1979；Mahon，1996；費(fèi)業(yè)泰，2010)：

(62)

根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)公式(同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，2002)，

(63)

以上兩式聯(lián)立，就可得到Mahon(1996)所用的公式：

(64)

或

(65)

對(duì)于截距a的誤差，也可采用類(lèi)似的方法，將(12)式看作關(guān)于xi、yi的函數(shù)，有：

(66)

將?F/?xi、?F/?yi、?F/?b、?a/?xi、?a/?yi代入(64)(66)式，得到以下兩式(Mahon, 1996; Titterington and Halliday, 1979)：

(67)

(68)

York(1969)中認(rèn)為可以將點(diǎn)關(guān)于最佳擬合直線的分散程度考慮在內(nèi)，進(jìn)行誤差估計(jì)，得到擴(kuò)展的不確定度(York, 1966，1969; Kullerud, 1991)，即：

(69)

有關(guān)MSWD的介紹見(jiàn)下。Mahon(1996)認(rèn)為這種做法是從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)是不嚴(yán)格的，如果MSWD小于1的話，就會(huì)降低誤差。因此在實(shí)踐中如若用到，一定要指明。

3.2 確定置信區(qū)間

通常給標(biāo)準(zhǔn)差(σb和σa；代表68%的置信區(qū)間)乘以2(更準(zhǔn)確地說(shuō)是1.96，表1)，得到斜率b和截距a95%的置信區(qū)間。事實(shí)上，這樣做的前提是用于進(jìn)行等時(shí)線擬合的樣品數(shù)據(jù)點(diǎn)足夠多(即n較大)，且斜率和截距的計(jì)算結(jié)果服從正態(tài)分布。這時(shí)，平均值附近的2σ(1.96σ)區(qū)間，代表了概率密度曲線中95%的面積區(qū)域。當(dāng)擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)較少時(shí)，就需要乘以t-分布的α(這里取0.025，對(duì)應(yīng)于95%的置信區(qū)間)分位點(diǎn)tn-2(α=0.025)(參見(jiàn)褚寶增和王翠香等，2010)(Mahon, 1996; Ludwig, 2008)。 這時(shí)：

b=b*±tn-2(α=0.025)·σb，a=a*±tn-2(α=0.025)·σa(b*表示最佳斜率，a*同)。

當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)較少時(shí)，斜率的誤差會(huì)非常大，正因?yàn)槿绱?，Ludwig(1998, 2000, 2003, 2008等)一直強(qiáng)調(diào)避免3點(diǎn)或4點(diǎn)等時(shí)線。

4 MSWD

根據(jù)Wendt和Carl(1991)，MSWD(mean squared weighted deviation)計(jì)算方法為

(70)

其中f=n-k，為自由度，對(duì)于加權(quán)且固定截距的線性回歸，k取1，而對(duì)于無(wú)限制條件的線性回歸，k取2(Mahon, 1996)，n表示擬合所用的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目。wi如(3)式或(6)式所示。據(jù)此可知，這里：

(71)

即最佳擬合直線所對(duì)應(yīng)的偏差平方和(S*)的平均值。根據(jù)以上3中的討論可知，S*的大小反映了所有數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離最佳等時(shí)線的總距離，當(dāng)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)嚴(yán)格位于最佳等時(shí)線時(shí)，S*取值為0，當(dāng)然MSWD也為0，當(dāng)然這種情況是絕對(duì)理想化的。

接下來(lái)一個(gè)重要的問(wèn)題是在同位素地質(zhì)年代學(xué)中，如何應(yīng)用MSWD對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行解釋。通常可能會(huì)這樣認(rèn)為，當(dāng)測(cè)試所得的MSWD小于對(duì)應(yīng)自由度的HMSWD時(shí)，說(shuō)明擬合效果較好，具有地質(zhì)意義；反之高于時(shí)，則需要重新考慮是否樣品完全符合測(cè)年條件。是否如陳駿和王鶴年(2004)所述“當(dāng)MSWD>2.5時(shí)，很可能是一條誤差等時(shí)線”，或如韓吟文和馬振東(2003)所述，“該值越小，等時(shí)線質(zhì)量越好。當(dāng)存在地球化學(xué)誤差時(shí)，MSWD>1；當(dāng)不存在地球化學(xué)誤差時(shí)，MSWD≤1”。問(wèn)題似乎并沒(méi)有這么簡(jiǎn)單，Kalsbeek (1992)、Wendt (1992)對(duì)此已經(jīng)做了一些討論。

首先，需要明確的是，MSWD值明顯受對(duì)實(shí)驗(yàn)分析誤差估計(jì)準(zhǔn)確性的影響(陳道公，2009；這點(diǎn)可從公式(70)與(1)至(6)明顯地看出)，只有在使用最小二乘法(或最大似然法)擬合等時(shí)線，且對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差估計(jì)準(zhǔn)確時(shí)，MSWD才可作為檢驗(yàn)擬合結(jié)果的參數(shù)(Mahon, 1996)。但實(shí)際研究工作中，這點(diǎn)并沒(méi)有得到重視，筆者查閱了一些近年來(lái)用Rb-Sr等時(shí)線法測(cè)年的文章發(fā)現(xiàn)，許多文章并未交代等時(shí)線擬合中相關(guān)變量的(分析)誤差估計(jì)，卻使用MSWD對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，如李真真等(2009)、李光來(lái)等(2011)、張臣(1998)、藍(lán)廷廣等(2011)、祝禧艷等(2010)、周雄等(2010)、陳江峰等(2003)、魏俊浩等(2003)、毛光周等(2008)。而給出了誤差的文獻(xiàn)中，對(duì)分析誤差估計(jì)的方式依然存在著不明確性。李秋立等(2006)明確指出擬合時(shí)，87Rb/86Sr比值采用2%誤差、Sr同位素比值采用保守外精度誤差0.05%；姚海濤等(2001)選用87Rb/86Sr 、87Sr/86Sr 的分析誤差分別為1.5%、0.02%，并提及這是“一般的全巖Rb-Sr等時(shí)線法定年的分析誤差”；楊進(jìn)輝和周新華(2000)則只提及87Rb/86Sr的輸入誤差為0.5%～2%。

其次，根據(jù)上述3、4部分的詳細(xì)介紹可知，這里僅考慮了實(shí)驗(yàn)分析誤差，且給出了僅由分析過(guò)程中的隨機(jī)誤差引起數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)最佳擬合直線偏離時(shí)，MSWD的概率分布情況。但事實(shí)上，數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)最佳擬合直線的偏離(甚至靠近)，不僅可能來(lái)自實(shí)驗(yàn)分析誤差，而且還有可能來(lái)自地質(zhì)背景、每個(gè)樣品本身、以及測(cè)年方法的選擇，但對(duì)于除實(shí)驗(yàn)分析誤差之外的其它誤差，目前似乎并沒(méi)有合理的方法將其定量化(Allegre, 2008)，因此在擬合時(shí)，也僅考慮了實(shí)驗(yàn)測(cè)試誤差。實(shí)際研究中所用樣品，更多地是接近而非完全滿足同位素測(cè)年所需的條件，這就必然降低MSWD對(duì)擬合結(jié)果的評(píng)判意義。以等時(shí)線法為例，測(cè)年樣品不一定真正具有完全相同的初始同位素比值(見(jiàn)Zheng, 1989)，同位素體系能夠在所研究對(duì)象內(nèi)不一定能夠完全封閉。這樣的話，一方面，95%的置信邊界只是表明當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分散僅是由測(cè)試過(guò)程中的隨機(jī)誤差所引起時(shí)，MSWD會(huì)有95%的可能性落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，但并不排除存在其它因素導(dǎo)致MSWD落入這個(gè)區(qū)域的可能性，并且這種可能性有多大是未知的；另一方面，對(duì)于MSWD落入其95%置信區(qū)間外的情況，也有可能是可以接受的。

基于此，在應(yīng)用同位素地質(zhì)年代學(xué)方法對(duì)地質(zhì)體進(jìn)行年代測(cè)定時(shí)，需盡量選擇符合所用方法基本假設(shè)的樣品，并且盡可能地準(zhǔn)確估計(jì)分析測(cè)試誤差。在此基礎(chǔ)上，當(dāng)MSWD落入95%的置信區(qū)間內(nèi)時(shí)，說(shuō)明測(cè)試結(jié)果線性相關(guān)程度良好，在盡可能地降低其他因素影響的情況下，所獲年齡具有較大的參考意義。而當(dāng)MSWD落入95%的置信區(qū)間外時(shí)，且測(cè)試誤差估計(jì)準(zhǔn)確、MSWD不至于過(guò)大時(shí)，擬合結(jié)果仍有一定參考意義。當(dāng)然MSWD十分大時(shí)，則需要慎重對(duì)待測(cè)年結(jié)果。除此之外，更要結(jié)合地質(zhì)背景，對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。

5 討論

在同位素地質(zhì)年代學(xué)研究中，最小二乘法直線擬合是一種常用的數(shù)學(xué)處理方法。雖然普通最小二乘法廣為人知，但由于擬合所用數(shù)據(jù)點(diǎn)均為測(cè)試所得同位素比值，縱橫坐標(biāo)變量均存在誤差甚至誤差相關(guān)，而普通最小二乘法假設(shè)一個(gè)變量不存在誤差的前提條件已經(jīng)不能成立。因此，需要建立更加符合數(shù)據(jù)本身特點(diǎn)的擬合方法。

基于此，我們?cè)谇叭搜芯康幕A(chǔ)上，對(duì)最小二乘法進(jìn)行了系統(tǒng)性地總結(jié)與研究。詳細(xì)介紹了普通最小二乘法、加權(quán)普通最小二乘法、標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)最小二乘法、標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立加權(quán)最小二乘法、獨(dú)立加權(quán)最小二乘法以及誤差相關(guān)最小二乘法，給出了各自的“最小二乘”原理，以及擬合直線斜率、截距及其誤差的計(jì)算方法。在將相關(guān)數(shù)學(xué)計(jì)算方法進(jìn)一步完善并系統(tǒng)化的同時(shí)，也闡明了各種最小二乘模型之間的相互關(guān)系。誤差相關(guān)最小二乘法可以看作是最一般的情形，而獨(dú)立加權(quán)、標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立加權(quán)、標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)、普通最小二乘法則可看作是其一步步“特殊化”的情形。誤差相關(guān)、獨(dú)立加權(quán)這兩種最小二乘法沒(méi)有數(shù)值解，需要借助計(jì)算機(jī)編程后用迭代法得到其近似解，文中給出了迭代的具體算法；而前四種最小二乘法則具有數(shù)值解。

可以看出，不同的擬合模型對(duì)應(yīng)于不同的假設(shè)條件，這允許根據(jù)數(shù)據(jù)本身的特點(diǎn)，選擇合適的模型進(jìn)行擬合。如對(duì)于U-Pb不一致曲線，只能選擇誤差相關(guān)最小二乘法，而對(duì)于Rb-Sr、Sm-Nd、K-Ar、Re-Os等時(shí)線法等，則可選用最一般形式的獨(dú)立加權(quán)最小二乘法。當(dāng)然，如果數(shù)據(jù)有符合標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立加權(quán)、標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)、(普通)最小二乘法的假設(shè)條件的，即可采用這些簡(jiǎn)化的模型，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。這里，筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)于Rb-Sr、Sm-Nd等時(shí)線法，由于87Rb/86Sr(147Sm/144Nd)的實(shí)驗(yàn)誤差比87Sr/86Sr(143Nd/144Nd)要大許多，因此采用普通最小二乘法或加權(quán)普通最小二乘法，將數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離擬合直線的原因全部歸于橫坐標(biāo)x(87Rb/86Sr，147Sm/144Nd)，或許是可以接受的。

我們進(jìn)一步澄清了參數(shù)MSWD對(duì)于同位素地質(zhì)年代測(cè)定結(jié)果的參考意義。理論上，在擬合直線時(shí)，應(yīng)該考慮包括每個(gè)樣品的采樣、地質(zhì)背景、方法應(yīng)用及實(shí)驗(yàn)分析所帶來(lái)的所有誤差，但實(shí)際上只有實(shí)驗(yàn)分析誤差是可定量估計(jì)的。因此，擬合過(guò)程中我們只考慮了實(shí)驗(yàn)分析誤差。鑒于此，在所選樣品盡量符合所用測(cè)年方法原理的基礎(chǔ)上，如果實(shí)驗(yàn)分析誤差估計(jì)準(zhǔn)確，那么當(dāng)MSWD落入其95%的概率區(qū)間內(nèi)或不至于太大時(shí)，擬合結(jié)果具有較大的參考意義，但也不排除錯(cuò)誤的測(cè)年結(jié)果存在的可能性。當(dāng)MSWD過(guò)于大時(shí)，則需慎重。當(dāng)然，由于地質(zhì)“未知”世界的復(fù)雜性，在評(píng)價(jià)擬合結(jié)果時(shí)，也需要結(jié)合已有的地質(zhì)知識(shí)進(jìn)行判別。實(shí)際研究中，對(duì)于每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，更需將其看作“一個(gè)個(gè)同位素比值”，而非“一個(gè)個(gè)年齡”。

同位素年代學(xué)研究方法是建立在一定的假設(shè)基礎(chǔ)之上的，根據(jù)地質(zhì)樣品本身的規(guī)律，對(duì)這些假設(shè)予以統(tǒng)計(jì)學(xué)修正，應(yīng)該是今后發(fā)展的一個(gè)方向。這也有利于以地質(zhì)學(xué)內(nèi)容為素材，開(kāi)拓新的方法。我們的研究對(duì)于其他自然科學(xué)及社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，相似問(wèn)題的解決也具有一定的參考意義。

6 結(jié)論

本文對(duì)最小二乘直線擬合這一同位素地質(zhì)年代學(xué)中常用的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行了總結(jié)，詳解了其數(shù)學(xué)原理與實(shí)現(xiàn)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了從普通最小二乘模型到誤差相關(guān)最小二乘模型的統(tǒng)一。不同類(lèi)型的最小二乘模型對(duì)應(yīng)于不同的假設(shè)條件，研究者可據(jù)其數(shù)據(jù)特點(diǎn)進(jìn)行選擇。對(duì)于U-Pb不一致曲線，只能選擇誤差相關(guān)最小二乘法，而對(duì)于Rb-Sr、Sm-Nd、K-Ar、Re-Os及其它等時(shí)線，除可選用最一般形式的獨(dú)立加權(quán)最小二乘法，也可據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，選擇標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立加權(quán)、標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)、普通最小二乘法等簡(jiǎn)化模型計(jì)算。在此基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步澄清了MSWD這一參數(shù)對(duì)擬合結(jié)果的評(píng)判意義。準(zhǔn)確理解這些，對(duì)于我們更好地應(yīng)用相關(guān)測(cè)年方法，評(píng)價(jià)測(cè)年結(jié)果的可靠性至關(guān)重要。我們的研究也可用于其他領(lǐng)域內(nèi)相似問(wèn)題的研究中。

致謝：本文完成過(guò)程中得到了北京離子探針中心宋彪研究員，中國(guó)科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所姜能研究員、儲(chǔ)著銀副研究員，中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)諸慧燕老師、蘇文博教授、高世臣教授、王翠香副教授，中國(guó)軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)院張春茂、上海財(cái)經(jīng)大學(xué)馬馨瑞及中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)甘彩虹、薛玉山、楊寬、張志強(qiáng)等的幫助，匿名評(píng)審人及章雨旭編輯的認(rèn)真工作使本文進(jìn)一步完善，在此一并表示衷心感謝。