羅幼芝

(長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410004)

1999年，教育部提出了高職高專數(shù)學(xué)課程“以應(yīng)用為目的，以夠用為度”的原則。在這一背景下，高職數(shù)學(xué)課程的教學(xué)應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)概念和專業(yè)實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生不再是機(jī)械地學(xué)習(xí)純粹的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，而要把這些數(shù)學(xué)知識(shí)和專業(yè)實(shí)際中遇到的典型問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，在解決這些問(wèn)題時(shí)不再只是利用傳統(tǒng)方式解決，還可以借助相關(guān)工具如Excel加以解決。這樣能讓我們真切感受到它的實(shí)用性，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有更強(qiáng)的目的性。下面筆者就概率中的相關(guān)問(wèn)題來(lái)闡述這一過(guò)程。

一、彩票中獎(jiǎng)概率

1. 典型案例

某地發(fā)行福利彩票，每張彩票的號(hào)碼是7個(gè)數(shù)字的無(wú)序數(shù)組，開獎(jiǎng)時(shí)，用一個(gè)搖獎(jiǎng)機(jī)，里面裝有分別寫上01,02,…，35的35個(gè)小球。充分?jǐn)嚢柽@些小球一分鐘，從出口處掉出一個(gè)小球，記下小球上的數(shù)字。搖出的小球不放回?fù)u獎(jiǎng)機(jī)中，重復(fù)剛才的做法，一直到產(chǎn)生一個(gè)7個(gè)數(shù)字的無(wú)序數(shù)組，記作a，設(shè)有一、二、三等獎(jiǎng)。規(guī)定：彩票號(hào)碼與a完全一樣時(shí)，得一等獎(jiǎng)；彩票號(hào)碼與a有6個(gè)數(shù)字一樣時(shí)，得二等獎(jiǎng)；有5個(gè)數(shù)字一樣時(shí)，得三等獎(jiǎng)。

試問(wèn)：買一張彩票，中一、二、三等獎(jiǎng)的概率各是多少?

2. 解決方案

根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)袋子中有35個(gè)彩球，其中紅球7個(gè)，白球28個(gè)，每次隨機(jī)的取出一只，第一次取到的球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球，共取7次，求取到7球中全是紅球、有6個(gè)紅球和有5個(gè)紅球的概率。經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換，問(wèn)題變?yōu)闊o(wú)放回的隨機(jī)抽樣(超幾何分布)，根據(jù)其概率分布即可計(jì)算出相應(yīng)的概率值。

3. 解決辦法

利用Excel中的超幾何分布函數(shù)(HYPGEOMDIST函數(shù))可計(jì)算出相應(yīng)參數(shù)下超幾何分布的概率。

4. 使用Excel的求解步驟

第一步：新建一個(gè)工作表，輸入表頭“應(yīng)用超幾何分布函數(shù)HYPGEOMDIST求概率”。

第二步：分別單擊C2、E2、C3和E3單元格，輸入已知參數(shù):N=35， M=7，n=7，x=7。

第三步：運(yùn)用HYPGEOMDIST求7個(gè)球中全為紅球的概率，在B5單元格輸入“=HYPGEOMDIST(E3，C3，E2，C2)”，結(jié)果如圖11-1所示。

圖11-1應(yīng)用超幾何分布求概率

利用相同的原理可求得x=6及x=5的概率值。

在熟悉超幾何分布函數(shù)的基礎(chǔ)上，可以繪制超幾何分布的概率分布圖。繼續(xù)上述問(wèn)題，可以求得各種情形下的中獎(jiǎng)概率。具體操作如下：

第一步：新建Excel工作表，輸入 “超幾何分布函數(shù)概率分布圖”。

第二步：分別單擊C2、E2和C3單元格，輸入己知參數(shù)N=35， M=7，n=7。

第三步：設(shè)定樣本中中獎(jiǎng)的號(hào)碼個(gè)數(shù)x序列。在B6—B13單元格輸入x為0，1，…，7的取值。

第四步：求不同的x對(duì)應(yīng)的概率。單擊C6單元格，輸入"= HYPGEOMDIST(B6，$C$3,$E$2，$C$2)”，再次單擊C6單元格，將鼠標(biāo)至于C6單元格右下角，當(dāng)光標(biāo)變?yōu)樾『谑謺r(shí)拖曳至C13單元格，求出其他x對(duì)應(yīng)的概率值，如圖11-2所示。

圖11-2超幾何分布概率分布圖

二、保險(xiǎn)賠付概率

1. 典型案例

某保險(xiǎn)公司在一天內(nèi)承保了5000張相同年齡，為期一年的壽險(xiǎn)保單，每人一份。在合同有效期內(nèi)若投保人死亡，則公司需賠付3萬(wàn)元。設(shè)在一年內(nèi)，該年齡段的死亡率為0.0015，且各投保人是否死亡相互獨(dú)立。求該公司對(duì)于這批投保人的賠付總額不超過(guò)30萬(wàn)元的概率。

2. 解決方案

死亡人數(shù)X服從B(5000,0.0015)的二項(xiàng)分布(詳見(jiàn)本章第四節(jié))，根據(jù)泊松定理，當(dāng)n很大、p很小時(shí)，二項(xiàng)分布的概率值可由參數(shù)為λ=np的泊松分布的概率值近似，此案例中λ=5000×0.0015=7.5，通過(guò)泊松分布(詳見(jiàn)本章第四節(jié))的概率分布函數(shù)可求得相應(yīng)的概率值。

3. 解決辦法

利用Excel中的泊松分布函數(shù)(POISSON函數(shù))可計(jì)算出相應(yīng)參數(shù)下的概率。

4. 使用Excel的求解步驟

第一步：新建Excel工作表，輸入表頭“應(yīng)用泊松分布函數(shù)POISSON求概率值”。

第二步：分別單擊C2、E2單元格，輸入己知參數(shù)λ=7.5,x=10。

第三步：求該公司對(duì)于這批投保人的賠付總額等于30萬(wàn)元的概率(即死亡人數(shù)為10個(gè))，單擊C4單元格，輸入“=POISSON(E2,C2,0)”。

第四步：求該公司對(duì)于這批投保人的賠付總額小于30萬(wàn)元的概率。單擊C4單元格，輸入“=POISSON(E2,C2,1)”，結(jié)果如圖11-3所示。

圖11-3應(yīng)用POISSON分布函數(shù)求概率值

為了更好地理解泊松分布，下面說(shuō)明如何繪制泊松分布的概率分布圖和概率分布函數(shù)圖。繼續(xù)保險(xiǎn)賠付概率問(wèn)題，計(jì)算賠付金額為0-45萬(wàn)元間不同金額下的概率，步驟如下：

第一步：新建Excel工作表，輸入表頭“泊松分布的概率分布圖”。

第二步：?jiǎn)螕鬋2單元格，輸入已知參數(shù)λ=7.5。

第三步：采用序列填充生成“賠付金額”及“死亡人數(shù)”序列，由于保單有5000張，此處選定求x取值為0,1，…，15，即賠付金額取值為0，3，…，45的概率，死亡人數(shù)為15人以上的概率仍然存在，但極小。

第四步：運(yùn)用POISSON函數(shù)求出不同賠付金額對(duì)應(yīng)的概率，單擊C4單元格，輸入“=POISSON(B4，$C$2，0)”，再次單擊C4單元格，拖曳至C19單元格，求出其他死亡人數(shù)對(duì)應(yīng)的概率值；單擊D4單元格，輸入“=POISSON(B4，$C$2，1)”，再次單擊D4單元格，拖曳至C19單元格，求出其他次數(shù)對(duì)應(yīng)的累計(jì)概率值，結(jié)果如圖11-4所示。

圖11-4POISSON分布概率分布圖

根據(jù)上圖中所給的不同賠付金額下的累積概率值，保險(xiǎn)公司可估算出應(yīng)向投保人收取多少保費(fèi)。

結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上案例的學(xué)習(xí)，讓我們更加明確高職數(shù)學(xué)教育必須面向工作實(shí)際，解決實(shí)際問(wèn)題，真正做到學(xué)校的教育是以培養(yǎng)生產(chǎn)、建設(shè)、服務(wù)和管理第一線的高端技能型專門人才為主要任務(wù)。

參考文獻(xiàn)：

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