付麗慧

(石家莊鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河北石家莊 050041)

一、問題的提出與背景

數(shù)學(xué)向一切領(lǐng)域的滲透和發(fā)展是當(dāng)代科學(xué)發(fā)展的一個(gè)顯著特點(diǎn)，分配問題就是數(shù)學(xué)在社會(huì)科學(xué)中的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例。在社會(huì)的許多結(jié)構(gòu)和公共機(jī)關(guān)中都存在分配問題，如一個(gè)立法委員會(huì)中將席位分配到各種不同的政治團(tuán)體中，一個(gè)學(xué)院中的有限個(gè)教師分配給各個(gè)系，按某種優(yōu)先權(quán)或目標(biāo)將有限艘船只確定地分配給海軍各艦隊(duì)等等。

其實(shí)，對(duì)于畢業(yè)的師范生來說找工作中提及最多的便是此類問題。如下面的問題：某市有三所中學(xué)，總共有學(xué)生4000人，其中第一中學(xué)有2060名學(xué)生，第二中學(xué)有1260名學(xué)生，第三中學(xué)有680名學(xué)生，現(xiàn)本市教育局有14個(gè)教師指標(biāo)，打算分給各中學(xué)，但如何分配才是合理公平的呢？又由于教師缺乏，教育局經(jīng)多次申請(qǐng)，又得到一個(gè)教師指標(biāo)，試問這個(gè)教師指標(biāo)應(yīng)分給哪所中學(xué)才算公平合理？

任何一種分配，人們總希望它滿足一定的合理性。下面我們便來找出如何公平分配某市的教師指標(biāo)的方法。

二、問題的假設(shè)及符號(hào)說明

1.假設(shè)各所學(xué)校的人數(shù)是穩(wěn)定不變的，且沒有教師兼職；

2.假設(shè)在教師指標(biāo)的分配過程中，分配是穩(wěn)定的，且不受任何其他因素影響；

3.假設(shè)每個(gè)學(xué)校至少分到一個(gè)教師指標(biāo)，如若分配不到，則將其剔除在分配之外；

4.M表示教育局擁有的教師指標(biāo)數(shù)；

5.假設(shè)某市共有r所學(xué)校；

三、建立模型

模型Ⅰ

⒈按比例分配 對(duì)于本次討論的問題，hi(i=1,2,3)出現(xiàn)了小數(shù)(見表一)，但被分配的人員是不可分的物體，所以,必須是整數(shù)。習(xí)慣上，我們?nèi)绻麑?duì)hi“四舍五入取整數(shù)”或者“去掉尾數(shù)”，結(jié)果會(huì)導(dǎo)致教師指標(biāo)多余，或者教師指標(biāo)不夠分配。例如表一中的數(shù)據(jù)，若采取“四舍五入取整數(shù)”，則有m1=7，m2=4,m3=2，致使教師指標(biāo)多余；對(duì)表一中第六列數(shù)據(jù)，同樣采取“四舍五入取整數(shù)”，則有m1=8，m2=5，m3=3，此時(shí)M=16，結(jié)果使教師指標(biāo)不夠分配；而采取“去掉尾數(shù)”，只會(huì)導(dǎo)致教師指標(biāo)數(shù)多余。對(duì)此情況我們可以采取下述方法。

⒉ 參照慣例法 具體步驟如下：

⑴先讓各所學(xué)校取得教師指標(biāo)的整數(shù)部分；

⑵再把小數(shù)部分按從大到小的順序排列，將剩余的教師指標(biāo)中第一個(gè)分給小數(shù)部分最大的學(xué)校，第二個(gè)教師指標(biāo)分給小數(shù)部分次大的學(xué)校，依次類推，直至教師指標(biāo)分配完畢。

按上述兩種方法分配的教師指標(biāo)情況見表一：

表一：按照比例并參照慣例的指標(biāo)分配

但由上表可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)教師指標(biāo)增加一個(gè)時(shí)，反而使第三中學(xué)的教師指標(biāo)數(shù)減少一個(gè)，顯然不符合常理；所以，要解決此問題必須舍棄所謂的慣例，找到衡量公平分配的標(biāo)準(zhǔn)。故上面模型不成立，必須重新建立模型。

模型Ⅱ

為了討論方便起見，不妨先討論第一中學(xué)與第二中學(xué)兩所學(xué)校公平分得教師指標(biāo)的情況。如下從不公平度方面入手：

1.絕對(duì)不公平度

表二：?jiǎn)挝环蓊~的指標(biāo)絕對(duì)不公平度情況

從上表可以看出，A與B之間的絕對(duì)不公平度與C與D之間的絕對(duì)不公平度是一樣的。從常識(shí)，我們知道，A與B之間顯然比C與D之間更不公平。為了說明A與B之間比C與D之間更不公平，我們引入一個(gè)新概念：相對(duì)不公平度。

⒉相對(duì)不公平度

由上述定義可知：A與B之間對(duì)A的相對(duì)不公平度是(12-10)/10=0.2；C與D之間對(duì)C的相對(duì)不公平度是:(102-100)/100=0.02,即A與B之間對(duì)A的相對(duì)不公平度是C與D之間對(duì)C的相對(duì)不公平度的10倍。下面便從相對(duì)不公平度上進(jìn)行討論。

建立了衡量不公平的相對(duì)不公平度rA,rB之后,判定教師指標(biāo)分配的原則是盡可能地使相對(duì)不公平度減到最小。

⒊ 利用相對(duì)不公平度rA,rB來討論當(dāng)增加一個(gè)教師指標(biāo)的時(shí)候,該名指標(biāo)應(yīng)分配給A與B中哪所學(xué)校。

綜合上述⑴⑵兩種情況可知,Xi可用來衡量A與B之間誰將得到增加的一個(gè)教師指標(biāo)。

⒋ 現(xiàn)用上面3中所述方法,解決本文開始所提出的問題：教育局如何將有限的教師指標(biāo)進(jìn)行合理分配？

⑴ 對(duì)14個(gè)教師指標(biāo)的合理分配

先按照比例法計(jì)算結(jié)果(參照表一中第4列)將整數(shù)部分的13個(gè)指標(biāo)分配完畢,有m1=7,m2=4,m3=2,再應(yīng)用X值法分配剩下的1個(gè)教師指標(biāo)。下面分別計(jì)算X1，X2，X3。

所以增加的一個(gè)教師指標(biāo)應(yīng)分給第二中學(xué),即m2=4+1=5。即14個(gè)教師指標(biāo)分配的結(jié)果是:m1=7,m2=5,m3=2。

⑵對(duì)于15個(gè)教師指標(biāo)的分配

同⑴中,先按照比例法計(jì)算結(jié)果(參照表一中第6列)將整數(shù)部分的13個(gè)指標(biāo)分配完畢,有m1=7,m2=4,m3=2再應(yīng)用X值法分配剩下的2個(gè)教師指標(biāo)。下面分別計(jì)算X1，X2，X3。由⑴中計(jì)算可知,第14個(gè)教師指標(biāo)應(yīng)分給第二中學(xué), 即分配的結(jié)果是:m1=7,m2=5,m3=2。對(duì)于第15個(gè)教師指標(biāo),同樣用X值法。

四、結(jié)果分析

在上述方法推導(dǎo)過程中,我們可以發(fā)現(xiàn),按照比例法以及參照慣例法都有其不足,而比值法不僅有推導(dǎo)過程,最后又應(yīng)用實(shí)際例子驗(yàn)證,結(jié)果是符合實(shí)際的。

五、推廣應(yīng)用

指標(biāo)分配問題,不僅僅應(yīng)用在教師指標(biāo)的分配上,實(shí)際上,從1788年美國(guó)憲法生效以來,關(guān)于美國(guó)各洲代表名額的分配就屬此類問題。說得更近一些,我們?cè)谌粘Ｉ钪芯湍苡龅?如各學(xué)院為了協(xié)調(diào)學(xué)校學(xué)生會(huì)的工作,從各個(gè)系選取學(xué)生代表;又如為了加強(qiáng)宿舍管理,從各個(gè)宿舍中選出學(xué)生代表參與到宿管委員會(huì)中等等。

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