一種提高電力系統(tǒng)頻率檢測(cè)精度的改進(jìn)CZT算法

劉廣孚，夏 雲(yún)，張 珊

(中國(guó)石油大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東青島266580)

頻率是電力系統(tǒng)的主要參數(shù)之一，它可以作為系統(tǒng)的狀態(tài)反饋量，故在實(shí)際應(yīng)用中有著舉足輕重的作用［1-2］。比如，如果頻率超出了限定值，說(shuō)明負(fù)載可能出現(xiàn)了不匹配現(xiàn)象。此外，頻率也可以用于估計(jì)其他電力參數(shù)，例如電壓、電流信號(hào)的振幅和相位等參數(shù)［3］?？傊?，在電力系統(tǒng)中，有效的功率控制，負(fù)載保護(hù)繼電器的脫落和恢復(fù)設(shè)置，以及電能質(zhì)量的監(jiān)測(cè)與保護(hù)等相關(guān)功能及應(yīng)用，都需要進(jìn)行可靠且準(zhǔn)確的頻率測(cè)量工作。文獻(xiàn)［4］和［5］對(duì)現(xiàn)在流行的一些測(cè)量信號(hào)頻率的方法進(jìn)行了總結(jié)對(duì)比。在眾多的信號(hào)處理算法中，線性調(diào)頻Z變換(chirp Z-transform，CZT)算法被認(rèn)為是是檢測(cè)信號(hào)基波的最好的算法之一，它可以細(xì)化要分析頻段的頻譜，得到很高的頻譜分辨率［6-7］。文獻(xiàn)［8］和［9］指出 CZT算法可以在不增加觀察窗長(zhǎng)度以及運(yùn)算負(fù)擔(dān)的情況下提高頻譜分辨率，也不需要插值或者補(bǔ)零。筆者討論CZT的頻率分析精度，并通過(guò)頻譜分析CZT的誤差及原因。

1 CZT算法基本原理

離散傅里葉變換(discrete Fourier transform，DFT)算法是在Z平面的單位圓上進(jìn)行Z交換，而CZT算法是在Z平面的一段螺旋線上進(jìn)行Z變換［10-11］。一般來(lái)說(shuō)，設(shè)一個(gè)有限長(zhǎng)度序列x(n)的Z變換為

其中

式(1)定義了如圖1所示的分布在Z平面上的螺旋線的走勢(shì)。其中，W0表示螺旋線的伸展率;A0和θ0表示Z平面上起始采樣位置;φ0為螺旋線上采樣點(diǎn)之間的等分角［12］。

圖1 CZT的螺旋線采樣Fig.1 Spiral contour in CZT

由圖1知，CZT要分析的頻段為 fw=［fmin，fmax］，它被細(xì)化出M個(gè)采樣點(diǎn)(這里的M不需要與時(shí)域數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N相等［13］)。該頻段的上下邊界頻率的表達(dá)式為

其中，fs表示采樣頻率。一般地，CZT的頻譜分辨率定義為

而DFT的頻譜分辨率為

其中，TN=N/fS為采樣時(shí)間，即采樣信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度。

DFT的頻譜分辨率完全取決于采樣時(shí)間(或觀察窗寬度)，而CZT的頻譜分辨率與觀察窗的寬度無(wú)關(guān)［14］。根據(jù)式(7)，即使采樣時(shí)間很短，只要M足夠大，CZT頻譜分辨率就可以任意?。?5-16］。

在CZT中，當(dāng)A0=1，W0=1時(shí)，螺旋線變成了單位圓，而單位圓是螺旋線的特例。當(dāng)θ0=0以及φ0=2π/N 時(shí)，即分析頻段為［0，fs］(fs為采樣頻率)時(shí)，一段螺旋線就變成了完整的單位圓，而DFT就是在這個(gè)單位圓上采樣的。當(dāng)M=N時(shí)，CZT就是DFT，所以DFT是CZT的一個(gè)特例。

在CZT中，一般M≥N，fmin＞ 0，fmax＜ fs，所以其頻率分辨率高于DFT。

2 CZT頻率誤差分析

CZT因?yàn)榫哂泻芨叩念l率分辨率而得到了廣泛應(yīng)用，但對(duì)其頻率精度或者誤差的研究則較少。雖然當(dāng)M足夠大時(shí)CZT的頻率分辨率會(huì)非常高，但其誤差并不一定很低，即CZT的頻率分辨率和頻率精度是兩個(gè)概念，不可混淆。本文中從頻譜的角度討論其誤差原因及特性。

2.1 CZT頻率誤差

因?yàn)閷?shí)際電力信號(hào)中的主要頻率成分是基頻，其諧波及次諧波成分相對(duì)很弱，所以可以近似看成是單頻信號(hào)。首先分析單頻信號(hào)的CZT誤差，然后再對(duì)電力信號(hào)進(jìn)行分析。設(shè)頻率為50 Hz的單頻信號(hào)為

其中初相位為5°，便于與后面的電力仿真信號(hào)相對(duì)比。CZT算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為:采樣頻率fs=10 kHz，數(shù)據(jù)時(shí)間窗寬度或采樣時(shí)間TN=0.1 s，細(xì)化頻率段fw= ［10 Hz，90 Hz］，頻域點(diǎn)數(shù)M=500。得到的CZT頻譜如圖2所示。

圖2 式(9)所示的單頻信號(hào)的CZT頻譜Fig.2 CZT frequency spectrum of single tone signal in equation(9)

在圖2所示的頻譜中，主瓣的最高點(diǎn)(即幅值最大點(diǎn))對(duì)應(yīng)的頻率值(49.84 Hz)就是由CZT算法計(jì)算出來(lái)的信號(hào)頻率，稱之為CZT頻率。理想的頻譜是關(guān)于真實(shí)信號(hào)頻率(這里指50 Hz)左右對(duì)稱的，即主瓣最高點(diǎn)正好落在信號(hào)真實(shí)頻率上。但是當(dāng)最高點(diǎn)不在這個(gè)位置上的時(shí)候，即算出的CZT頻率不等于信號(hào)真實(shí)頻率，有一定偏差，這一偏差就是CZT頻率誤差，稱為CZT誤差。

仿真結(jié)果表明，采樣時(shí)間的長(zhǎng)短會(huì)影響CZT誤差。

2.2 采樣時(shí)間對(duì)CZT誤差的影響

電力信號(hào)的諧波成分一般都在2 kHz以下，所以設(shè)置采樣頻率fs=10 kHz。為了研究采樣時(shí)間的長(zhǎng)短對(duì)CZT頻率分析的影響，用不同長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行處理，設(shè)置采樣時(shí)間分別為0.18、0.14、0.1、0.06 s。為觀察工頻信號(hào)附近的頻譜變化，將細(xì)化頻率段設(shè)置為fw=［10 Hz，90 Hz］。這里主要討論采樣時(shí)間的影響，對(duì)分辨率要求不高，所以設(shè)置M=500，則根據(jù)式(7)可知CZT頻譜分辨率為0.16 Hz。利用CZT算法對(duì)式(9)所示的單頻信號(hào)進(jìn)行處理，得到頻譜如圖3(a)所示。

圖3 不同采樣時(shí)間下的單頻信號(hào)的頻譜Fig.3 Frequency spectrums of single tone signal with different sampling time

由圖3可知，采樣時(shí)間越長(zhǎng)，主瓣越窄，同時(shí)主瓣最高點(diǎn)的偏移程度相應(yīng)地也越小，在圖3(b)所示的局部放大圖中可以清楚地觀察到這一特征。由此可知，CZT的誤差是受采樣時(shí)間影響的，采樣時(shí)間越長(zhǎng)，CZT誤差越小。更多的仿真結(jié)果表明，當(dāng)M足夠大時(shí)，CZT誤差幾乎與M無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，CZT的頻率分辨率與頻率精度是兩個(gè)不同的概念。

2.3 信號(hào)初相位對(duì)CZT誤差的影響

仿真結(jié)果表明，不但采樣時(shí)間影響CZT誤差，而且信號(hào)的相位對(duì)CZT結(jié)果也有很大影響。當(dāng)采樣時(shí)間TN=0.1 s，M=500時(shí)，選取一些特殊的信號(hào)相位值(在0°～180°范圍內(nèi)每間隔30°取一個(gè)相位值)，利用CZT分別計(jì)算不同相位下的信號(hào)頻譜，結(jié)果如圖4所示。當(dāng)信號(hào)的相位不同時(shí)，CZT頻譜的幅值不同，頻率誤差(頻譜主瓣最高點(diǎn)偏離真實(shí)頻率的程度)一般也不相同。例如，當(dāng)初相位為60°時(shí)CZT頻譜(紅色曲線所示)的CZT頻率誤差為+0.2 Hz，而當(dāng)初相位為150°時(shí)(青色曲線所示)CZT頻率誤差為－0.2 Hz，其結(jié)果相對(duì)于真實(shí)頻率值基本對(duì)稱。同樣0°與90°的 CZT 頻率誤差、30°與120°的頻率誤差也是基本對(duì)稱的。

由圖4可看出相位相差90°的信號(hào)的CZT結(jié)果(頻譜最大點(diǎn))雖然幅值不同，但從位置上看似乎對(duì)稱于真實(shí)值(50 Hz)兩側(cè)。為了驗(yàn)證這種對(duì)稱性的一般性，設(shè)兩個(gè)仿真信號(hào)

圖4 不同相位下的單頻信號(hào)的頻譜主瓣最高點(diǎn)位置Fig.4 Highest points of main lobe of single tone signal frequency spectrum with different signal phase

當(dāng)相位ψ從0°到360°連續(xù)變化(間隔0.1°)時(shí)，計(jì)算各相位時(shí)的CZT頻率。參數(shù)設(shè)置為:采樣頻率fs=10 kHz，M=500，細(xì)化頻率段 fw=［10 Hz，90 Hz］，采樣時(shí)間TN=0.1 s，頻率分辨率RCZT=0.16 Hz。結(jié)果如圖5所示。為了驗(yàn)證其是否嚴(yán)格相對(duì)于真實(shí)頻率值對(duì)稱，將兩組CZT頻率值對(duì)應(yīng)地取平均。結(jié)果表明，其對(duì)稱性只是近似的、不嚴(yán)格的。盡管如此，取平均值后的頻率精度已經(jīng)大大提高。

圖5 不同相位下的式(10)的兩信號(hào)CZT頻率Fig.5 CZT frequencies of two signals in equation(10)with different signal phase

3 改進(jìn)的CZT算法

對(duì)于兩個(gè)相同頻率、相同采樣時(shí)間的相位差為90°的信號(hào)，其CZT頻率相對(duì)于真實(shí)頻率值近似對(duì)稱。如果將兩個(gè)CZT頻率求取平均值，則會(huì)使頻率誤差大大降低。因兩信號(hào)相位差為90°，可稱為正交信號(hào)，故該方法稱為正交平均CZT算法［17］(orthometric average CZT，簡(jiǎn)稱 OACZT)。

對(duì)于一個(gè)信號(hào)序列，可以根據(jù)預(yù)估的信號(hào)頻率值從信號(hào)中抽取出兩個(gè)正交信號(hào)子序列，然后分別計(jì)算CZT頻率并求取平均值。具體實(shí)現(xiàn)方法如下:

對(duì)于任意待分析信號(hào)x，假設(shè)其頻率(這里指基頻)為f0(對(duì)于電網(wǎng)信號(hào)則為50 Hz，對(duì)于其他信號(hào)可由CZT算法估計(jì))，采樣頻率為fs，則數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為N=TNfs的離散序列X定義為

(1)計(jì)算90°相位所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度Nq(即1/4個(gè)信號(hào)周期長(zhǎng)度):

其中，Nq必須是整數(shù)。

(2)從X中截取兩段長(zhǎng)度為(N－Nq)的子數(shù)據(jù)序列X1和X2:

這樣得到的X1和X2是正交的，即相位差為90°，如圖6所示。

(3)利用CZT算法計(jì)算出X1的CZT頻率值fCZT1和X2的CZT頻率值fCZT2。

(4)計(jì)算兩個(gè)頻率值的平均值:

這樣就利用OACZT算法得到了精度遠(yuǎn)高于CZT的信號(hào)頻率值。

分別利用CZT和OACZT算法對(duì)式(9)所示的單頻信號(hào)計(jì)算不同采樣時(shí)間下的信號(hào)頻率。仿真參數(shù)設(shè)置為:采樣頻率fs=10 kHz，頻域點(diǎn)數(shù)M=28700，細(xì)化頻率段 fw=［47.5 Hz，52.5 Hz］，則根據(jù)式(7)算出CZT頻譜分辨率為RCZT=(52.5－47.5)/(28700－1)≈0.0002 Hz。得到的結(jié)果如表1所示。

圖6 X1和X2在時(shí)域波形上的位置關(guān)系Fig.6 Time-domain waveform positional relationship between X1and X2

表1 單頻信號(hào)CZT與OACZT頻率結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of CZT and OACZT frequencies of single tone signal

關(guān)于M的取值，要從兩個(gè)方面考慮。一方面是分辨率，更多的仿真分析表明，太高的分辨率是沒(méi)有實(shí)際意義的，一般使分辨率值達(dá)到頻率精度的幾分之一即可;另一方面要與數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)相結(jié)合，當(dāng)(M+N－1)小于2m(m為可能的最小整數(shù))［12］時(shí)，在CZT計(jì)算時(shí)會(huì)在計(jì)算過(guò)程中對(duì)數(shù)據(jù)序列自動(dòng)補(bǔ)零，所以M的取值應(yīng)使(M+N－1)盡量接近或等于2m，在不加大計(jì)算量的同時(shí)盡量提高分辨率。

由表1可知，隨著采樣時(shí)間的增加，CZT誤差和OACZT誤差都呈現(xiàn)減小的趨勢(shì);而相同采樣時(shí)間下，OACZT算法與CZT算法相比，其頻率精度至少提高了20倍。

4 電力仿真信號(hào)實(shí)驗(yàn)

在以上的討論中，仿真信號(hào)均為單頻信號(hào)，而電力信號(hào)中含有豐富的諧波成分，本文中討論OACZT用于分析電力仿真信號(hào)時(shí)的基頻精度。

4.1 電力仿真信號(hào)頻率分析

根據(jù)實(shí)際采集的受污染非常嚴(yán)重的電網(wǎng)電壓信號(hào)的頻譜，生成了一個(gè)電力仿真信號(hào)。其基頻和各種主要諧波成分的詳細(xì)參數(shù)(包括頻率值、幅值和相位值)如表2所示。其中三次、五次和七次諧波相對(duì)比較嚴(yán)重，分別為9%、5%、0.6%。該信號(hào)的時(shí)域波形圖和頻譜圖如圖7所示。

表2 電力仿真信號(hào)各主要成分參數(shù)Table 2 Parameters of main components in simulated power signal

圖7 電力仿真信號(hào)的波形和頻譜Fig.7 Wave form and frequency spectrum of simulated power signal

首先利用CZT和OACZT算法分別計(jì)算電力仿真信號(hào)的基頻，參數(shù)設(shè)置與計(jì)算單頻信號(hào)時(shí)一致。結(jié)果如表3所示。將表3與表1對(duì)比可知，電力仿真信號(hào)的CZT誤差及OACZT誤差均略有增大，但差別甚微?？梢?jiàn)，將OACZT應(yīng)用于電力信號(hào)的基頻分析是完全可行的，在相同采樣時(shí)間下可大大提高其基頻分析精度。

表3 電力仿真信號(hào)CZT與OACZT頻率結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of CZT and OACZT frequencies of simulated power signal

4.2 諧波對(duì)CZT頻率的影響

電力仿真信號(hào)的分析結(jié)果表明，諧波的存在會(huì)影響CZT基波頻率，從而間接影響OACZT基波頻率，其原因可以通過(guò)頻譜進(jìn)行解釋。在圖8(a)中分別畫(huà)出了電力仿真信號(hào)的基波(單頻信號(hào))的頻譜、電力仿真信號(hào)的頻譜和3次諧波分量的頻譜，并在圖8(b)和圖8(c)中對(duì)頻譜頂部和底部進(jìn)行了局部放大。

由圖8可知，相比于基頻信號(hào)的頻譜主瓣最高點(diǎn)，電力仿真信號(hào)的主瓣最高點(diǎn)略向左偏移，并且幅值也略大，故CZT誤差略有增大。

諧波之所以會(huì)影響基波的CZT頻率，是因?yàn)橹C波成分(這里指三次諧波)的頻譜旁瓣(圖8(a)和(c)中的紅色曲線)在基頻處雖然很弱但仍有一定的值。電力仿真信號(hào)的頻譜主瓣其實(shí)就是基波主瓣與諧波旁瓣對(duì)應(yīng)相加的結(jié)果，所以諧波無(wú)可避免地會(huì)對(duì)信號(hào)主瓣產(chǎn)生影響。同時(shí)應(yīng)該注意到，諧波相對(duì)于基波而言是很弱的，其旁瓣就更微弱了，所以諧波使基波主瓣最高點(diǎn)產(chǎn)生的偏移量是很小的，遠(yuǎn)小于相位的影響，所以相位相差90°的兩信號(hào)的主瓣最高點(diǎn)仍然近似關(guān)于真實(shí)基波頻率值對(duì)稱。所以，OACZT應(yīng)用于電力仿真信號(hào)是完全可行的。

圖8 基頻附近的各類(lèi)頻譜Fig.8 Different kinds of frequency spectrums near fundamental frequency

根據(jù)表3的結(jié)果可知，采樣時(shí)間越長(zhǎng)，CZT和OACZT的頻率精度也越高，而在同樣的采樣時(shí)間內(nèi)，OACZT比CZT的頻率精度要高得多。例如當(dāng)采樣時(shí)間為0.4 s時(shí)，利用OACZT處理電力仿真信號(hào)，得到其基頻為50.001 Hz，誤差0.001 Hz，與傳統(tǒng)的CZT結(jié)果(49.981 Hz)相比，精度提高了大約20倍。

5 實(shí)際電網(wǎng)信號(hào)的頻率波動(dòng)分析

5.1 實(shí)際電網(wǎng)信號(hào)頻率分析

基于本文提出的OACZT算法，對(duì)某電網(wǎng)電壓信號(hào)進(jìn)行了連續(xù)頻率分析(采樣頻率為10 kHz)，在圖9中畫(huà)出了該信號(hào)的時(shí)域波形圖和頻譜圖。其三、五、七次諧波與基波的幅度之比分別為1.3%、1.9%、1.2%，比表2的電力仿真信號(hào)更加接近于單頻信號(hào)。

圖9 實(shí)際電壓信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜Fig.9 Wave form and frequency spectrum of real voltage signal

5.2 實(shí)際電網(wǎng)信號(hào)動(dòng)態(tài)追蹤

實(shí)際電網(wǎng)信號(hào)的基波頻率是連續(xù)波動(dòng)變化的，要跟蹤頻率的這種動(dòng)態(tài)變化，就必須使采樣時(shí)間盡量短。根據(jù)表3的結(jié)果可知，對(duì)于電力仿真信號(hào)，當(dāng)采樣時(shí)間為0.4 s時(shí)，CZT頻率精度約為0.02 Hz，而OACZT頻率精度約為0.001 Hz;當(dāng)采樣時(shí)間為0.2 s時(shí)，CZT和OACZT的頻率精度分別約為0.08和0.003 Hz?？梢?jiàn)，OACZT在很短的采樣時(shí)間下仍有相當(dāng)高的頻率精度，能夠很好地應(yīng)用于頻率動(dòng)態(tài)跟蹤。當(dāng)然，采樣時(shí)間越長(zhǎng)，頻率精度也越好，所以要根據(jù)具體分析要求確定采樣時(shí)間。如果要求很高的動(dòng)態(tài)性和實(shí)時(shí)性，就必須以犧牲頻率精度為代價(jià)。

為了追蹤監(jiān)控電力系統(tǒng)頻率的動(dòng)態(tài)性，對(duì)連續(xù)采集1 min的電壓數(shù)據(jù)每0.4、0.2和0.1 s計(jì)算一次基頻值，并分別用CZT和OACZT進(jìn)行計(jì)算，得到圖10中的電壓頻率波動(dòng)曲線。計(jì)算參數(shù)設(shè)置為:采樣頻率fs=10 kHz，細(xì)化頻率段fw=［47.5 Hz，52.5 Hz］，M=28700。

因?yàn)殡娋W(wǎng)電壓的頻率是波動(dòng)的，采樣時(shí)間越短越能反映頻率波動(dòng)的動(dòng)態(tài)性能，而且其波動(dòng)范圍很小。在圖10(a)中，因?yàn)椴蓸訒r(shí)間TN=0.4 s下的OACZT頻率誤差為0.001 Hz，而信號(hào)頻率波動(dòng)約為0.02 Hz，所以其結(jié)果表現(xiàn)了電網(wǎng)頻率的真實(shí)波動(dòng)情況;而CZT的頻率誤差大約是0.02 Hz，在該采樣時(shí)間下，CZT已不適合分析其頻率波動(dòng)情況。當(dāng)采樣時(shí)間變短時(shí)，如圖10(b)和(c)所示，CZT算法的誤差更大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大過(guò)信號(hào)頻率的實(shí)際波動(dòng)值;但是OACZT算法仍舊保持著一定的精度，采樣時(shí)間TN=0.2 s(圖10(b))時(shí)的OACZT精度約為0.003Hz，而采樣時(shí)間TN=0.1 s(圖10(c))時(shí)的OACZT精度約為0.006 Hz。所以，OACZT比CZT更適合于分析信號(hào)基波頻率的波動(dòng)情況。

圖10 實(shí)際電壓信號(hào)動(dòng)態(tài)分析結(jié)果Fig.10 Dynamic analysis results for real voltage signal

6 結(jié)束語(yǔ)

從頻譜上分析了CZT誤差的原因，指出CZT誤差與采樣時(shí)間及信號(hào)初相位有關(guān)，并且兩個(gè)正交信號(hào)的頻譜主瓣最高點(diǎn)是關(guān)于真實(shí)頻率值近似對(duì)稱的。根據(jù)這一正交對(duì)稱性，提出了一種改進(jìn)的CZT算法，即OACZT算法。對(duì)單頻信號(hào)和電力仿真信號(hào)的仿真結(jié)果均表明，在相同采樣時(shí)間下，OACZT算法比CZT算法具有更好的基頻計(jì)算精度，其分析精度比CZT提高了至少20倍。分析了諧波影響基波分析精度的機(jī)理，并指出對(duì)于電力信號(hào)，其諧波對(duì)基波的分析精度的影響是很小的。最后，利用OACZT算法分析了1 min的實(shí)際電壓信號(hào)的基波頻率波動(dòng)情況，結(jié)果顯示，CZT算法只有在較長(zhǎng)采樣時(shí)間下才能追蹤到基頻的變化，而OACZT算法可以在很短的采樣時(shí)間(僅為0.1 s)下精確地監(jiān)測(cè)到基頻的波動(dòng)情況，實(shí)時(shí)性更好。

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