付志紅

眾所周知，子空間的性質在整個線性空間 上被完全繼承下來，則子空間可以作為研究整個線性空間的一個強有力的工具，以幫助我們更好地、有效地認識整個線性空間的結構及性質。因此系統(tǒng)地研究關于子空間的判定及其運算是非常必要的。關于子空間的交與和以及有關性質所有高等代數(shù)教材都有詳細闡述，然而都僅限于有限個子空間的交與和，對無限個子空間的交與和沒有討論。這兩個問題是我們在學習高等代數(shù)過程中很自然會聯(lián)想到的問題，因此很有必要對其進行討論。當把子空間作為線性空間的子集，其并集、差集、補集等能否作成子空間？作成子空間的條件是什么？它們還有什么性質等問題卻很少有教材對其進行討論。另外，在 維線性空間 中，對于子空間交與和的維數(shù)與基的確定，本文將給出一個確定的求法和一般的表示方法，本文將通過具體實例，作詳盡論述，其目的是使我們對這一方法能更加熟練掌握。最后，進一步研究了線性變換的不變子空間和特征子空間的性質。

一、子空間的定義和運算性質

在通常的三維幾何空間中，考慮一個通過原點的平面。不難看出，這個平面上的所有向量對于加法和數(shù)量乘法組成一個二維的線性空間。也就是說，它一方面是三維幾何空間的一個部分，同時它對于原來的運算也構成一個線性空間。

（一）、子空間的定義

（二）、子空間的運算性質

1、子空間的交

2、子空間的和

結論：上例說明了子空間的和的概念不能推廣到無限多個子空間的情形。從子空間的和的定義來看，和空間的每一向量都是組成其和空間的每一子空間的某些向量作加法的結果。有限個向量相加由結合律知其結果仍是向量空間中唯一確定的向量。而無限個向量相加就不能保證其結果仍是該向量空間中向量。這也是“量變產(chǎn)生質變”在向量空間中的體現(xiàn)。

3、子空間的并

關于子空間的并能否作成子空間，我們有如下結論：

由此可見，子空間的和與子空間的并是完全不同的兩個概念，其性質也完全不同。

4、子空間的差與子空間的補

關于子空間的差與子空間的補，我們有如下結論：

定理5

二、子空間的分類討論

（一）、按子空間所含元素多少的劃分

1、平凡子空間

在線性空間中，零子空間和線性空間本身這兩個子空間叫做平凡子空間。

2、非平凡子空間

在線性空間中，除了零子空間和線性空間本身，其他的線性子空間叫做非平凡子空間。

3、真子空間

除線性空間 本身以外的子空間均為真子空間。

（二）、子空間的交與和的基與維數(shù)

1、維數(shù)定理

2、子空間的交與和的基與維數(shù)

三、線性變換的不變子空間與特征子空間

（一）、不變子空間

五、結束語

本文通過對無限多個子空間的交與和，子空間的并、差所進行的討論，使我們在學習過程中常常聯(lián)想到的問題有了確切的結論，這對我們更好地理解線性空間理論應該是有幫助的。