倪蒙

表征又稱心理表征或知識表征，它是認知心理學的核心概念之一，指信息或知識在心理活動中的表現(xiàn)和記載的方式.數(shù)學概念的表征就是指數(shù)學知識在學生心理活動中的呈現(xiàn)方式.

指數(shù)函數(shù)是學生進入高中后學習的一種新的函數(shù)，它對后續(xù)學習對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，甚至三角函數(shù)等都有重要的指導作用.那么，如何實現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的有效教學呢？研究概念本身的特點和學情是必要的.函數(shù)本身有“式、圖、表”三種不同的表征形式，函數(shù)的定義也有文字表征和符號表征兩種形式.而指數(shù)函數(shù)自然還有它不同的特點.學生此時已經(jīng)學過函數(shù)的概念和性質(zhì)，已經(jīng)具備研究函數(shù)性質(zhì)的能力.可見，要實現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的有效教學，就要將新概念與學生已有的經(jīng)驗和知識進行必要的整合，同時要充分整合指數(shù)函數(shù)概念的不同表征，使概念的嚴格定義變得豐富和生動起來.以下，筆者將結(jié)合本人的一節(jié)研究課談一點感受.

一、豐富情境表征，引入課題

愛因斯坦說：“興趣是最好的老師.”因此，課堂的引入即引例的選擇很關鍵.教材已經(jīng)給出了細胞分裂和測定古蓮子生長年代的例子，筆者又增加了以下兩個實例.

[例1]“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，意思是指一尺長的棍子，每天截取它的一半.則第x天后剩下的棍子的長度y與x的關系為.

[例2]一張紙對折一次變成2層，再對折變4層，如此繼續(xù)，對折x次后，紙的層數(shù)y與x的關系為.

以上引例的選擇理由有兩個：其一，從生活實際出發(fā)，學生容易接受；其二，以底數(shù)大于1和小于1的不同實際問題作為引例，有利于學生全面認識指數(shù)函數(shù).這樣的設計，充分使用了概念表征中情境表征的方式，不僅幫助學生理解指數(shù)函數(shù)概念的本質(zhì)，更讓學生體會到數(shù)學問題來源于生活的事實.

當然，在給出指數(shù)函數(shù)的概念后，還要對概念加以辨析，也就是注意點的分析.是由教師一一羅列，還是由學生探究呢？顯然后者更利于實現(xiàn)有效教學.如何進行呢？筆者選擇由學生自由舉例，寫出類似的函數(shù).學生經(jīng)過思考，給出了以下答案：①y=3x；②y=2x+1；③y=（-2）x；④y=2-x；⑤y=1x.最后學生共同討論得出指數(shù)函數(shù)的基本形式.這一過程，學生經(jīng)歷了從情境表征到符號表征（式的表征）的轉(zhuǎn)換，體會到從特殊抽象出一般的數(shù)學方法，實現(xiàn)了概念表征不同方向的相互滲透和互補.

二、整合多元表征，突破難點

在實際教學中，經(jīng)常會有教師擔心：如果放手讓學生自主探究會不會難以完成教學目標，或是放了出去，收不回來.處理這個問題的關鍵是教師的引導.實際上，什么是教師的教？教就是導，導學習目標，導學習內(nèi)容，導學習過程.要讓學生在教師的引導下自動自覺自主地學習與研究，使學生得到全面而有效的發(fā)展，實現(xiàn)有效教學.

指數(shù)函數(shù)的教學難點是指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的探究.如何既突破難點又實現(xiàn)有效教學呢？根據(jù)學生已有的學習經(jīng)驗，我給出以下幾個問題讓學生分組討論進行研究.

經(jīng)過以上問題串的引導，學生提出畫底數(shù)分別為2、3、12，13的指數(shù)函數(shù)的圖像.這樣學生通過實際操作和觀察，從圖形和符號兩種表征方式認識了指數(shù)函數(shù)，并得出以上4個特殊指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

如何從特殊到一般呢？正如華羅庚所說：“形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時少直觀.”要得出一般指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，還要從另一種表征方式進行研究.此時教師引導學生從數(shù)的角度即式的表征進行研究，不僅讓學生對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有更深刻的理解，同時還滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

在整個概念教學的過程中，學生認識了指數(shù)函數(shù)的符號表征、語言表征、操作表征、情境表征、圖形表征等多種不同的表征形式，并在表征的不同成分之間建立了充分的聯(lián)系，而不是單一地強調(diào)其中的任一方面.學生看到解析式就能夠想到對應的函數(shù)圖像，實際情境和具體的操作過程，實現(xiàn)不同表征方式之間的聯(lián)系.

事實上，豐富的表征以及相互之間的聯(lián)系構成了數(shù)學學習對象即指數(shù)函數(shù)的結(jié)構，表征間的轉(zhuǎn)換體現(xiàn)了學生在指數(shù)函數(shù)學習中邏輯思維與非邏輯思維的互補.所有的性質(zhì)都是由學生自己操作研究得出的，是一種自覺自主的學習行為，學生的學習充滿樂趣和自信，無疑實現(xiàn)了有效教學的目的，即實現(xiàn)學生的進步和發(fā)展.

數(shù)學概念的表征是多元化的，教師在運用時要結(jié)合實際情況——教材、學生、教師——進行優(yōu)化設計.如果一個教學設計脫離了教材，忽視了教學實施的對象即學生的數(shù)學思維規(guī)律、認知發(fā)展水平，甚至不清楚教師本身對數(shù)學思想方法、教學理論的理解水平，僅僅是多元表征的簡單堆砌，是無法實現(xiàn)有效教學的.

（責任編輯黃春香）