李翰芳　羅幼喜

摘 要： 本文從信息加工的角度分析了貝葉斯公式的核心思想，闡述了公式如何將“歷史信息”和“當(dāng)前信息”相結(jié)合，并可以連續(xù)進行“信息”加工的動態(tài)過程.文章利用兩個實例進行了詳細分析，不僅讓學(xué)生深刻理解了公式的內(nèi)涵，而且讓學(xué)生靈活掌握了公式的外延.

關(guān)鍵詞： 貝葉斯公式 歷史信息 當(dāng)前信息 信息加工器

1.引言

貝葉斯公式是英國數(shù)學(xué)家托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在1763年最早發(fā)表的，但當(dāng)時其結(jié)果沒有受到應(yīng)有重視，后來法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯在貝葉斯基礎(chǔ)上進一步總結(jié)，人們才逐漸認識到這個公式的重要性.雖然這個公式形式上只不過是條件概率與乘法公式及全概率公式的推論，但理論本身蘊含了深刻的思想，而且有重要的現(xiàn)實應(yīng)用.由該公式思想發(fā)展起來的“貝葉斯學(xué)派”在統(tǒng)計學(xué)歷史發(fā)展過程中占據(jù)著不可或缺的地位.

在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，大多是將該公式看做是一種計算概率的方法，沒有深層次地挖掘該公式所蘊含的思想，故學(xué)生理解起來比較困難，因而不能夠靈活掌握并應(yīng)用.本文繞過貝葉斯公式繁雜的數(shù)學(xué)表達式，另辟蹊徑，從“信息加工”的角度理解貝葉斯，讓學(xué)生更直觀而深刻地理解此公式背后隱含的思想和功能.

2.貝葉斯公式

這個公式也稱為逆概率公式.

其中P（A）稱為先驗概率，可以看成是人們對事件A發(fā)生概率的初步判斷或歷史經(jīng)驗信息，P（A|B）稱為后驗概率，是指在當(dāng)前某個事件B發(fā)生后，即有了“當(dāng)前信息”后對A發(fā)生概率的重新評估.從上式可以看到，P（A|B）是綜合了“歷史信息”和“當(dāng)前信息”之后得到的結(jié)果.貝葉斯方法的推斷正是基于后驗概率進行的，從而使該方法能夠有效地將歷史經(jīng)驗和當(dāng)前數(shù)據(jù)相結(jié)合，做出更科學(xué)全面的決策.更難能可貴的是，該公式具有連續(xù)“信息”加工的能力，即我們可以進一步將P（A|B）作為先驗，等到有另一個事件B′發(fā)生后對可以發(fā)生概率再做重新評估，從而一步一步地積累信息，不斷加深對事件的認識.下面，我們就從幾個生活中的實際例子闡述貝葉斯公式是如何對“歷史信息”和“當(dāng)前信息”進行逐步加工的.

3.案例分析

例1：設(shè)某銀行根據(jù)客戶的還款情況及時調(diào)整對客戶的信用評價（信用良好的可信度）.以往統(tǒng)計資料表明，信用良好的客戶按期還款率為95%，信用不足的客戶按照還款率為50%，某同學(xué)向銀行辦了張信用卡，辦卡時的信用評價為0.9，問為什么該學(xué)生連續(xù)幾次刷卡不還款后，最后終身都不享受向銀行貸款的資格.

解：設(shè)事件A={信用良好}，事件B={按期還款}，根據(jù)題意分別有：

下面分別討論2次刷卡沒有按期還款的情況下，銀行對該學(xué)生的信用評價.

第一次：

下面以0.47為銀行對學(xué)生的信用評價，此學(xué)生第二次刷卡未按期還款，求銀行對此學(xué)生的信用評價.

在上述例子中，辦卡時的信用評價為0.9，這個可以看做是銀行根據(jù)資料得到的客戶“歷史信息”.當(dāng)學(xué)生有一次刷卡沒有按期還款這個事件發(fā)生后，銀行就會根據(jù)“當(dāng)前信息”對學(xué)生信用作重新評價，即上述第一次有貝葉斯公式得到的后驗概率0.47.于是銀行將0.47作為學(xué)生的信用評價先驗概率，等到如果有再次有刷卡未按期付款事件發(fā)生后，則可利用貝葉斯公式再次對學(xué)生信用進行評價，即第二次得到后驗概率0.081.整個過程很好地體現(xiàn)了貝葉斯公式根據(jù)歷史和當(dāng)前資料，一步一步連續(xù)加工信息的能力.

從上面計算的結(jié)果我們也不難看出，第二次未還款后，銀行對該學(xué)生的信用評價非常小，幾乎為0，再經(jīng)過連續(xù)幾次故意不還款銀行會將此學(xué)生打入黑名單，在以后將不能申請銀行貸款.

例2：設(shè)根據(jù)往年調(diào)查資料表面，某地區(qū)患某種疾病的概率約為千分之一，假設(shè)患者對該種疾病化驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95.正常人對該種疾病化驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，其化驗反應(yīng)呈陽性，問此人確患該疾病的概率有多大？如果要對此人是否患該疾病進行確診，還是否需要做再次化驗檢查？

此問題中，如果不做化驗，抽查一人，那么他是患者該種疾病的概率P（A）=0.001，這個可以看成是先驗信息，即根據(jù)歷史調(diào)查資料所獲得的信息.當(dāng)某次體檢化驗呈陽性反應(yīng)這個事件發(fā)生后，我們需要將“歷史調(diào)查信息”與“當(dāng)前化驗信息”相結(jié)合，對此人患病概率進行重新估計，利用貝葉斯這個信息加工器，我們很容易計算出此人患該病的概率為P（A|B）≈0.023，從0.001增加到0.023，化驗結(jié)果表明該人患病風(fēng)險增加將近23倍，說明當(dāng)前的化驗對于診斷一個人是否患有該疾病非常有意義.

但從另一方面來看，此人患此疾病的概率也僅為P（A|B）≈0.023，這說明即使化驗呈陽性，確實患此種疾病的可能性也只有2.3%.所以通常在這種情況下，醫(yī)生也不會立即給病人下結(jié)論，而是建議重新做化驗，下面我們來看如果此人接著做第二次化驗后仍呈陽性的話，他確患此病的概率.則此時我們可將P（A|B）≈0.023來代替原來的P（A）=0.001作為患該疾病的先驗概率，于是在第二次檢測還呈陽性的情況下該人確實患此疾病的概率：

這進一步提高了檢測的準(zhǔn)確性，如果覺得還不精確，則可再化驗一次，在進行第三次化驗還是陽性的情況下該人確實患此疾病的概率：

這時醫(yī)生就已經(jīng)有很大的把握判定此人患有該疾病了，從上面的例子可以看到，醫(yī)學(xué)上對于病人患病的確診，就是借用貝葉斯公式這個“連續(xù)信息加工器”，將病人當(dāng)前化驗檢查結(jié)果同歷史資料信息相結(jié)合，一步一步對病人患病概率進行重新估計，逐步確診.

4.結(jié)語

本文主要從信息加工的角度看待貝葉斯公式，分析了公式中先驗概率即可看成是“歷史信息”，當(dāng)某個事件發(fā)生后，公式就將“歷史信息”與“當(dāng)前信息”相結(jié)合，對事件發(fā)生概率進行重新估計，得到后驗概率，再通過后驗概率做進一步的統(tǒng)計推斷.并且，還分析了貝葉斯公式連續(xù)動態(tài)處理信息的能力，即將上一次得到的后驗概率作為下一次的先驗概率，結(jié)合下一次事件的發(fā)生對問題進行重新評估以做出更準(zhǔn)確的決策.這樣逐步積累“歷史信息”，逐漸加深了解事物發(fā)生概率的過程符合人們的思維習(xí)慣.這樣的解析可以讓學(xué)生更容易、更清晰地理解和掌握貝葉斯公式.本文利用日常生活中常見的實例進行分析，將知識性與趣味性相結(jié)合，既讓學(xué)生學(xué)到理論知識，又讓學(xué)生學(xué)會理論知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，加深對貝葉斯公式的理解和靈活運用.

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