俞昕

IBM公司曾經(jīng)登過(guò)這樣一則廣告：Stop selling what you have，start selling what they need.（不再兜售你所擁有，開(kāi)始銷售顧客所需.）這則廣告引起了我對(duì)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的反思，數(shù)學(xué)教師在課堂上不能只傳授自己擁有的知識(shí)，更應(yīng)該傳授學(xué)生所需要的知識(shí).我們可以冷靜地對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行一番通透的反思與思考，我們的課堂教學(xué)應(yīng)關(guān)注哪些因素？怎樣的課堂教學(xué)能稱之為有效教學(xué)？怎樣的數(shù)學(xué)課堂能體現(xiàn)“和諧”？下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐提出構(gòu)建和諧數(shù)學(xué)課堂的五個(gè)要義.

目標(biāo)達(dá)成：計(jì)劃與現(xiàn)實(shí)

任何課都是為了實(shí)現(xiàn)一個(gè)預(yù)期的目標(biāo)而演繹的一段旅程.教師對(duì)每一節(jié)課都有自身的目標(biāo)預(yù)期，教師課前基于對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)、課程文本以及學(xué)生起點(diǎn)的分析，都會(huì)設(shè)計(jì)出計(jì)劃要達(dá)成的目標(biāo).教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)自然會(huì)對(duì)教學(xué)產(chǎn)生直接的指向作用，不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)計(jì)劃必然導(dǎo)致低效或無(wú)效的教學(xué)結(jié)果.但是，有時(shí)經(jīng)過(guò)對(duì)照比較發(fā)現(xiàn)，教學(xué)目標(biāo)確實(shí)達(dá)成的課，其實(shí)際效果卻并不理想.很多教學(xué)效果平平的課往往都是執(zhí)教教師止于自我預(yù)先設(shè)計(jì)的教學(xué)目標(biāo)而忽視學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)發(fā)展現(xiàn)狀的結(jié)果.所以，在教學(xué)活動(dòng)結(jié)束后，學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)發(fā)展的現(xiàn)實(shí)自然成為反觀教學(xué)目標(biāo)本身達(dá)成的另一個(gè)重要指標(biāo).

高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與拓展，教師在備課的時(shí)候應(yīng)注意到有些目標(biāo)是在課堂上實(shí)現(xiàn)的，有些目標(biāo)是在課后實(shí)現(xiàn)的，而且往往課后實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)更重要.目前我們很多數(shù)學(xué)教師往往只顧課堂眼前目標(biāo)，而忽視課后學(xué)生的長(zhǎng)期發(fā)展目標(biāo).換句話說(shuō)，我們數(shù)學(xué)教學(xué)存在兩個(gè)目標(biāo)：短期目標(biāo)與長(zhǎng)期目標(biāo).出于應(yīng)試與高考的壓力，教師注重短期目標(biāo)：學(xué)生是否掌握了課堂上教師傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，能否熟練地解決數(shù)學(xué)題目.日本著名數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏說(shuō)過(guò)：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒(méi)有什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益.”這應(yīng)該就是數(shù)學(xué)教育所追求的理想境界.但在考試指揮棒下，數(shù)學(xué)教育中“教知識(shí)”的功能日趨凸顯，而“明事理”的功能卻被忽視，以教來(lái)“育人”變成了以教來(lái)“考人”，其檢測(cè)手段就是考試，而考試也幾乎成為數(shù)學(xué)教育的終極目的.為應(yīng)對(duì)各級(jí)各類考試，在數(shù)學(xué)教育中，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的理解與掌握是濃墨重彩的關(guān)注，而對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的體驗(yàn)和基本數(shù)學(xué)思想方法的形成則是葉公好龍式的關(guān)注.這是應(yīng)該引起我們數(shù)學(xué)教師關(guān)注的問(wèn)題.

例如在講解“兩角差的余弦公式”時(shí)，教師可以進(jìn)行這樣的嘗試.白天黑夜，一年四季，漲潮落潮，心臟的收縮和擴(kuò)張時(shí)周期運(yùn)動(dòng)的體現(xiàn)，而一年四季，白天黑夜是天體運(yùn)動(dòng)的結(jié)果.而三大天體運(yùn)動(dòng)，地球繞著太陽(yáng)作圓周運(yùn)動(dòng)，月亮繞著地球作圓周運(yùn)動(dòng)，那么月亮繞著太陽(yáng)所作的運(yùn)動(dòng)情況如何呢？以此為背景教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模：

點(diǎn)Q在半徑為1的圓P上運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，圓心P又在另一個(gè)半徑也為1的圓O上運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)的初始位置如圖1所示，其中OP⊥QP，且P、Q兩點(diǎn)以相同的角速度逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，這時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)如何刻畫(huà)？教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量的方法分析.

教師在引課過(guò)程中，描述了公式的起源、公式的發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這不是簡(jiǎn)單地在說(shuō)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是在教學(xué)生怎樣發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，怎樣觀察問(wèn)題，又怎么來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而再怎樣用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題，而從一個(gè)問(wèn)題的解決中又如何發(fā)現(xiàn)了新的問(wèn)題，教師在這里做了精心的設(shè)計(jì)，可能僅通過(guò)這一次呈現(xiàn)無(wú)法達(dá)到教育的目的，但如果教師能長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的設(shè)計(jì)思想，則必將會(huì)引起學(xué)生的改變，使學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題的方法，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)這才是終身受益的.

主體互動(dòng)：質(zhì)量與機(jī)會(huì)

主體就是指教師和學(xué)生，課堂就是教師與學(xué)生之間通過(guò)不同方式的互動(dòng)而演繹的一段通向預(yù)期目標(biāo)地的旅程.主體互動(dòng)是指教學(xué)活動(dòng)的主體通過(guò)語(yǔ)言或行為的方式進(jìn)行的信息交流.互動(dòng)方式之一的語(yǔ)言也包括肢體語(yǔ)言在內(nèi).沒(méi)有主體互動(dòng)的課堂是難以想象的，但是表現(xiàn)出主體互動(dòng)的課堂也未必是教學(xué)有效的課堂.對(duì)主體互動(dòng)的審視還需要進(jìn)一步地考察其“質(zhì)量”與“機(jī)會(huì)”.所謂質(zhì)量，是指在主體互動(dòng)的過(guò)程中，有新的、有意義的內(nèi)容生成，同時(shí)師生之間的問(wèn)與答都融入了思維的積極活動(dòng).否則，只是教師連珠炮似的提問(wèn)和學(xué)生不假思索的回答，雖互動(dòng)頻繁且不乏熱烈，但仍不能視為有效的主體互動(dòng).所謂機(jī)會(huì)，是指主體之間的互動(dòng)機(jī)會(huì)對(duì)于每一位學(xué)習(xí)共同體的成員都得到了實(shí)現(xiàn).參與互動(dòng)是每一位學(xué)習(xí)共同體的成員應(yīng)有權(quán)利.真正民主的課堂就是要保證主體間平等的互動(dòng)機(jī)會(huì)，課堂上每一個(gè)互動(dòng)的環(huán)節(jié)都要盡可能地涉及更多的成員，并且通過(guò)整堂課的各種互動(dòng)環(huán)節(jié)，基本上每一位成員都能獲得主體間互動(dòng)的機(jī)會(huì).如果課堂上教師只是與少數(shù)幾位學(xué)優(yōu)學(xué)生的互動(dòng)，或者只是學(xué)生中一部分活躍分子在互動(dòng)，都不能夠視為有效的課堂.經(jīng)過(guò)“質(zhì)量”與“機(jī)會(huì)”這樣兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的深入考察，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)以往許多課堂表演效果非常好的公開(kāi)課尚有很大的改進(jìn)空間.

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是教師在課前準(zhǔn)備的教案基礎(chǔ)上，通過(guò)課堂主體間的互動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)、技能以及情感等多方面進(jìn)行體驗(yàn)、建構(gòu)和共享的過(guò)程.數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象程度很高的學(xué)科，很多教師反映數(shù)學(xué)課堂的互動(dòng)沒(méi)有文科課堂那么容易生成，學(xué)生不太容易接受象數(shù)學(xué)這樣枯燥乏味的學(xué)科互動(dòng)，認(rèn)為這只是數(shù)學(xué)優(yōu)等生之間的談?wù)撛掝}.數(shù)學(xué)教師應(yīng)該讓數(shù)學(xué)成為全體學(xué)生共同的語(yǔ)言、共同的話題，讓全體學(xué)生參與數(shù)學(xué)問(wèn)題的探討.

筆者在教學(xué)中經(jīng)常為學(xué)生構(gòu)建“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)共同體”，共同體的組員要滿足組間同質(zhì)、組內(nèi)異質(zhì)，學(xué)優(yōu)生、普通生和學(xué)困生相互結(jié)合，讓學(xué)優(yōu)生鼓勵(lì)幫助其他同學(xué)共同進(jìn)入數(shù)學(xué)探究的空間.其次教師應(yīng)該不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生創(chuàng)造互動(dòng)的機(jī)會(huì)，所提的問(wèn)題應(yīng)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維興奮點(diǎn)與生惑點(diǎn).“惑”這種心理現(xiàn)象在數(shù)學(xué)教學(xué)中主要發(fā)生在學(xué)生遇到數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的生長(zhǎng)點(diǎn)和銜接點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、數(shù)學(xué)思維的癥結(jié)點(diǎn)等時(shí)機(jī).這些關(guān)節(jié)點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、癥結(jié)點(diǎn)都是典型的思維生惑點(diǎn)，這些思維生惑點(diǎn)的解除必須通過(guò)發(fā)展認(rèn)知能力才能實(shí)現(xiàn).知識(shí)是思維的對(duì)象和工具，從知識(shí)觀的角度看，思維生惑點(diǎn)是已知與未知的混合物，是已知和未知的中介，是已知通向未知的橋梁.

例如在“二項(xiàng)式定理”的起始課上，教師：若今天是星期一，再過(guò)30天后的那一天是星期幾？怎么算？

知識(shí)呈現(xiàn)：時(shí)機(jī)與形式

知識(shí)呈現(xiàn)關(guān)注的是課堂上“方法”的因素，教學(xué)是一種藝術(shù)，教師在課堂上“藝術(shù)”表現(xiàn)的好與壞直接與課堂教學(xué)質(zhì)量相關(guān).沒(méi)有知識(shí)呈現(xiàn)的課堂跟沒(méi)有主體互動(dòng)的課堂一樣難以想象.但是，有知識(shí)呈現(xiàn)的課堂比比皆是，而呈現(xiàn)的效果卻又是千差萬(wàn)別的，其中主要原因往往都在于呈現(xiàn)的時(shí)機(jī)與形式是否恰到好處.“時(shí)機(jī)”，簡(jiǎn)而言之，就是指在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間呈現(xiàn)了適當(dāng)?shù)闹R(shí)，不早不晚，不緊不慢.“形式”，簡(jiǎn)言之，就是指適當(dāng)?shù)闹R(shí)以最具表現(xiàn)力的方式呈現(xiàn)出來(lái)，信息損失最小，主體間的溝通與理解變得最快捷.否則，知識(shí)的呈現(xiàn)即使再全面，但如果時(shí)機(jī)不對(duì)，就會(huì)造成主體認(rèn)知的混亂，教學(xué)效果自然就會(huì)打折扣；同樣，知識(shí)的呈現(xiàn)盡管是如期而至，但是其形式不能最佳傳遞其承載的內(nèi)容，也會(huì)造成主體認(rèn)知的困難，教學(xué)效果也一樣打折扣.對(duì)于知識(shí)呈現(xiàn)過(guò)程中“時(shí)機(jī)”與“形式”維度的審視，需要有對(duì)當(dāng)堂內(nèi)容的通透理解以及對(duì)學(xué)生情景認(rèn)知的深刻洞察.一節(jié)同樣內(nèi)容的課，不同的呈現(xiàn)形式，不同的呈現(xiàn)程序，課堂教學(xué)的效果往往也會(huì)大相徑庭.換言之，“好課”與“差課”的距離有時(shí)候只有一步之遙，關(guān)鍵在于是否在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間以恰當(dāng)?shù)男问匠尸F(xiàn)了恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容.

在一堂《幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型》中執(zhí)教者設(shè)計(jì)了“校慶”的背景（正值該校準(zhǔn)備舉辦校慶），校慶公告：某校定于2011年11月20日上午舉行建校10周年暨辦學(xué)55周年慶典活動(dòng)，誠(chéng)邀各級(jí)領(lǐng)導(dǎo)、歷屆校友、歷任教職員工和社會(huì)各屆朋友屆時(shí)光臨，同度喜慶時(shí)光，共謀美好發(fā)展！

問(wèn)題1：為了盡快落實(shí)校友的聯(lián)絡(luò)工作，擬設(shè)三個(gè)工作組.第1組（書(shū)信）：每天發(fā)40份邀請(qǐng)函；第2組（電話）：第一天通知10人，以后每天比前一天多通知10人；第3組（QQ）：第一天通知2人，要求每人收到通知后第二天轉(zhuǎn)發(fā)2人（未收到通知者）.請(qǐng)列舉各小組每天通知人數(shù)，并預(yù)測(cè)需聯(lián)絡(luò)天數(shù).

問(wèn)題2：QQ用戶擁有1個(gè)太陽(yáng)可以建立QQ群，使用QQ在2小時(shí)及2小時(shí)以上，記當(dāng)天為活躍天，

以上四個(gè)探究問(wèn)題的設(shè)置在同一個(gè)大背景下，由淺入深、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，設(shè)置了適當(dāng)?shù)碾A梯，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)W(xué)生的思維引入層層深入的探究與思考，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)時(shí)機(jī)的恰當(dāng)性與形式的合理性.

教學(xué)環(huán)節(jié)：流暢與合理

一堂課應(yīng)當(dāng)是一個(gè)結(jié)構(gòu)井然、環(huán)環(huán)相扣的整體.“課堂是教師對(duì)教學(xué)的一種結(jié)構(gòu)化的設(shè)計(jì)與演繹.”一堂課的起承轉(zhuǎn)合就是通過(guò)教學(xué)環(huán)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)的.每一節(jié)課都有其教學(xué)環(huán)節(jié)，但是并不是各教學(xué)環(huán)節(jié)的按部就班都能有效地體現(xiàn)教學(xué)的內(nèi)容和目標(biāo)，關(guān)鍵在于其間交替演進(jìn)的流暢感與合理性.一節(jié)課各教學(xué)環(huán)節(jié)的完成需要流暢，但不是每一節(jié)嫻熟流暢的課都是有效的.有些公開(kāi)課可以把每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)用時(shí)掌控精確到秒，一切盡在預(yù)期中，但教學(xué)效果卻流暢有余而學(xué)生認(rèn)知不足.另外，一節(jié)課的相鄰環(huán)節(jié)之間需要有邏輯性，但是只是各教學(xué)環(huán)節(jié)有邏輯性的機(jī)械組合卻同樣不能演繹課堂的精彩.正如很多失敗的公開(kāi)課一樣，各教學(xué)環(huán)節(jié)經(jīng)過(guò)了各專家的設(shè)計(jì)論證，不可謂邏輯性不強(qiáng)但教師的演繹卻生搬硬套般索然寡味.所以有效的課堂一定是既有如行云流水的流暢感，又有環(huán)環(huán)相扣的邏輯性.

筆者在一堂《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念》中設(shè)計(jì)了“數(shù)系之旅”以及“數(shù)之旅”中的三個(gè)課堂環(huán)節(jié).第一站“憶方程，回首數(shù)系發(fā)展，了然于胸”、第二站“制高點(diǎn)，鳥(niǎo)瞰虛數(shù)、復(fù)數(shù)，撥云見(jiàn)日”、第三站“塑理性，回顧真理之路，勇往直前”.這樣的課堂三環(huán)節(jié)設(shè)置使得學(xué)生在整個(gè)課堂上都被教師設(shè)置的懸念牽引，學(xué)生充滿了好奇心，主動(dòng)想去探究每一站的數(shù)學(xué)知識(shí).從課后學(xué)生的反映來(lái)看，學(xué)生都覺(jué)得這樣的數(shù)學(xué)課很新穎，他們都非常喜歡，都說(shuō)“數(shù)學(xué)課原來(lái)也可以這樣好玩的”.

在上課前的課間時(shí)間就開(kāi)始播放一段有關(guān)復(fù)數(shù)歷史的視頻.上課伊始，教師：剛才的視頻中向我們介紹了很多著名的數(shù)學(xué)家，比如法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯等等，以及他們所涉及的一個(gè)神秘的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在這個(gè)領(lǐng)域中有一種神秘的“數(shù)”，或者說(shuō)是“不可能的數(shù)”、“虛幻的數(shù)”，研究這種數(shù)需要我們豐富的想象力，今天就讓我們插上想象的翅膀開(kāi)始我們的“數(shù)系之旅”.

（幻燈片顯示本節(jié)課研究的課題“數(shù)系之旅”（（數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念）

教師：首先讓我們進(jìn)入數(shù)系之旅的第一站“憶方程，回首數(shù)系發(fā)展，了然于胸”.我們旅行的起點(diǎn)從最簡(jiǎn)單的方程開(kāi)始，請(qǐng)大家說(shuō)出方程x-1=0的解，大家呼之欲出.

……

（在以往的傳統(tǒng)課堂教學(xué)中，復(fù)數(shù)的這節(jié)起始課往往是教師將復(fù)數(shù)的概念直接灌輸給學(xué)生，學(xué)生可能會(huì)覺(jué)得這樣的定義比較突兀，不太容易接受.因此筆者在此設(shè)計(jì)了先介紹數(shù)系發(fā)展的歷史，然后向?qū)W生揭示需引進(jìn)“虛數(shù)單位”的必要性.）

教師：很好！那么如果我們?nèi)藶榈亩x一個(gè)新的數(shù)，使得它的平方等于-1，那是否可行呢？創(chuàng)造是要冒險(xiǎn)的，正所謂云里霧里看“新數(shù)”，虛無(wú)縹緲，接下來(lái)就讓我們慢慢揭開(kāi)這個(gè)“新數(shù)”的神秘面紗.讓我們進(jìn)入數(shù)系之旅的第二站“制高點(diǎn)，鳥(niǎo)瞰虛數(shù)、復(fù)數(shù)，撥云見(jiàn)日”.讓我們首先跟隨數(shù)學(xué)大師的足跡，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉首先引入i表示虛數(shù)單位，并且規(guī)定i2=-1. 盡管歐拉引進(jìn)了虛數(shù)單位，并也在使用它，但歐拉仍然對(duì)此不甚了解，稱“它們是不可能的數(shù)……它們通常被稱為想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂笾?”在此教師簡(jiǎn)略的向?qū)W生介紹公式“eiπ+1=0”.

……

（通過(guò)讓學(xué)生自己歸納、抽象出復(fù)數(shù)的基本代數(shù)形式.在此后三個(gè)“披荊斬棘”教學(xué)活動(dòng)中，仍然堅(jiān)持以學(xué)生為主體，以學(xué)生自主探究為主，讓學(xué)生自己總結(jié)出數(shù)學(xué)思想方法和“兩個(gè)復(fù)數(shù)相等”的概念.這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的學(xué)情，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中沒(méi)有壓抑感，讓思維自由馳騁.學(xué)生把數(shù)學(xué)課堂視為展示智慧、顯露才華的平臺(tái)，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)當(dāng)作探索科學(xué)、獲取真知、培養(yǎng)能力的有效途徑，都積極主動(dòng)地投入教師設(shè)置的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，并最大程度地釋放自己的潛能.）

教師：在剛才的數(shù)系之旅第二站中大家都有精彩的表現(xiàn)！讓我們進(jìn)入今天數(shù)系之旅的最后一站，第三站“塑理性，回顧真理之路，勇往直前”.

……

進(jìn)入“旅途回望”環(huán)節(jié)，教師：請(qǐng)大家談?wù)勎覀冞@堂課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？運(yùn)用了哪些思想？又有哪些體驗(yàn)和感悟呢？

學(xué)生自由發(fā)言.進(jìn)入“數(shù)之旅休息站”，教師布置課后拓展作業(yè)……

教師：最后讓我們以一副對(duì)聯(lián)來(lái)結(jié)束本節(jié)課的學(xué)習(xí).請(qǐng)大家一起來(lái)朗讀.

學(xué)生：上聯(lián)是“數(shù)之旅，層層深入，奇趣無(wú)比”；下聯(lián)是“縹緲?lè)?，披荊斬棘，撥云見(jiàn)日”；橫批是“虛數(shù)不虛”.

教師：希望我們今天的“數(shù)系之旅”也“此行不虛”.下課！

筆者在本堂課中設(shè)計(jì)了明暗兩條線，明線是“復(fù)數(shù)的有關(guān)新知”，暗線是“科學(xué)的發(fā)展就如數(shù)系的發(fā)展，需要我們有不斷追求真理的勇氣與毅力”.在數(shù)系之旅的第一站中，筆者通過(guò)數(shù)系的發(fā)展歷史，特別是“無(wú)理數(shù)”的產(chǎn)生歷史，向?qū)W生滲透了“雖然現(xiàn)在看來(lái)簡(jiǎn)單的數(shù)系但她的發(fā)展卻歷經(jīng)艱難與艱險(xiǎn)”.在數(shù)系之旅的第三站中，筆者首尾呼應(yīng)式的向?qū)W生介紹了復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史，進(jìn)一步讓學(xué)生深刻體會(huì)“數(shù)學(xué)的發(fā)展如同數(shù)系的發(fā)展”需要經(jīng)歷幾代數(shù)學(xué)家付諸于長(zhǎng)時(shí)間的努力與毅力才能得以完善.從課堂教學(xué)的效果與學(xué)生的學(xué)習(xí)投入性來(lái)看，整堂課的設(shè)計(jì)還是較流暢與合理的.

課堂知識(shí)：預(yù)設(shè)與生成

一堂課的教與學(xué)就是一個(gè)預(yù)設(shè)與生成相互作用的矛盾運(yùn)用.傳統(tǒng)的課堂特別強(qiáng)調(diào)課前對(duì)知識(shí)的預(yù)設(shè)，諸如充分利用科教書(shū)和教學(xué)參考書(shū)提供的信息資源，除此之外，經(jīng)驗(yàn)豐富的教師可能還會(huì)涉及本學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)知識(shí)之間的前后聯(lián)系、其他學(xué)科領(lǐng)域的相關(guān)內(nèi)容，以及學(xué)習(xí)者的生活經(jīng)驗(yàn)、社會(huì)知識(shí).但是，在新課程理念指導(dǎo)下，課堂教學(xué)過(guò)程中的知識(shí)除了上述靜態(tài)的信息資源之外，還應(yīng)包括課堂實(shí)施過(guò)程中動(dòng)態(tài)生成的信息資源.換言之，學(xué)生也是課堂知識(shí)的建設(shè)者和生成者.他們往往會(huì)在教師預(yù)先準(zhǔn)備的信息含量之外，經(jīng)過(guò)主體間的情景互動(dòng)，交流碰撞生成新的課堂知識(shí)，從而大大豐富了預(yù)期的課程內(nèi)容.

因此，從課程資源的開(kāi)發(fā)與利用方面而言，不僅要看教師對(duì)靜態(tài)課堂知識(shí)的利用與開(kāi)發(fā)，同時(shí)還要看教師對(duì)動(dòng)態(tài)課堂知識(shí)的利用與開(kāi)發(fā).對(duì)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的課堂知識(shí)進(jìn)行全面的開(kāi)發(fā)與利用往往會(huì)使一節(jié)課的教學(xué)信息增倍，精彩生成無(wú)數(shù).在教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程中，真正自然而真實(shí)的好課往往都是指教師充分利用課堂情境、創(chuàng)造設(shè)計(jì)恰當(dāng)問(wèn)題、積極挑戰(zhàn)學(xué)生的思維、因勢(shì)利導(dǎo)而水到渠成的結(jié)果.

筆者在一堂《向量在物理學(xué)中的應(yīng)用舉例》中曾給出以下探究問(wèn)題：河寬500m，水速2m/s，船仍舊在A處，從這在下游1200m河流B有一處瀑布.為了安全過(guò)河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速方向如何？

筆者預(yù)設(shè)的解決方案是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.先考慮臨界位置，當(dāng)[WTHX]v[WTBX]船方向垂直于AB時(shí)，劃速最小.若劃行方向不在AB方向上，根據(jù)圖示劃速都比臨界位置時(shí)大.

不片面追求教學(xué)容量，順應(yīng)學(xué)生的思維規(guī)律，注重思維過(guò)程的暴露，注重學(xué)生的思維活動(dòng)，讓學(xué)生在自己的思考探索過(guò)程中掌握解決問(wèn)題的技巧.學(xué)生的意外生成往往能帶來(lái)驚喜，有時(shí)教師認(rèn)為是常規(guī)的思路，學(xué)生不一定認(rèn)同，而學(xué)生自己有自己的看法，教師應(yīng)該在拋出問(wèn)題后給學(xué)生充分的時(shí)間思考，不要急著給出教師自己的解決方案，否則就極有可能限制了學(xué)生的思維，也有可能造成學(xué)生的思維定勢(shì).教師可以嘗試先讓學(xué)生講思路，或是讓學(xué)生“說(shuō)題”，若是學(xué)生的思路與教師的預(yù)設(shè)不同，則不管學(xué)生有無(wú)將問(wèn)題正確解出，都要充分展現(xiàn)學(xué)生的思路；若是學(xué)生的思路與教師的預(yù)設(shè)相同，則也要讓學(xué)生自主的進(jìn)行解決，教師不要代勞.

筆者認(rèn)為學(xué)生的生成應(yīng)大過(guò)于教師的預(yù)設(shè)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生學(xué)到什么，而不是教師教些什么.數(shù)學(xué)教師的責(zé)任是做好一個(gè)引導(dǎo)者，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的指引下產(chǎn)生更多、更精彩的有效生成，這是我們數(shù)學(xué)教師的理想目標(biāo).

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)教師孜孜以求數(shù)學(xué)教學(xué)精致無(wú)極限的“唯美”，追求構(gòu)建“和諧”的數(shù)學(xué)課堂，筆者認(rèn)為“和諧”應(yīng)體現(xiàn)在：不去想“這堂數(shù)學(xué)課涉及什么內(nèi)容”，而是思考“我想要學(xué)生從這一課學(xué)到什么”.通過(guò)以上五個(gè)方面的探討可見(jiàn)，“和諧”應(yīng)體現(xiàn)在：目標(biāo)的和諧達(dá)成、主體的和諧互動(dòng)、知識(shí)的和諧呈現(xiàn)、教學(xué)的和諧環(huán)節(jié)、知識(shí)的和諧生成.總之，學(xué)生是教師反饋教學(xué)信息的鏡子，我們可以從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中看到自己的課堂教學(xué)是否“和諧”，進(jìn)而追求理想中的“和諧”課堂.