導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合性問(wèn)題最終都回歸于函數(shù)單調(diào)性的判斷，而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，可以說(shuō)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的判斷、數(shù)值上的精確求解或估計(jì)成為導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用中最為核心的問(wèn)題.導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)其數(shù)值計(jì)算上的差異，我們可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)是數(shù)值上能精確求解的，我們不妨稱(chēng)為“顯零點(diǎn)”；另一類(lèi)是能判斷其存在但數(shù)值上無(wú)法精確求解的，我們不妨稱(chēng)為“隱零點(diǎn)”.在教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于處理“隱零點(diǎn)”問(wèn)題，由于涉及到靈活的代數(shù)變形技巧、抽象縝密的邏輯判斷和巧妙的不等式應(yīng)用，對(duì)學(xué)生綜合能力要求比較高，往往成為我們教學(xué)的難點(diǎn).為此筆者以2013年高考涉及函數(shù)“隱零點(diǎn)”的試題為例，系統(tǒng)闡述“隱零點(diǎn)”的處理策略和技巧，供讀者參考.

1函數(shù)“隱零點(diǎn)”的存在性判斷

對(duì)于函數(shù)“隱零點(diǎn)”的存在性判斷，筆者曾在文[1]進(jìn)行過(guò)系統(tǒng)探討，對(duì)此我們常采用下列兩種方法求解：一是利用函數(shù)零點(diǎn)介質(zhì)定理，即若連續(xù)函數(shù)f（x）在（a，b）上單調(diào)，且f（a）

·f（b）<0，則f（x）在（a，b）上存在唯一零點(diǎn)；二是借助圖像分析，即將函數(shù)f（x）的零點(diǎn)問(wèn)題的判斷轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0的解的判斷，并通過(guò)合理的變形將方程轉(zhuǎn)化為合適的形式再處理.在2013年高考中，此類(lèi)問(wèn)題涉及相對(duì)較多，例如

2函數(shù)“隱零點(diǎn)”的虛設(shè)和代換

在分析函數(shù)單調(diào)性時(shí)，我們不得不需要求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).而對(duì)于函數(shù)“隱零點(diǎn)”，由于我們無(wú)法求出其顯性表達(dá)式，這給我們求解問(wèn)題帶來(lái)一定的困難.筆者曾在文[2]探討過(guò)該類(lèi)問(wèn)題，我們處理的基本方法為“虛設(shè)及代換”，通過(guò)該手段來(lái)回避難點(diǎn).此類(lèi)問(wèn)題的求解具有一定的難度，例如

3函數(shù)“隱零點(diǎn)”的數(shù)值估計(jì)

函數(shù)“隱零點(diǎn)”盡管無(wú)法精確求解，但是我們可以進(jìn)行數(shù)值估計(jì)，最簡(jiǎn)單的方法即為在判斷其存在性的前提下利用二分法進(jìn)行估計(jì).當(dāng)然，這種估計(jì)方式多適用于數(shù)值估計(jì)，對(duì)于“隱零點(diǎn)”的代數(shù)估計(jì)，我們還可以通過(guò)單調(diào)函數(shù)來(lái)構(gòu)建函數(shù)不等式進(jìn)行估計(jì).例如

參考文獻(xiàn)

[1]林國(guó)夫.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2010，（5）.

[2]林國(guó)夫. 關(guān)注導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)的技巧[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2012，（5）.

[3]林國(guó)夫. 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中“隱點(diǎn)”的定量估計(jì)策略[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2013，（3）.