姜榮，黃志洵

(中國傳媒大學信息工程學院，北京 100024)

1 引言

Sommerfeld和Brillouin[1]在其經(jīng)典的波速理論中指出在反常色散條件下，群速可能大于真空中光速，甚至為負。這引起了科學家們對反常色散媒質(zhì)中的群速研究產(chǎn)生了極大的興趣。1970年Garrett[2]等人的研究表明：當頻率為f的電磁波通過非吸收但色散的媒質(zhì)傳播時，當媒質(zhì)具有接近頻率f的吸收線時就會出現(xiàn)反常色散的情況，此時群速可以大于光速，甚至為負，并且通過計算還表明對于吸收媒質(zhì)來講群速的概念同樣具有意義。在1982年S.Chu and S.Wong[3]利用Garrett[2]提出的近吸收線的反常色散媒質(zhì)首次測量到負群速。除此以外，科學家還利用增益線的方法實現(xiàn)負群速傳播，其中尤其是2000年王力軍[4]應用輔助增益線的方法實現(xiàn)反常色散首次在波形不失真的條件下觀測到負群速，這使得觀測到的群速更加具有意義。除了在這些有源的媒質(zhì)實現(xiàn)電磁波的反常色散外，科學家們同樣對無源媒質(zhì)中電磁波的反常色散傳播進行研究[5，6]，例如利用同軸晶體結(jié)構(gòu)實現(xiàn)電磁波的反常色散傳播[7-10]，其中文獻[7，8]觀測到超光速的群速，[9，10]觀測到負的群速；利用波導系統(tǒng)實現(xiàn)類Fabry-Perot干涉儀達到電磁波的反常色散傳播并觀測負群速等[11]。

本文通過使用不同阻抗的同軸線周期相連形成模擬光子同軸晶體的同軸系統(tǒng)，由于阻抗不匹配，在某些頻率形成阻帶，在這些區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)反常色散的現(xiàn)象，通過計算得出反常色散區(qū)域處的超光速群速。然后假設其具有負折射率，計算電磁波的反常色散傳播，獲得了電磁波的負群速傳播。

2 理論分析

使用圖1所示不同阻抗的同軸電纜周期相連，得到模擬CPC的結(jié)構(gòu)，來實現(xiàn)電磁波的反常色散性傳播。為了計算色散需要確定折射率實部nr與相移φ的關(guān)系。由于在CPC中，不同阻抗的同軸電纜周期相連，在交界處不連續(xù)，存在入射波和反射波，因此電磁波的相位和振幅都發(fā)生變化。當電磁波通過總長度為L的CPC傳播時相移可表示為：

(1)

其中k媒質(zhì)中的波數(shù)，k0真空中的波數(shù)，c真空中的光速，因此CPC的折射率為：

(2)

為了計算相移需要計算CPC的反射系數(shù)R和傳輸系數(shù)T。

圖1 同軸晶體結(jié)構(gòu)。有兩種不同阻抗的同軸電纜交替周期相連組成，共2m+1節(jié)。其中一種同軸電纜的阻抗為z1，長度為l1，波數(shù)為k1；另一種同軸電纜的阻抗為z2，長度為l2，波數(shù)為k2。

首先計算第2n節(jié)處的反射和透射系數(shù)。根據(jù)同軸線的電壓電流公式以及連續(xù)的邊界條件，可得：

a2nexp(-jφ2n)+Rznaznexp(jφ2n)

=T2na2nexp(-jφ2n)+R2n+1T2na2nexp(jφ2n)

(3)

(4)

整理后得第2n節(jié)的反射系數(shù)R2n和透射系數(shù)T2n分別為：

(5)

(6)

同理，可得第2n-1節(jié)的反射系數(shù)和透射系數(shù)

(7)

(8)

其中φ2n-1=n(l1k1+l2k2)。

令初始相移為零，得第2n-1節(jié)相移φ2n-1和第2n節(jié)的相移φ2n分別為：

(9)

(10)

通過迭代法可得總相移，最后算出有效折射率nr，再利用色散媒質(zhì)中的群速公式進行計算

(11)

從而根據(jù)公式可得負群速傳播的條件為：

(12)

3 CPC色散曲線和群速計算

首先，令圖1所示的同軸晶體系統(tǒng)中z1=50，z2=75，l1=5m，lz=5m，m=7，電磁波在兩種同軸線中的傳播速度為0.66c，利用上述方法進行電腦計算，得到該系統(tǒng)的色散曲線和群速，見圖2、圖3，

圖2 CPC的色散曲線

圖3 CPC中電磁波的群速曲線

可見該CPC在8～12MHz出現(xiàn)反常色散，而在9～11MHz群速大于光速，最大群速可達 1.66c。

圖4 不同參數(shù)對色散的影響

圖5 不同參數(shù)對群速的影響

此后，我們對不同參數(shù)的CPC進行電腦計算，得到圖4、圖5?？梢钥闯觯淖兿到y(tǒng)參數(shù)會對色散曲線和群速都產(chǎn)生影響，當阻抗z2增大時反常色散區(qū)變寬，程度加深，群速變大(vg=2.66c)。當節(jié)數(shù)m增加時反常色散區(qū)基本不變，程度加深，群速變大，此時獲得最大群速vg=3.25c，并且群速超光速的頻帶變寬。當增大每節(jié)長度l1或l2時，反常色散區(qū)改變，在兩個區(qū)發(fā)生反常色散，但程度基本不變，群速大小的與圖3相同(vg=1.66c)，只是出現(xiàn)兩個超光速頻帶。通過公式(11)我們可以看出減小有效折射率nr并且大大的加深反常色散的程度可能會使群速變?yōu)樨?。根?jù)上述研究，我們增大阻抗z2增加節(jié)數(shù)m，來加深反常色散，并使電磁波在同軸線中傳播的速度達到c，即使如此群速也難變?yōu)樨撝怠?/p>

4 獲得負群速的一種方法

根據(jù)公式(11)若有效折射率nr為負，那么在該系統(tǒng)中群速就更容易變?yōu)樨摗＜僭O電磁波在兩種同軸線中的相速變?yōu)?0.66c，即折射率為nr=-1.5，其他參數(shù)不變，進行電腦計算結(jié)果見圖6、圖7，

圖6 折射率為-1.5的CPC的色散曲線

圖7 折射率為-1.5的CPC中電磁波的群速曲線

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