劉 濤

(中國(guó)石油大學(xué)(北京) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，北京 102249)

0 引言

均勻傳輸線的常見類型主要有平行雙線、平行雙板、同軸線以及微帶線等，它是一種輸送能量和傳遞信號(hào)的裝置，由于其應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛而成為經(jīng)久不衰的研究對(duì)象。因?yàn)橹挥写_定傳輸線分布參數(shù)之后，才能建立傳輸線等效電路模型，進(jìn)而才能研究線路參數(shù)分布性質(zhì)和具體應(yīng)用，所以在長(zhǎng)線條件下不同類型傳輸線分布參數(shù)分析和計(jì)算方法始終是重要的研究?jī)?nèi)容之一。

一般情況下，均勻傳輸線單位長(zhǎng)度上有4個(gè)分布參數(shù)，即分布電阻、分布電感、分布電導(dǎo)以及分布電容。它們的計(jì)算方法和數(shù)值大小與傳輸線的種類、形狀、尺寸、導(dǎo)體材料性質(zhì)以及周圍媒質(zhì)特性有關(guān)，正是因?yàn)檫@些復(fù)雜影響因素，致使精準(zhǔn)地建立特定類型傳輸線的分布參數(shù)理論模型存在數(shù)學(xué)分析困難，因此時(shí)至今日仍然只有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的理想同軸線、平行雙線、平行雙板類傳輸線建立了分布參數(shù)理論公式，有些類型的傳輸線(例如微帶線)只是針對(duì)特定工況建立了經(jīng)驗(yàn)公式，這種理論現(xiàn)狀在某種程度上制約了新型傳輸線的研發(fā)和應(yīng)用。(1)參見Pozar,D.M., Microwave Engineering,Third Edittion, John Wiley&Sons Inc, 2005.

近些年來，在石油開發(fā)領(lǐng)域，人們發(fā)明了利用井中套管(外導(dǎo)體)/油管或鉆桿(內(nèi)導(dǎo)體)構(gòu)建長(zhǎng)距離傳輸微波能的同軸線傳輸技術(shù)，依此傳遞井底信息或加熱油層采油。在重力作用下，近千米長(zhǎng)的內(nèi)導(dǎo)體(即油管或鉆桿)的軸線很難與外導(dǎo)體的軸線重合，這種油井同軸線在使用中出現(xiàn)內(nèi)導(dǎo)體軸線偏心在所難免，這個(gè)生產(chǎn)實(shí)際使得內(nèi)導(dǎo)體軸線存在偏心的復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)同軸線分布參數(shù)計(jì)算問題擺在了人們面前，并且亟待解決，因此本文建立內(nèi)導(dǎo)體偏心的準(zhǔn)同軸線分布參數(shù)數(shù)學(xué)模型，提出新的分布參數(shù)計(jì)算方法，不僅對(duì)豐富電磁波傳輸理論有益，而且對(duì)拓展傳輸線在地下石油開采工程中的有效應(yīng)用具有實(shí)用價(jià)值。(2)參見王正旭：《井下射頻加熱技術(shù)基礎(chǔ)研究》，碩士學(xué)位論文，中國(guó)石油大學(xué)(北京)，2020年，第5頁。

1 準(zhǔn)同軸線截面幾何關(guān)系及其場(chǎng)方程

本文在研究?jī)?nèi)導(dǎo)體軸線偏心的準(zhǔn)同軸線分布參數(shù)計(jì)算方法時(shí)，沒有采用人們常用的保角變換分析方法，而是基于珀扎爾(D.M.Pozar)提出的“場(chǎng)路結(jié)合”理論，在圓柱坐標(biāo)系下分析問題。選取圓柱坐標(biāo)系的軸與內(nèi)導(dǎo)體軸線重合且其正方向與電磁波傳輸方向一致；用表示外導(dǎo)體軸線相對(duì)于內(nèi)導(dǎo)體軸線的平移距離，稱之為偏心距；假設(shè)偏心距不大，即有e

圖1中r0是內(nèi)導(dǎo)體中心到外導(dǎo)體內(nèi)壁面的距離。根據(jù)斜三角形余弦定理，可得如下幾何關(guān)系式，

(1)

(2)

圖1 準(zhǔn)同軸線任一截面示意圖

當(dāng)偏心距e不太大時(shí)，在圓柱坐標(biāo)系下有

(3)

(4)

(5)

2 準(zhǔn)同軸線分布參數(shù)計(jì)算方法

2.1 準(zhǔn)同軸線單位長(zhǎng)度電感的計(jì)算

現(xiàn)取一段1m長(zhǎng)的準(zhǔn)同軸線，用S表示同軸線的橫截面積，設(shè)同軸線兩導(dǎo)體間電壓為Uae±jβz、電流為Iae±jβz，則可知在1m長(zhǎng)同軸線上的時(shí)間平均磁儲(chǔ)能為：

(6)

根據(jù)電路理論可得：

(7)

因此，可得單位長(zhǎng)度電感L(單位為亨/m)為：

(8)

進(jìn)而可得本文研究的準(zhǔn)同軸線單位長(zhǎng)度電感為：

因?yàn)椋?/p>

所以，可得

(9)

2.2 準(zhǔn)同軸線單位長(zhǎng)度電容計(jì)算

根據(jù)經(jīng)典理論知道，在1m長(zhǎng)同軸線上的時(shí)間平均電儲(chǔ)能為：

(10)

根據(jù)電路理論可得：

(11)

因此，可得單位長(zhǎng)度電容C(單位為法/m)為：

(12)

進(jìn)而可得本文研究的準(zhǔn)同軸線單位長(zhǎng)度電容為：

因?yàn)椋?/p>

(13)

根據(jù)傳輸線電感、電容的幾何因子之間互為倒數(shù)的關(guān)系，式(13)也可以用下式表達(dá)：

(14)

2.3 準(zhǔn)同軸線單位長(zhǎng)度串聯(lián)電阻計(jì)算

根據(jù)電磁場(chǎng)理論，金屬導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)產(chǎn)生的單位長(zhǎng)度功率耗散為：

(15)

在式(15)中，假設(shè)H是內(nèi)導(dǎo)體圍線c1、外導(dǎo)體圍線c2的切線分量，c1+c2表示在導(dǎo)體邊界上的積分路徑；RS表示導(dǎo)體的表面電阻，即有

(16)

式中的σ是導(dǎo)體的電導(dǎo)率，δ表示趨膚深度。

根據(jù)電路理論又可得：

(17)

因此，可得單位長(zhǎng)度串聯(lián)電阻(單位為歐/m)為：

(18)

進(jìn)而可得本文研究的準(zhǔn)同軸線單位長(zhǎng)度串聯(lián)電阻為：

因?yàn)椋?/p>

所以，可得

(19)

2.4 準(zhǔn)同軸線單位長(zhǎng)度并聯(lián)電導(dǎo)計(jì)算

根據(jù)電磁場(chǎng)理論知道，在有耗介質(zhì)中，單位長(zhǎng)度同軸線中的時(shí)間平均功率損耗為：

(20)

在式(20)中，ω表示角頻率；ε″表示填充介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)的虛部，即有

ε=ε′-jε″=ε′(1-jtanδeff)

(21)

式中的tanδeff=ε′/ε″是損耗角正切。

根據(jù)電路理論可得：

(22)

因此，可得同軸線單位長(zhǎng)度的并聯(lián)電導(dǎo)(單位為西門子/m)為：

(23)

進(jìn)而可得本文研究的準(zhǔn)同軸線單位長(zhǎng)度并聯(lián)電導(dǎo)為：

即有，

(24)

3 應(yīng)用分布參數(shù)計(jì)算準(zhǔn)同軸線特性阻抗

根據(jù)特性阻抗Z0的定義式：

(25)

再應(yīng)用本文建立的分布參數(shù)R、L、C、G公式計(jì)算，便可求得內(nèi)導(dǎo)體存在偏心距的準(zhǔn)同軸線特性阻抗Z0。

現(xiàn)在假設(shè)準(zhǔn)同軸線的損耗很小，即滿足R?ωL、G?ωC時(shí)，可得

(26)

將前面的式(9)、式(13)或式(14)聯(lián)立，可容易地得到本文研究的內(nèi)導(dǎo)體存在偏心距的準(zhǔn)同軸線特性阻抗Z0為：

(27)

式(27)中，εr表示同軸線導(dǎo)體間填充介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，其它符號(hào)意義同前。

4 理論公式的驗(yàn)證與分析

4.1 本文解析解與理想同軸線公式的對(duì)比驗(yàn)證

表1列出了同軸線經(jīng)典解析公式與本文建立的存在小偏心距的準(zhǔn)同軸線解析解對(duì)比，從表中結(jié)果可見，當(dāng)同軸線的偏心距e=0時(shí)，本文諸式都能夠恢復(fù)到同軸線的經(jīng)典公式，這證明本文解析解在理想條件下是正確的。(5)參見Pozar,D.M., Microwave Engineering,Third Edittion, John Wiley&Sons Inc, 2005.

表1 本文的準(zhǔn)同軸線解析解與經(jīng)典公式(1)的對(duì)比

4.2 本文解析解與前人理論的對(duì)比驗(yàn)證

中國(guó)學(xué)者甘本袚、陳梅泉基于保角變換和系列簡(jiǎn)化方法曾經(jīng)建立了內(nèi)導(dǎo)體偏心的同軸線特性阻抗計(jì)算公式，并且陳梅泉在其文章中還給出了驗(yàn)證算例。(6)參見甘本袚：《微波傳輸線設(shè)計(jì)手冊(cè)》，北京：人民郵電出版社，1981年，第334—347頁。現(xiàn)在，應(yīng)用陳梅泉等人的資料驗(yàn)證根據(jù)本文分布參數(shù)建立的特性阻抗理論公式。

陳梅泉給出的特性阻抗公式：

(28)

甘本袚給出的特性阻抗公式：

(29)

應(yīng)用本文分布參數(shù)建立的特性阻抗公式，即式(27)：

現(xiàn)將陳梅泉等人的驗(yàn)證算例數(shù)據(jù)代入上述三個(gè)公式中，可得計(jì)算結(jié)果如表2所示：

表2 應(yīng)用前人資料對(duì)本文理論的驗(yàn)證結(jié)果

從表2所示驗(yàn)證結(jié)果可以看出，應(yīng)用本文分布參數(shù)公式建立的特性阻抗解析解與前人給出的理論公式結(jié)果吻合良好，結(jié)果證明本文建立的分布參數(shù)公式是正確的，本文的分布參數(shù)解析解物理概念清晰、表達(dá)式簡(jiǎn)潔，計(jì)算結(jié)果的精確性與前人公式基本相同。

5 結(jié)論

應(yīng)用“場(chǎng)路結(jié)合”方法，研究了內(nèi)導(dǎo)體存在偏心的準(zhǔn)同軸線中電磁波傳輸問題，建立了內(nèi)導(dǎo)體存在偏心的準(zhǔn)同軸線分布電感、分布電容、分布電阻、分布電導(dǎo)計(jì)算公式，彌補(bǔ)了這方面的理論不足。本文通過兩種方式驗(yàn)證了本文理論的正確性和較好的精確性。①當(dāng)同軸線內(nèi)導(dǎo)體的偏心距時(shí)，本文諸式都能夠回復(fù)到理想同軸線的經(jīng)典公式，證明本文理論在理想條件下是正確的。②應(yīng)用前人公開發(fā)表的文獻(xiàn)資料，對(duì)應(yīng)用本文分布參數(shù)建立的準(zhǔn)同軸線特性阻抗解析解與前人提出的兩個(gè)特性阻抗公式進(jìn)行了計(jì)算對(duì)比驗(yàn)證，得到了本文解析解與前人公式結(jié)果非常吻合的結(jié)論。

本文提出的分布參數(shù)計(jì)算方法物理概念清晰、表達(dá)式簡(jiǎn)潔，計(jì)算結(jié)果的精確性較高。研究結(jié)果不僅進(jìn)一步豐富了傳輸線分布參數(shù)理論，而且為微波加熱開采石油工程優(yōu)化設(shè)計(jì)、合理構(gòu)建地下井筒同軸線提供了理論分析和計(jì)算方法。