實(shí)數(shù)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

史立霞 秦振

實(shí)數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，同學(xué)們?nèi)裟苷莆詹?yīng)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)數(shù)題，將有利于提高解題能力.下面結(jié)合例題介紹解實(shí)數(shù)題時(shí)常用的數(shù)學(xué)思想，供大家參考.

一、整體思想

整體思想體現(xiàn)在解實(shí)數(shù)問題時(shí)，是不著眼于實(shí)數(shù)的“某一項(xiàng)”，而是將某一問題看作一個(gè)整體，通過研究問題的整體形式、整體性質(zhì)，順利解決問題的思想方法.

例1 已知四個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足===，則 a、b、c、d的大小關(guān)系是（ ）.

A.a>c>b>d B.b>d>a>c

C.c>a>b>d D.d>b>a>c

分析：由題意可得a-2010=b+2011=c-2012=d+2013，然后作差求解.

解：由題意得a-2010=b+2011=c-2012=d+2013，由a-2010=b+2011，得a- b=2011+2010>0，所以a>b. 由a-2010=c-2012，得a-c=2010-2012<0，所以a0，所以b>d. 所以a、b、c、d的大小關(guān)系是 c>a>b>d.故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題采用整體思想免去了一些解題過程，使解題思路清晰、解題過程簡捷.

二、方程思想

有些實(shí)數(shù)問題可以根據(jù)條件中的等量關(guān)系，列出方程（組）求解.

例2 已知a、b滿足+=0，求2a（÷）的值.

分析：由算術(shù)平方根的意義可得4a-b+ 1=0，b-4a-3=0，解方程組得a、b的值，然后代入求值即可.

解：因?yàn)椤?，≥0，且+=0，所以4a-b+ 1=0，b-4a-3=0，解方程組，得a=-1，b=-3，所以 2a（÷）=2×（-1）×（÷）=-2×（÷）=-2×3=-6.

點(diǎn)評(píng)：方程思想是解決各種數(shù)學(xué)問題常用的基本思想方法之一.

三、數(shù)形結(jié)合思想

根據(jù)已知條件的特點(diǎn)或圖形特征，利用圖形的直觀性求解問題.

例3 實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如下圖所示，化簡+c-1+a+b- .

分析：由圖可知ba，利用此關(guān)系化簡即可.

解：由題意可得ba.

因?yàn)閍>c，所以a-c>0.

因?yàn)閏<0，所以c-1<0.

因?yàn)閎<0，a>0，且b>a，所以a+b<0.

因?yàn)閎<0，c<0，所以b+c<0.

所以 +c-1+a+b- =a-c+c-1+a+b-b+c=（a-c）-（c-1）-（ a+b）+（ b+c）=1-c.

點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)，若借助數(shù)形結(jié)合思想讓問題直觀化、形象化，則有利于解決問題.

四、分類討論思想

根據(jù)代數(shù)式的某些字母的特點(diǎn)，確定劃分標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別進(jìn)行求解，最后給出答案.

例4 已知a是實(shí)數(shù)，試比較1+a與1-a的大小.

分析：因?yàn)椋?+a）-（1-a）=2a，故要分a<0，a=0和a>0三種情況討論.

解：因?yàn)椋?+a）-（1-a）=2a，所以當(dāng)a<0時(shí)，2a<0，則1+a<1-a；

當(dāng)a=0時(shí)，2a=0，則1+a=1-a；

當(dāng)a>0時(shí)，2a>0，則1+a>1-a.

點(diǎn)評(píng)：解含有字母的問題時(shí)，若字母的取值情況沒有說明，則必須對(duì)字母的不同取值情況進(jìn)行討論求解.

五、觀察歸納思想

在解題過程中，根據(jù)題目的特點(diǎn)，通過分析、猜想、歸納，從而得到問題的答案.

例5 觀察下列各式：=2， =3， =4，…，請將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n（n>1）的等式表示出來 .

分析：觀察每個(gè)等式與n的關(guān)系，把根式適當(dāng)變形，分析、猜想、歸納關(guān)系.

解：=2，

=3，

=4，…，

所以上述規(guī)律用含自然數(shù)n（n>1）的等式表示出來為 =n.

點(diǎn)評(píng)：在解題過程中，猜想、歸納之前，一般可適當(dāng)多給出一些“數(shù)值”，便于猜想、歸納，減小猜想的難度.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，因此，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)同學(xué)們的數(shù)學(xué)能力很有幫助.