張?chǎng)蚊?，葉 鋒，楊 波，門愛(ài)東

(1. 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，北京 100876；2. 中國(guó)艦船研究院新技術(shù)研究室，北京 100192；3. 福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福州 350001)

Sigma-Point卡爾曼濾波用于OFDM載波頻偏估計(jì)

張?chǎng)蚊?,2，葉 鋒1,3，楊 波1，門愛(ài)東1

(1. 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，北京 100876；2. 中國(guó)艦船研究院新技術(shù)研究室，北京 100192；3. 福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福州 350001)

對(duì)于非線性的動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間模型，擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)通過(guò)泰勒展開(kāi)擬合系統(tǒng)的狀態(tài)和觀測(cè)方程，以獲得對(duì)狀態(tài)值的估計(jì)，但其存在估值波動(dòng)大、收斂慢等缺點(diǎn)；而基于Sigma-point點(diǎn)的卡爾曼濾波方法，則是通過(guò)確定性采樣實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)特性上的近似，從而獲得更為準(zhǔn)確的高階統(tǒng)計(jì)特性．為此，建立了正交頻分復(fù)用(OFDM)載波頻偏的動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間模型，并將Sigma-point卡爾曼濾波用于其頻偏估計(jì)．仿真結(jié)果表明，該類方法可以捕捉更為準(zhǔn)確的高階特性，其估值準(zhǔn)確、收斂速度快、波動(dòng)小、對(duì)觀測(cè)噪聲大小不敏感．

Sigma-point卡爾曼濾波；動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間；正交頻分復(fù)用；載波頻偏

基于近似一個(gè)高斯分布比近似一個(gè)任意的非線性函數(shù)容易的觀點(diǎn)，Julier等[1]提出了無(wú)跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter，UKF)，Ito等[2]提出了中心差分卡爾曼濾波(central difference Kalman filter，CDKF)，這些算法通過(guò)一組確定性采樣點(diǎn)(Sigma points)來(lái)捕獲系統(tǒng)的相關(guān)統(tǒng)計(jì)參量，將非線性映射直接作用于各Sigma 點(diǎn)，根據(jù)映射后的點(diǎn)集重建統(tǒng)計(jì)參量，然后根據(jù)新的統(tǒng)計(jì)參量重新選擇Sigma 點(diǎn)集并重復(fù)上述過(guò)程．這種方法可以在不必對(duì)非線性映射近似的情況下，使一個(gè)隨機(jī)變量的分布按非線性映射遞推傳播．

這類基于Sigma采樣點(diǎn)的的濾波方法在工業(yè)控制、航空航天、導(dǎo)航、跟蹤等領(lǐng)域獲得了廣泛的關(guān)注與應(yīng)用．文獻(xiàn)[3]利用UKF算法設(shè)計(jì)了觀測(cè)器，以估計(jì)無(wú)刷直流電機(jī)的轉(zhuǎn)子位置和角速度．文獻(xiàn)[4]采用改進(jìn)的UKF方法進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，并直接計(jì)算北斗組合系統(tǒng)導(dǎo)航參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)．Sigma點(diǎn)卡爾曼濾波也被用于基于Wi-Fi信號(hào)的室內(nèi)定位與跟蹤[5]．

在正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency-division multiplexing，OFDM)系統(tǒng)中，其載波頻偏問(wèn)題是一個(gè)非線性估計(jì)問(wèn)題，可將其描述為動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間模型(dynamic state-space mode，DSSM)進(jìn)行分析[6]．筆者引入并分析了Sigma-point卡爾曼濾波器性能[7]，并將其用于OFDM的載波頻偏估計(jì)．

1 OFDM載波頻偏的DSSM模型

1.1 DSSM模型描述及其求解

不考慮外部輸入控制時(shí)，DSSM模型可表示為

式中：Xk為k時(shí)刻的狀態(tài)變量；Yk為其可觀測(cè)量；f為狀態(tài)函數(shù)；h為觀測(cè)函數(shù)；w、v分別為過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲．理論上，迭代Bayesian估計(jì)方法可以獲得該模型的完備解，但由于高維積分通常不易求解，Bayesian估計(jì)只對(duì)某些特定的動(dòng)態(tài)狀態(tài)空間模型具有解析解，大多數(shù)情況下只能尋求次優(yōu)估計(jì)．特別是在高斯近似的條件下(噪聲等隨機(jī)變量服從高斯分布)，當(dāng)f、h為線性函數(shù)時(shí)，Bayesian遞推對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解析解即為Kalman濾波法．而對(duì)于f、h為非線性的情況，常用的一種方法是擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)，EKF通過(guò)泰勒展開(kāi)，對(duì)f、h分別進(jìn)行線性逼近，使得Kalman濾波得以應(yīng)用到非線性問(wèn)題中．但當(dāng)非線性效應(yīng)明顯時(shí)，截?cái)嘁馕吨鴣G失了高階項(xiàng)的非線性特性，同時(shí)EKF需要計(jì)算Jacbean矩陣，導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大．

與對(duì)函數(shù)本身的擬合不同，另一種思路是對(duì)系統(tǒng)的概率密度分布進(jìn)行擬合．采樣狀態(tài)的先驗(yàn)分布，并對(duì)采樣點(diǎn)加以加權(quán)、篩選等再處理，最終得到近似分布，從而獲得狀態(tài)估值．根據(jù)采樣方式的不同，可分為確定性采樣濾波與隨機(jī)性采樣濾波，前者即為Sigma-point卡爾曼濾波而后者指粒子濾波．Sigmapoint法與粒子濾波不同之處在于，其只需少量的樣點(diǎn)即可獲取系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)特性，且算法性能及復(fù)雜度都適中，而粒子濾波則需要大量的采樣點(diǎn)(即粒子)．本文主要研究Sigma-point卡爾曼濾波法．

1.2 OFDM載波頻偏的DSSM描述

OFDM的載波頻偏問(wèn)題如圖1及式(3)所示，不考慮信道影響時(shí)，接收信號(hào)y(n)中既有噪聲項(xiàng)又有頻偏導(dǎo)致的相位差[8]，即

通常在一個(gè)OFDM符號(hào)內(nèi)，信道是時(shí)不變或準(zhǔn)靜態(tài)的，此時(shí)的頻偏因子可以視為常值，即在一個(gè)OFDM符號(hào)內(nèi)有ε(n)= ε(n-1)．此式與式(3)可分別視為狀態(tài)方程與觀測(cè)方程，則可得OFDM載波頻偏問(wèn)題的DSSM模型[9]為

對(duì)于該模型，可以運(yùn)用Sigma-point卡爾曼濾波法進(jìn)行載波頻偏的估計(jì)，以獲得更高的估計(jì)精度和更優(yōu)的收斂性．

圖1 OFDM頻偏模型Fig.1 Carrier frequency offset of OFDM

2 Sigma-point卡爾曼濾波

Sigma-point卡爾曼濾波基于確定性采樣，從待估變量的先驗(yàn)分布上采樣n個(gè)點(diǎn)，對(duì)每一個(gè)點(diǎn)作相應(yīng)的函數(shù)變換，再計(jì)算得到變換后的n個(gè)對(duì)應(yīng)值的后驗(yàn)統(tǒng)計(jì)特征，如均值和方差等，進(jìn)而延用卡爾曼濾波的框架結(jié)構(gòu)．相較于函數(shù)擬合的方法，該方法對(duì)非線性狀態(tài)和過(guò)程方程的描述更為準(zhǔn)確．其主要包括UKF與CDKF以及為減少計(jì)算開(kāi)銷和提高穩(wěn)定性而導(dǎo)出的平方根形式．

2.1 UKF

UKF通過(guò)無(wú)跡變換(unscented transformation，UT)變換實(shí)現(xiàn)概率分布上對(duì)非線性函數(shù)的近似．UT變換的采樣Sigma點(diǎn)與原隨機(jī)變量樣點(diǎn)有相同的一、二階統(tǒng)計(jì)特性，而其經(jīng)過(guò)非線性函數(shù)傳遞后對(duì)應(yīng)的樣點(diǎn)，其統(tǒng)計(jì)特性可以準(zhǔn)確到三階[10]．經(jīng)過(guò)UT變換得到一、二階統(tǒng)計(jì)特性之后，再結(jié)合卡爾曼濾波框架就得到了UKF的完整過(guò)程．

不同的采樣策略對(duì)應(yīng)不同的UT變換方法，有對(duì)稱采樣、單形采樣等，最為常見(jiàn)的是采用尺度可變對(duì)稱采樣策略的標(biāo)準(zhǔn)UKF算法，其流程[11]如下所述.

1) 初始化及構(gòu)造Sigma點(diǎn)集

2) 狀態(tài)更新

3) 觀測(cè)更新

UKF濾波器的權(quán)重因子及相關(guān)參數(shù)為

式中：γ、λ均為尺度參數(shù)；常量a描述了采樣點(diǎn)的分布范圍，通常取10-4＜a＜1；κ為二階尺度參數(shù)；β用于體現(xiàn)變量先驗(yàn)分布信息，高斯分布下一般取β=2．

2.2 中心差分卡爾曼濾波

基于Stirling內(nèi)插公式，利用中心差分代替EKF中泰勒展開(kāi)的一、二階級(jí)數(shù)，可以得到中心差分卡爾曼濾波 CDKF方法．

Stirling公式為

替代EKF的泰勒級(jí)數(shù)為

由式(12)可以看出，選取的樣點(diǎn)x經(jīng)過(guò)非線性函數(shù)變換后，對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)隨機(jī)變量的一階矩可以由x及分別經(jīng)非線性變換后的值及對(duì)應(yīng)的權(quán)重確定．實(shí)際上，其二階矩方差及互方差[8]也是由這些采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)表示的，即

從導(dǎo)出的結(jié)果看，雖然Stirling公式與泰勒展開(kāi)看上去相似，但CDKF濾波最終結(jié)果卻與UKF相似，體現(xiàn)為基于確定性采樣的估計(jì)．

CDKF濾波器的權(quán)重因子及相關(guān)參數(shù)為

其中：i=1,2,…,2L；h因子描述了樣點(diǎn)的分布范圍，即

在高斯分布下，通常取23h=．

2.3 平方根形式Sigma-point卡爾曼濾波

在Sigma-point卡爾曼濾波中，為了構(gòu)成Sigma點(diǎn)集，每次更新都要計(jì)算協(xié)方差矩陣的平方根，導(dǎo)致較大的計(jì)算開(kāi)銷．平方根形式的Sigma-point卡爾曼濾波利用矩陣QR分解、Cholesky分解因數(shù)更新以及高效最小二乘等強(qiáng)有力的線性代數(shù)技術(shù)，以Cholesky分解因數(shù)的形式直接傳播和更新?tīng)顟B(tài)協(xié)方差矩陣的平方根，從而可以提高計(jì)算效率，增強(qiáng)數(shù)值穩(wěn)定性[12].下面以UKF為例予以說(shuō)明．

1)平方根形式算法流程

2)狀態(tài)更新

3)觀測(cè)更新

3 仿真分析

為驗(yàn)證Sigma-point卡爾曼濾波算法的性能，將其應(yīng)用于OFDM頻偏估計(jì)中．仿真條件為64子載波的OFDM系統(tǒng)，QPSK調(diào)制，待估計(jì)的歸一化頻偏因子為0.3，訓(xùn)練序列長(zhǎng)度為64個(gè)星座映射符號(hào)．假設(shè)同步理想，已知信道沖擊響應(yīng)特性，噪聲為AWGN高斯白噪．頻偏因子初值設(shè)為0.01，對(duì)于UKF，濾波器參數(shù)設(shè)為κ=0,a=1,β=2；對(duì)于CDKF，參數(shù)設(shè)為h2=3．

基于Sigma-point卡爾曼濾波進(jìn)行頻偏估計(jì)所得的線性及Log BER曲線如圖2所示．與自消除算法SC及最小方差迭代估計(jì)RLS算法相比，EKF、UKF與CDKF都獲得了較為明顯的BER改善．其中EKF在低信噪比條件下性能一般，而UKF與CDKF更好．濾波方法相比于RLS算法性能有較大優(yōu)勢(shì)是由于濾波算法以最小均方差為代價(jià)函數(shù)，充分利用了噪聲統(tǒng)計(jì)特性，而RLS算法并沒(méi)有利用噪聲特性．

圖3和圖4分別為信噪比SNR為0、15,dB時(shí)頻偏的估值曲線．可以看出UKF與CDKF算法迭代收斂過(guò)程比較穩(wěn)定，估值也準(zhǔn)確．EKF性能最差，收斂慢、波動(dòng)大，特別是在低信噪比的情況下，估值偏差較大．

定義待估計(jì)變量的均方誤差MSE為

式中：ix為各次迭代的估值；?x為真值．在信噪比分別為0,dB、5,dB、10,dB及15,dB時(shí)的均方誤差值如表1所示．從表1也可以看出在估計(jì)偏差的性能上Sigma-point卡爾曼濾波優(yōu)于EKF，其中UKF也是略優(yōu)于CDKF．

圖2 不同信噪比的誤碼率曲線Fig.2 Error bit rate versus SNR

圖3 SNR=0,dB，ε=0.3時(shí)迭代估值Fig.3 Valuation curve when SNR=0,dB，ε=0.3

圖4 SNR=15,dB，ε=0.3時(shí)迭代估值Fig.4 Valuation curve when SNR=15,dB，ε=0.3

理論上，Sigma-point卡爾曼濾波可以提升估值精度及性能，其平方根形式可以減少一定的計(jì)算量，但離實(shí)際應(yīng)用還需一定的改進(jìn)，可行的一種方法是考慮并行性實(shí)現(xiàn)．基于心動(dòng)陣列的卡爾曼濾波已早有研究，但由于Sigma-point卡爾曼濾波處理非線性模型時(shí)所涉及運(yùn)算更為復(fù)雜，相關(guān)的并行化研究很少．考慮到在UKF算法流程中，UT變換部分與濾波更新部分可以被視為并行的兩部分結(jié)構(gòu)；另一方面，通過(guò)矩陣分解，采樣點(diǎn)集也可以分為并行的子點(diǎn)集進(jìn)行并行處理．從而UKF等Sigma-point卡爾曼濾波的并行實(shí)現(xiàn)是可能的．

表1 估計(jì)的均方誤差Tab.1 Estimated mean square error

4 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于OFDM的載波頻偏估計(jì)，EKF 存在精度低、低信噪比時(shí)誤差大等問(wèn)題．相比EKF，Sigmapoint卡爾曼濾波估計(jì)精度高，收斂更快，估值更穩(wěn)定，與信噪比關(guān)系不大，是性能較優(yōu)的一種方法．并且其相對(duì)于粒子濾波而言，不需大量的隨機(jī)樣點(diǎn)，計(jì)算過(guò)程也相對(duì)簡(jiǎn)單．本文將Sigma-point卡爾曼濾波應(yīng)用于OFDM頻偏估計(jì)，獲得了一定的性能改進(jìn)．但對(duì)于Sigma-point卡爾曼濾波，由于其估計(jì)過(guò)程中需要不斷更新方差等矩陣，因而實(shí)時(shí)性略差，不適于工程應(yīng)用．對(duì)其及平方根形式算法的進(jìn)一步優(yōu)化，以及基于并行處理的應(yīng)用是下一步的研究方向．

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Application of Sigma-Point Kalman Filter to Carrier Frequency Offset Estimation of OFDM Systems

Zhang Xinming1,2，Ye Feng1,3，Yang Bo1，Men Aidong1
(1. School of Information and Communication Engineering，Beijing University of Posts and Telecommunications，Beijing 100876，China；2. New Technology Research Department，China Ship Research and Development Academy，Beijing 100192，China；3. School of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)ujian Normal University，F(xiàn)uzhou 350001，China)

For the non-linear dynamic state-space model, extended Kalman filter (EKF) fits the system state and observation equations to obtain the estimation of state, but it has deficiencies like apparent fluctuation and slow convergence. While the Sigma-point Kalman filters obtain the statistical characteristics based on deterministic samples, and accordingly better approximation can be achieved. In this paper, the orthogonal frequency-division multiplexing(OFDM) carrier frequency offset is described as non-linear dynamic state-space model（DSSM）, and the Sigmapoint Kalman filter is applied to the estimation of the offset value. Simulation results show that the proposed filter perform better at capturing high order moments than EKF, with higher accuracy, faster convergence, smaller fluctuations and lower noise sensitivity.

Sigma-point Kalman filter；dynamic state-space model；orthogonal frequency-division multiplexing；carrier frequency offset

TN911.22

A

0493-2137(2013)05-0458-05

DOI 10.11784/tdxb20130513

2011-10-08；

2012-03-22.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61072080)．

張?chǎng)蚊鳎?986— ），男，博士，工程師，bupt.zhangxinming@gmail.com.

門愛(ài)東，menad@bupt.edu.cn.