李中清通過(guò)平方根的學(xué)習(xí)，我們知道，如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根，也稱(chēng)為二次方根。正數(shù)a的正的平方根記為[a]，負(fù)的平方根記為-[a]；0的平方根為0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。其中，正數(shù)a的正的平方根[a]也稱(chēng)為a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根為0。下面，我們通過(guò)幾道例題加深對(duì)平方根與算術(shù)平方根的理解。例1 已知一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是x+3和2x-15，求x和a的值。【分析】根據(jù)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)列方程求解即可。解：由題意得x+3=-（2x-

文／李中清通過(guò)平方根的學(xué)習(xí)，我們知道，如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根，也稱(chēng)為二次方根。正數(shù)a的正的平方根記為，負(fù)的平方根記為；0 的平方根為0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。其中，正數(shù)a的正的平方根也稱(chēng)為a的算術(shù)平方根，0 的算術(shù)平方根為0。下面，我們通過(guò)幾道例題加深對(duì)平方根與算術(shù)平方根的理解。例1已知一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根分別是x+3和2x-15，求x和a的值。【分析】根據(jù)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)列方程求解即可。解：由題意得x+3=-（2x-15），解得x

記號(hào)“┌”表示平方根；古印度人在開(kāi)平方時(shí)，會(huì)在被開(kāi)方數(shù)的前面寫(xiě)上ka；公元2 世紀(jì)的羅馬人則用拉丁詞語(yǔ)latus（正方形的邊）表示平方根，這個(gè)詞的首字母l后來(lái)成為歐洲表示平方根的符號(hào)。在16 世紀(jì)，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個(gè)字母的大寫(xiě)R來(lái)表示開(kāi)方運(yùn)算，并且后面跟著拉丁文“平方”的第一個(gè)字母q，或拉丁文“立方”的第一個(gè)字母c，來(lái)表示開(kāi)的是多少次方。例如，現(xiàn)在的，當(dāng)時(shí)就寫(xiě)成R.q.4352。

文李曉晴平方根和算術(shù)平方根是“實(shí)數(shù)”這一章中重要的兩個(gè)概念，它們概念相近，很容易混淆。特別是在遇到平方根和算術(shù)平方根的符號(hào)表達(dá)時(shí)，同學(xué)們會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。下面，我們就來(lái)整理一下二者的區(qū)別與聯(lián)系，并通過(guò)對(duì)兩道中考題的解析，加深同學(xué)們對(duì)這兩個(gè)概念的理解。一、區(qū)別1.定義不同。平方根：如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根；算術(shù)平方根：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，我們把正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根。2.表示方法不同。正數(shù)a的平方根表示為；正數(shù)a的算術(shù)平方根表

此，我們引入了平方根來(lái)表示這些開(kāi)方開(kāi)不盡得到的數(shù)，進(jìn)而引入了無(wú)理數(shù).將數(shù)的范圍進(jìn)一步擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍.在這次數(shù)的擴(kuò)充中，只要我們弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈，掌握相關(guān)的概念算理，就能確保解題的正確率.一、平方根的來(lái)龍去脈如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根，正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作±√a.√-a表示正數(shù)a的算術(shù)平方根，規(guī)定0的平方根也叫0的算術(shù)平方根.從概念中我們得出如下結(jié)論：（1）我們引進(jìn)“√”，是為了方便表示這些開(kāi)方開(kāi)不盡得到的數(shù)，而這些開(kāi)方開(kāi)不盡得到的數(shù)

9，就是求9的平方根，這里平方和開(kāi)平方就是互逆運(yùn)算.9的平方根記作±√9，±√9=±3，因此9的平方根是+3.如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根，也稱(chēng)為二次方根，記作±√a，其中√a叫作a的算術(shù)平方根，”“我懂了，我懂了，我去應(yīng)戰(zhàn)啦！”（本故事純屬虛構(gòu)）參賽題目1.下列各數(shù)中，沒(méi)有平方根的數(shù)為（ ）.A.（-4）2 B.0C.-|-6|D.-（-9）2.下列說(shuō)法正確的是（ ）.A.81的平方根為9B.-9是81的平方根C.-81的平方根為-9D.

。下文筆者以“平方根”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，對(duì)概念課教學(xué)進(jìn)行闡述。一、教學(xué)設(shè)計(jì)1.學(xué)習(xí)目標(biāo)。知識(shí)與技能：（1）了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示正數(shù)的平方根；（2）了解開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根。過(guò)程與方法：（1）通過(guò)學(xué)習(xí)平方根，進(jìn)一步建立數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維；（2）通過(guò)對(duì)正數(shù)平方根特點(diǎn)的探究，了解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系，體驗(yàn)類(lèi)比、化歸等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，提高對(duì)問(wèn)題的遷移能力。2.教學(xué)流程。（1）問(wèn)題與情境。師：我們學(xué)過(guò)

。下文筆者以“平方根”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，對(duì)概念課教學(xué)進(jìn)行闡述。一、教學(xué)設(shè)計(jì)1.學(xué)習(xí)目標(biāo)。知識(shí)與技能：（1）了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示正數(shù)的平方根;（2）了解開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根。過(guò)程與方法：（l）通過(guò)學(xué)習(xí)平方根，進(jìn)一步建立數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維;（2）通過(guò)對(duì)正數(shù)平方根特點(diǎn)的探究，了解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系，體驗(yàn)類(lèi)比、化歸等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，提高對(duì)問(wèn)題的遷移能力。2.教學(xué)流程。（1）問(wèn)題與情境。師：我們學(xué)過(guò)

李曉晴平方根和算術(shù)平方根是“實(shí)數(shù)”這一章中重要的兩個(gè)概念，它們概念相近，很容易混淆。特別是在遇到平方根和算術(shù)平方根的符號(hào)表達(dá)時(shí)，同學(xué)們會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。下面，我們就來(lái)整理一下二者的區(qū)別與聯(lián)系，并通過(guò)對(duì)兩道中考題的解析，加深同學(xué)們對(duì)這兩個(gè)概念的理解。一、區(qū)別1.定義不同。平方根：如果x2=a（ a≥0），那么x叫作a的平方根;算術(shù)平方根：正數(shù)a有兩個(gè)平方根±√a，我們把正數(shù)a的正的平方根√a叫做a的算術(shù)平方根。2.表示方法不同。正數(shù)a的平方根表示為±√a;正數(shù)

、不能正確理解平方根和算術(shù)平方根的意義例1√81的算術(shù)平方根是（ ）。A.9B.+9C.3D.±3【錯(cuò)解】A、D。【錯(cuò)解分析】不少同學(xué)由于沒(méi)有正確理解算術(shù)平方根的意義而錯(cuò)選，當(dāng)然，也不排除審題不清的情況。我們來(lái)看一下，√81本身就表示81的算術(shù)平方根，因此√81=9。于是本題可轉(zhuǎn)化為求9的算術(shù)平方根。而算術(shù)平方根指的是平方根中非負(fù)的那一個(gè)。9的平方根是+3，所以9的算術(shù)平方根是3。因此，選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤。【正解】選C。例2 已知16（X+2）2-81=0

蔣小剛一、平方根和算術(shù)平方根1.[25]的算術(shù)平方根是? ? ? ? ? ? ，平方根是? ? ? ? ? ? 。錯(cuò)誤解答：[25]的算術(shù)平方根是5，平方根是±5。錯(cuò)因分析：本題錯(cuò)在審題不清，想當(dāng)然地把[25]的算術(shù)平方根和平方根誤認(rèn)為是求25的算術(shù)平方根和平方根。本題考查的是平方根和算術(shù)平方根的定義，做題時(shí)要認(rèn)真審題，要先求[25]的值。正確解答：[25]的算術(shù)平方根是[5]，平方根是[±5]。二、無(wú)理數(shù)2.下列命題中，正確的是（? ? ? ? ? ）。

[16]的算術(shù)平方根是（? ? ? ? ）。A.8B.4C.2D.-2錯(cuò)解：選A或選B。錯(cuò)因剖析：觀察不細(xì)致，乍一看，特簡(jiǎn)單，思維比手算還快，跳了步驟，易誤選B。因?yàn)閇a]≠a，所以應(yīng)是[16]的算術(shù)平方根，而非16的算術(shù)平方根。正解：選C。變式：[643]的算術(shù)平方根是（? ? ? ? ）。A.8B.4C.2D.1正確答案：C。三、帶分?jǐn)?shù)的計(jì)算出錯(cuò)例3 計(jì)算[1925]。錯(cuò)解：[1925]=1[35]。錯(cuò)因剖析：求帶分?jǐn)?shù)的平方根（算術(shù)平方根）時(shí)，應(yīng)和乘除

不清例2的算術(shù)平方根是（ ）。A.8 B.4 C.2 D.-2錯(cuò)解：選A或選B。錯(cuò)因剖析：觀察不細(xì)致，乍一看，特簡(jiǎn)單，思維比手算還快，跳了步驟，易誤選B。因?yàn)?，所以?yīng)是的算術(shù)平方根，而非16的算術(shù)平方根。正解：選C。變式：的算術(shù)平方根是（ ）。A.8 B.4 C.2 D.1正確答案：C。三、帶分?jǐn)?shù)的計(jì)算出錯(cuò)例3 計(jì)算錯(cuò)因剖析：求帶分?jǐn)?shù)的平方根（算術(shù)平方根）時(shí)，應(yīng)和乘除計(jì)算一樣，先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求其平方根或算術(shù)平方根。四、數(shù)形結(jié)合出錯(cuò)例4 如圖1，在

】1.了解算術(shù)平方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示正數(shù)的算術(shù)平方根,并了解算術(shù)平方根的非負(fù)性。2.會(huì)求一些數(shù)的算術(shù)平方根?！具^(guò)程與方法】通過(guò)生活中的實(shí)例，總結(jié)出算術(shù)平方根的概念；滲透轉(zhuǎn)化、建模、歸納、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想?！厩楦袘B(tài)度】學(xué)習(xí)算術(shù)平方根,建立初步的數(shù)感和符號(hào)感,發(fā)展抽象思維。通過(guò)對(duì)實(shí)際生活中問(wèn)題的解決,讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活實(shí)際是緊密聯(lián)系著的,通過(guò)探究活動(dòng)培養(yǎng)動(dòng)手能力和學(xué)習(xí)興趣。【教學(xué)重點(diǎn)】理解算術(shù)平方根的概念和求法?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】根據(jù)算術(shù)平方根的概念正確求出非負(fù)

文蔣小剛一、平方根和算術(shù)平方根1.25的算術(shù)平方根是______，平方根是______。錯(cuò)誤解答：的算術(shù)平方根是5，平方根是±5。錯(cuò)因分析：本題錯(cuò)在審題不清，想當(dāng)然地把的算術(shù)平方根和平方根誤認(rèn)為是求25的算術(shù)平方根和平方根。本題考查的是平方根和算術(shù)平方根的定義，做題時(shí)要認(rèn)真審題，要先求的值。正確解答：的算術(shù)平方根是，平二、無(wú)理數(shù)2.下列命題中，正確的是（ ）。A.無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、零、負(fù)無(wú)理數(shù)B.無(wú)理數(shù)就是開(kāi)不盡方的數(shù)C.無(wú)理數(shù)是帶根號(hào)的數(shù)D.無(wú)理數(shù)是無(wú)

個(gè)數(shù)就叫做a的平方根.換句話說(shuō)，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.例如，22=4，（-2）2=4，所以2和-2都是4的平方根.正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根.例如，正數(shù)4的正的平方根是2，所以2叫做4的算術(shù)平方根.符號(hào)表達(dá)：正數(shù)a的平方根寫(xiě)成 ± a.例如4的平方根寫(xiě)成± 4=±2.正數(shù)a的算術(shù)平方根寫(xiě)成 a.例如4的算術(shù)平方根寫(xiě)成 4=2.可見(jiàn)，在上面的“問(wèn)題”中，a= 2.（負(fù)值舍去）性質(zhì)辨析：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零

個(gè)數(shù)就叫做a的平方根.換句話說(shuō)，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.例如，22=4，（-2）2=4，所以2和-2都是4的平方根.正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根.例如，正數(shù)4的正的平方根是2，所以2叫做4的算術(shù)平方根.符號(hào)表達(dá)：正數(shù)a的平方根寫(xiě)成[±a].例如4的平方根寫(xiě)成[±4]=±2.正數(shù)a的算術(shù)平方根寫(xiě)成[a].例如4的算術(shù)平方根寫(xiě)成[4]=2.可見(jiàn)，在上面的“問(wèn)題”中，a=[2].（負(fù)值舍去）性質(zhì)辨析：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相

（下）《6.1平方根》的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)勅绾问褂脟L試教學(xué)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)品質(zhì)。一、教材分析本節(jié)內(nèi)容是有理數(shù)相關(guān)內(nèi)容的延續(xù)和推廣，雖然內(nèi)容不多，篇幅不大，但在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，它不僅僅是后面學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識(shí)的基礎(chǔ)，也為高中數(shù)學(xué)不等式、函數(shù)等知識(shí)做好準(zhǔn)備。因此，教學(xué)中需注意平方根與算術(shù)平方根知識(shí)間的聯(lián)系和區(qū)別，充分利用類(lèi)比的方法讓學(xué)生感知到知識(shí)的相關(guān)性、知識(shí)的相近性以及學(xué)習(xí)方式的相似性等，加強(qiáng)知識(shí)間的互相聯(lián)系，通過(guò)類(lèi)比舊

田穎芳 崔燕燕平方根又被稱(chēng)作二次方根，且非負(fù)數(shù)的平方根被稱(chēng)為算數(shù)平方根。初中數(shù)學(xué)很多知識(shí)與平方根有關(guān)，教師要做好平方根的教學(xué)設(shè)計(jì)，促使學(xué)生扎實(shí)地掌握與平方根有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，了解平方根的內(nèi)涵。本文將從初中數(shù)學(xué)教師的角度，淺談初中數(shù)學(xué)“平方根”的教學(xué)及反思。一、初中數(shù)學(xué)“平方根”的教學(xué)（一）分析教材內(nèi)容和學(xué)生學(xué)習(xí)情況平方根是章節(jié)重點(diǎn)知識(shí)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，平方根的學(xué)習(xí)質(zhì)量直接影響學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)、二次根式以及一元二次方程等知識(shí)的效率和質(zhì)量，對(duì)學(xué)生整個(gè)初中階段

趙縈銀平方根和立方根猶如一對(duì)孿生的姐妹，就像平方與立方這對(duì)孿生兄弟一樣，他們有著相似的外貌（[a2]與[a3]）、類(lèi)似的性格以及截然不同的愛(ài)好.（注：根指數(shù)是2時(shí)可省略不寫(xiě)，如[2].）平方根的老家是平方，在x2=a中，x就是a的平方根，記作±[a].要尋找一個(gè)數(shù)的平方根，必須回到她的老家去，想一想什么樣的數(shù)的平方等于這個(gè)數(shù)？比如要想知道25的平方根是多少，那你就應(yīng)先想一想：什么數(shù)的平方等于25.因?yàn)?和-5的平方都等于25，所以25的平方根是5和-5.完

學(xué)會(huì)問(wèn)：“不用平方根表和計(jì)算器，可不可以求出一個(gè)數(shù)的平方根呢？”我們先一起來(lái)研究一下，怎樣求[1156]？這里1156是四位數(shù)，所以它的算術(shù)平方根的整數(shù)部分是兩位數(shù)，且易觀察出其中的十位數(shù)是3.于是問(wèn)題的關(guān)鍵在于：怎樣求出它的個(gè)位數(shù)a（設(shè)其個(gè)位數(shù)為a）.為此，我們從a所滿足的關(guān)系式來(lái)進(jìn)行分析.根據(jù)兩數(shù)和的平方公式，可以得到：1156=（30+a）2即1156=302+2×30a+a2，所以1156-302=2×30a+a2，即256=（3×20+a）a.這

學(xué)會(huì)問(wèn)：“不用平方根表和計(jì)算器，可不可以求出一個(gè)數(shù)的平方根呢？”我們先一起來(lái)研究一下，怎樣求？這里1156是四位數(shù)，所以它的算術(shù)平方根的整數(shù)部分是兩位數(shù)，且易觀察出其中的十位數(shù)是3.于是問(wèn)題的關(guān)鍵在于：怎樣求出它的個(gè)位數(shù)a（設(shè)其個(gè)位數(shù)為a）.為此，我們從a所滿足的關(guān)系式來(lái)進(jìn)行分析.根據(jù)兩數(shù)和的平方公式，可以得到：1156=（30+a）2即1156=302+2×30a+a2，所以1156-302=2×30a+a2，即256=（3×20+a）a.這就是說(shuō)，a是

義明【課 題】平方根【教 材】人教版七年級(jí)下冊(cè)第六章第一節(jié)第三課時(shí)【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)對(duì)象】七年級(jí)學(xué)生【授課教師】陳義明【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能1.掌握平方根的概念，明確平方根與算術(shù)平方根之間的聯(lián)系與區(qū)別；2.能用符號(hào)正確地表示一個(gè)數(shù)的平方根，理解開(kāi)平方運(yùn)算和乘方運(yùn)算之間的互逆關(guān)系；過(guò)程與方法通過(guò)探索平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系，學(xué)會(huì)用算術(shù)平方根解決平方根的問(wèn)題。情感態(tài)度價(jià)值觀通過(guò)對(duì)平方根的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生從多方面，多角度分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的思想意識(shí)，養(yǎng)

縈銀孿生姐妹：平方根與立方根趙縈銀平方根和立方根猶如一對(duì)孿生的姐妹，就像平方與立方這對(duì)孿生兄弟一樣，他們有著相似的外貌（）、類(lèi)似的性格以及截然不同的愛(ài)好.（注：根指數(shù)是2時(shí)可省略不寫(xiě)，如.）平方根的老家是平方，在x2=a中，x就是a的平方根，記作±.要尋找一個(gè)數(shù)的平方根，必須回到她的老家去，想一想什么樣的數(shù)的平方等于這個(gè)數(shù)？比如要想知道25的平方根是多少，那你就應(yīng)先想一想：什么數(shù)的平方等于25.因?yàn)?和-5的平方都等于25，所以25的平方根是5和-5.完全

講“勾股定理與平方根”時(shí)，這一章節(jié)主要包括的內(nèi)容有勾股定理基本概念、神秘?cái)?shù)據(jù)、平方根、立方根、實(shí)數(shù)、近似數(shù)與有效數(shù)字以及勾股定理的應(yīng)用.需要學(xué)生弄清的兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)為“勾股定理”和“平方根”，必須明確平方根和算術(shù)平方根和立方根的不同.根據(jù)學(xué)生對(duì)教學(xué)知識(shí)的掌握情況，再結(jié)合本章學(xué)習(xí)目標(biāo)，通過(guò)幫助學(xué)生梳理知識(shí)漏洞，將所有的問(wèn)題進(jìn)行歸納整理，可以初步形成幾個(gè)研究方向：網(wǎng)格圖形拼接前后的總面積是否會(huì)發(fā)生變化？平方根與算術(shù)平方根的不同與相同點(diǎn)以及勾股定理與算術(shù)平方根的

l是同一個(gè)數(shù)的平方根，求m的值.錯(cuò)解：因?yàn)?m-4和3m一1是同一個(gè)數(shù)的平方根，根據(jù)一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，所以2m-4+3m-l=0.解得m=l.分析：錯(cuò)解只考慮了兩個(gè)不相同的平方根的情況，漏掉了2m-4與3m-l可能相等的情況，正解：因?yàn)?m-4和3m-1是同一個(gè)數(shù)的平方根，所以2m-4+3m-1=0或2m-4=3m-l，解得m=l或m=-3.

對(duì)同學(xué)們?cè)诮鉀Q平方根和立方根的有關(guān)問(wèn)題時(shí)常犯的錯(cuò)誤加以分析，希望同學(xué)們能從這些錯(cuò)誤中汲取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，不犯或少犯類(lèi)似的錯(cuò)誤.例1 ? （2015·湖北恩施）4的平方根是________.【錯(cuò)解】填2.【錯(cuò)因診斷】一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).錯(cuò)解將平方根與算術(shù)平方根混淆了.【正解】由（±2）2=4，得4的平方根是±2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根的概念，掌握“正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵.例2 ? 下列各數(shù)有平方根嗎？有算術(shù)平方根嗎？若有

丁潔平方根、算術(shù)平方根、立方根是《實(shí)數(shù)》一章中最重要的概念，不少同學(xué)在學(xué)習(xí)中對(duì)它們認(rèn)識(shí)模糊，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象.為了弄清它們的聯(lián)系與區(qū)別，現(xiàn)整理成幾個(gè)方面來(lái)進(jìn)行釋析，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.一、 平方根與平方數(shù)1. 平方數(shù)的概念對(duì)于x2=a來(lái)說(shuō)，a是x的平方數(shù)，x是a的平方根，二者的意義不同，性質(zhì)不同，求法也不同.由x2=a求a是平方運(yùn)算，由x2=a求x是開(kāi)平方運(yùn)算，兩種是互逆運(yùn)算.因?yàn)槿魏握龜?shù)、負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)，零的平方是零，所以a總是

徐焱平方根是《實(shí)數(shù)》這一章中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也一直是中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容.下面和同學(xué)們談?wù)勅绾螌W(xué)好平方根的有關(guān)知識(shí)，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、 學(xué)好概念是基礎(chǔ)如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)x叫做a的平方根，記做x=± （a≥0）.正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記做 （a≥0），0的算術(shù)平方根是0. 平方根和算術(shù)平方根極易混淆，要弄清它們的異同點(diǎn)，謹(jǐn)防出錯(cuò).例1 ? （1） （2015·湖北黃岡）9的平方根是（ ? ? ?）.C. 3 D.

列各數(shù)中，沒(méi)有平方根的是（ ? ? ?）.2. 下列運(yùn)算正確的是（ ? ? ?）.3. 在下列實(shí)數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（ ? ? ?）.4. 下列說(shuō)法：①4的平方根是-2;②-2是4的平方根;③0.001的立方根是0.1;④平方根等于本身的數(shù)是0、±1.其中，正確的有（ ? ? ? ）.A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)5. 下列說(shuō)法正確的是（ ? ? ?）.A. 無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù) B. 不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)C. 無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù) D. 兩個(gè)無(wú)理

我們已經(jīng)掌握了平方根的有關(guān)知識(shí)，但你可知道還有一個(gè)與平方根有關(guān)的特殊節(jié)日嗎？那就是平方根節(jié).我們先來(lái)看一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這也是浙江省義烏市的一道中考題：平方根節(jié)是數(shù)學(xué)愛(ài)好者的節(jié)日，這一天的月份和日期的數(shù)字正好是當(dāng)年年份最后兩位數(shù)字的平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日.請(qǐng)你寫(xiě)出本世紀(jì)內(nèi)你喜歡的一個(gè)平方根節(jié)的日期（題中所舉例子除外）.我們知道，在本世紀(jì)內(nèi)，2001，2004，2009，2016，2025，2036，2049，2064，2081的

廣東汕尾）4的平方根是______.【學(xué)生錯(cuò)解】因?yàn)?的平方等于4，所以4的平方根是2.【教師點(diǎn)評(píng)】根據(jù)平方根的定義，求數(shù)a的平方根，也就是求一個(gè)數(shù)x，使得x2=a，則x就是a的平方根，由此可解決問(wèn)題.解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2. 故答案為：±2.【特別提醒】本題考查了平方根的定義. 注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.【學(xué)生錯(cuò)解】選A或B.【教師點(diǎn)評(píng)】A. 冪的乘方：（am）n=amn；B. 利用完全平

海忠同學(xué)們初學(xué)平方根與立方根時(shí)，常?；煜恍└拍詈托再|(zhì)，為幫助同學(xué)們學(xué)好這部分內(nèi)容，本文對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)加以梳理。endprint同學(xué)們初學(xué)平方根與立方根時(shí)，常?；煜恍└拍詈托再|(zhì)，為幫助同學(xué)們學(xué)好這部分內(nèi)容，本文對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)加以梳理。endprint同學(xué)們初學(xué)平方根與立方根時(shí)，常?；煜恍└拍詈托再|(zhì)，為幫助同學(xué)們學(xué)好這部分內(nèi)容，本文對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)加以梳理。endprint

學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)算術(shù)平方根、平方根、立方根的知識(shí)時(shí)往往感覺(jué)很容易，但是在解題時(shí)又會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.為了幫助同學(xué)們更好地學(xué)習(xí)，現(xiàn)將知識(shí)點(diǎn)歸納如下.一、區(qū)別1. 定義不同平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a的平方根或二次方根.即如果x2=a，那么x就叫a的平方根.算術(shù)平方根：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根（規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0）.立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根.即如果x3=a

較了對(duì)數(shù)平均與平方根平均和調(diào)和平方根平均的凸組合,發(fā)現(xiàn)了使得雙向不等式αS(a,b)+(1對(duì)所有 a,b＞0且 a≠b成立的α的最大值和β的最小值,其中 S(a,b)分別表示二個(gè)正數(shù) a與b的平方根平均、調(diào)和平方根平均和對(duì)數(shù)平均.平方根平均;調(diào)和平方根平均;對(duì)數(shù)平均O174.1O174.1 Document code:A Article ID:1009-1734(2011)01-0007-04date:2011-01-21s:This research i

時(shí)學(xué)頂平方根?算術(shù)平方根是實(shí)數(shù)中兩個(gè)比較重要的概念.因?yàn)樗鼈兊亩x相近,聯(lián)系緊密,所以初學(xué)的同學(xué)很容易混淆.為幫助同學(xué)們區(qū)分這兩個(gè)概念,現(xiàn)將它們的區(qū)別與聯(lián)系總結(jié)如下.一?區(qū)別 1.概念的區(qū)別 平方根:一般地,如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根,也就是說(shuō),如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 例如:32=9,3是9的平方根,(-3)2=9,-3也是9的平方根,即3和-3都是9的平方根. 算術(shù)平方根:一般地,如果一個(gè)非負(fù)數(shù)x的平方等于a,即x2=

. 例1 4的平方根是. 錯(cuò)解:因?yàn)?2=4,所以 4的平方根是2 . 剖析:錯(cuò)解在于沒(méi)有正確理解“一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,且互為相反數(shù)”.這里忽視了(- 2)2 = 4這一點(diǎn). 正解:因?yàn)?±2)2 = 4,所以4的平方根是±2. 例2 計(jì)算=. 錯(cuò)解: = ±. 剖析:錯(cuò)解的原因是混淆了平方根與算術(shù)平方根兩個(gè)概念.這里表示的算術(shù)平方根,應(yīng)為正值. 正解:=. 例3 計(jì)算=. 錯(cuò)解:=- 5 . 剖析:由(-5)2 = 25, 則表示25的算術(shù)平方根,應(yīng)為

）1. 的算術(shù)平方根是（）A. 2 B. ±2C. ±D. 2. 若=2，則（m+n）2=（）A. 16 B. 8 C. 4 D. 23. 若有意義，則a能取的最小整數(shù)為（）A. 0 B. 1 C. -1D. -44. 一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，那么這個(gè)自然數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)（即相鄰且更大的自然數(shù)）的算術(shù)平方根是（）A. x+1B. x2+1 C. +1D. 5. 在表達(dá)式a=中，若c=41，b=40，則a的值為（）A. ±9 B. 9 C. -9D. 8

畢保洪對(duì)于平方根和立方根，本文從課本、中考題型和數(shù)學(xué)思想的角度進(jìn)行解讀.一、注重“一二三四五”，平方根的學(xué)習(xí)沒(méi)問(wèn)題1. 明白一種運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫開(kāi)平方.開(kāi)平方是繼加、減、乘、除和乘方后的第六種運(yùn)算.開(kāi)平方與平方是一對(duì)互逆的運(yùn)算.例1（1）求（-4）2； （2） 求9的平方根.分析：（1）顯然是求一個(gè)數(shù)的平方， （-4）2=16；（2）是求9的平方根，所得結(jié)果為±3.2. 了解兩種定義（1） 文字語(yǔ)言敘述：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a

丁廣琳學(xué)習(xí)平方根與算術(shù)平方根，要切實(shí)理解它們的意義，準(zhǔn)確地把握定義的隱含條件，要正確地區(qū)分平方根與算術(shù)平方根，會(huì)用平方與開(kāi)平方之間的關(guān)系求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根及算術(shù)平方根，會(huì)應(yīng)用平方根與算術(shù)平方根的性質(zhì)解題. 1． 應(yīng)用平方根、算術(shù)平方根的定義解題.例1已知一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是a，則與這個(gè)自然數(shù)相鄰的下一個(gè)自然數(shù)的平方根是多少？解析：因?yàn)檫@個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是a，所以這個(gè)自然數(shù)是a2，與它相鄰的下一個(gè)自然數(shù)為a2+1，根據(jù)平方根的定義，其平方根是± .

方田小馬虎被“平方根”、“算術(shù)平方根”、“立方根”等概念和一些符號(hào)搞得暈頭轉(zhuǎn)向，不禁咬牙切齒地說(shuō)：“該死的平方根、立方根！”“小馬虎，我們招惹你了嗎？”隨著話音，小馬虎眼前跳出兩個(gè)頭戴奇怪符號(hào)“± ”、“ ”的式子．“哈，就是你們讓我出盡了洋相！還有那個(gè)算術(shù)平方根，你們?nèi)齻€(gè)為什么名字、符號(hào)都那么相像呢？害得我的作業(yè)全都得了‘叉．”“不信，你們自己瞧吧！”小馬虎氣沖沖地扔過(guò)作業(yè)本．平方根、立方根上前一看，不禁倒吸一口涼氣，果然小馬虎這天的作業(yè)全被老師畫(huà)了鮮紅

值范圍的限制、平方根運(yùn)算結(jié)果的不唯一性等，容易導(dǎo)致同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算時(shí)犯錯(cuò)誤. 下面針對(duì)同學(xué)們常犯的錯(cuò)誤進(jìn)行剖析，希望同學(xué)們引以為戒.一、概念理解不清例1判斷：（1） 無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù).（）（2） 帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù).（）（3） -3是9的平方根.（）錯(cuò)解：（1） ×（2） √（3） ×分析：（1）錯(cuò)解原因在于對(duì)無(wú)理數(shù)的概念理解不清，分不清無(wú)限小數(shù)與無(wú)理數(shù)的關(guān)系.由無(wú)理數(shù)的定義“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)”，可知無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此無(wú)理數(shù)都是無(wú)

完全平方、算術(shù)平方根都是非負(fù)值，在數(shù)學(xué)計(jì)算或化簡(jiǎn)中有著非常巧妙的作用，理解它們的意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．現(xiàn)把它們的具體應(yīng)用舉例如下.一、絕對(duì)值的應(yīng)用例1 已知｜a-3｜+｜b+5｜=0，求2a+b的值.解：∵｜a-3｜≥0，｜b+5｜≥0，∴｜a-3｜=0，并且｜b+5｜=0.∴a-3=0，b+5=0.∴a=3，b=-5.∴2a+b=2×3-5=1.例2已知2｜3a+6｜+5｜4b-8｜=0，求aｂ的值.解：∵｜3a+6｜≥0，｜4b-8｜≥0，∴2｜3a+