包玉娥,趙博,彭曉芹

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古通遼 028043)

關(guān)于模糊值凸函數(shù)的共軛問題的研究

包玉娥,趙博,彭曉芹

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古通遼 028043)

在Goetschel-Voxm an所引進(jìn)的序關(guān)系下,首先給出了模糊值凸函數(shù)的共軛函數(shù)的概念,并證明了模糊值凸函數(shù)的共軛函數(shù)是模糊值凸函數(shù)等相關(guān)性質(zhì);其次給出了模糊值凸函數(shù)的二次共軛函數(shù)的概念,并證明了相關(guān)性質(zhì);最后討論了模糊值凸函數(shù)的共軛與下卷積之間的關(guān)系,證明了兩個(gè)模糊值凸函數(shù)的共軛函數(shù)與其下卷積的共軛函數(shù)之間的等式關(guān)系.

凸模糊值函數(shù);共軛函數(shù);下卷積;次微分

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.04.001

1 引言

關(guān)于凸函數(shù)的共軛問題是凸性理論中的一個(gè)重要研究課題,它在數(shù)學(xué)規(guī)劃中的作用越來越受到重視[1].為了建立模糊規(guī)劃的共軛對(duì)偶理論,2007年張成和袁學(xué)海在文獻(xiàn)[2]中利用模糊數(shù)的偏序關(guān)系[3]給出了模糊值凸函數(shù)(凸模糊映射)的共軛映射的概念,證明了其共軛映射是一個(gè)凸映射.利用Goetschel-Voxman在文獻(xiàn)[4]中所給出的序關(guān)系,在文獻(xiàn)[5]中討論了模糊值函數(shù)的凸性與次可微性問題,給出了次微分的若干重要性質(zhì);在文獻(xiàn)[6]中建立了模糊值凸函數(shù)的右乘與下卷積的概念,討論了有關(guān)的基本性質(zhì).在此基礎(chǔ)上,本文利用Goetschel-Voxm an所給出的序關(guān)系,討論模糊值凸函數(shù)的共軛問題,證明了其共軛映射是模糊值凸函數(shù),為進(jìn)一步研究模糊規(guī)劃的共軛對(duì)偶理論打下了良好的基礎(chǔ).

2 預(yù)備知識(shí)

實(shí)數(shù)集R上的一個(gè)模糊集u:R→[0,1]稱為模糊數(shù),如果u是正規(guī)的,凸的,上半連續(xù)的,且支集是緊集.用F0表示R上的所有模糊數(shù)構(gòu)成的空間,稱其為模糊數(shù)空間.

3 主要結(jié)果

4 結(jié)論

凸函數(shù)的共軛問題是凸性理論中的一個(gè)重要研究課題,它在數(shù)學(xué)規(guī)劃中的作用越來越受到重視.本文為了更好地探討模糊規(guī)劃的共軛對(duì)偶理論,利用Goetschel-Voxman所給出的序關(guān)系,討論了模糊值凸函數(shù)的共軛問題,證明了其共軛映射是模糊值凸函數(shù),并給出了模糊值凸函數(shù)的二次共軛函數(shù)的概念,證明了相關(guān)性質(zhì);同時(shí)討論了模糊值凸函數(shù)的共軛與下卷積之間的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上,,將要利用模糊值凸函數(shù)的共軛函數(shù)研究模糊規(guī)劃的對(duì)偶問題.

[1]Walk M.Theory of Duality in M athematical Programm ing.Banach[M].New Year:Springer-Vienna,1989.

[2]張成,袁學(xué)海.凸模糊映射的共軛映射[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2007,4:839-844.

[3]Nanda S.On Fuzzy Integrals[J].Fuzzy Sets and System s,1989,32:95-101.

[4]Goetschel-Voxman W.Elementary fuzzy calculus[J].Fuzzy Sets and System s,1986,18:31-34.

[5]關(guān)世霞,包玉娥,趙慧冬.模糊值函數(shù)的凸性與次可微性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,28(5):676-686.

[6]趙博,包玉娥,彭曉芹.一類模糊值凸函數(shù)的若干運(yùn)算性質(zhì)[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2012,26(5)167-171.

[7]Hong Yan,Jiuping Xu.A class of convex fuzzy mappings[J].Fuzzy Sets and System s,2002,129:47-56.

[8]鞏增泰,李紅霞.模糊數(shù)值函數(shù)的微分和梯度及其應(yīng)用[J].高等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2010,25(2):229-238.

The research on con jugate p rob lem of fuzzy-valued convex function

Bao Yu′e,Zhao Bo,Peng Xiaoqin
(College of Mathematics,Inner M ongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

In this paper,based on the ordering introduced by Goetschel-Voxman,we f rstly give the concep tion of the conjugate function for fuzzy-valued convex function and p rove some related p roperties,e.g.the conjugate function of fuzzy-valued convex function is also fuzzy-valued convex function.Second ly,we def ne the secondary con jugate function of the fuzzy-valued convex function and prove relevant p roperties.Finally we discuss the relationship between the con jugate and infmal convolution of the fuzzy-valued convex function and p roved the equated relationship between the con jugate function of two fuzzy-valued convex functions and the conjugate function of infmal convolution.

fuzzy-valued convex function,con jugate function,infmal convolution,subdif erential

O 159.2

A

1008-5513(2013)04-0331-07

2012-09-05.

內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金(2010M S0119).

包玉娥(1962-),博士,教授,研究方向:凸性理論及其應(yīng)用、模糊分析.

2010 M SC:03E72