李恩仕，汪中厚

(上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

0 引言

斜齒輪具有傳動(dòng)平穩(wěn)、沖擊、振動(dòng)和噪聲較小的優(yōu)點(diǎn)[1]，在汽車、工程機(jī)械以及航空領(lǐng)域等得到了廣泛的應(yīng)用。但是由于實(shí)際的加工和裝配中存在各種誤差，以及材料本身的彈性變形等原因使得斜齒輪的性能受到了一定的限制[2～4]。齒廓修形是改善斜齒輪嚙合特性，提高傳動(dòng)平穩(wěn)性，降低齒輪傳動(dòng)噪聲的重要手段之一。但是斜齒輪本身結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，采用傳統(tǒng)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法或經(jīng)驗(yàn)公式難以精確的計(jì)算出斜齒輪真實(shí)的接觸變形[5～7]，尤其是齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)受載變形以后，容易造成輪齒接觸不均勻，因此載荷分布情況比較復(fù)雜[8]。難以指導(dǎo)斜齒輪的精確齒廓修形。

隨著有限元技術(shù)的不斷發(fā)展，很多學(xué)者對(duì)基于有限元方法的齒廓修形技術(shù)做了大量的研究。張紅麗通過對(duì)直齒輪進(jìn)行有限元接觸分析，反復(fù)計(jì)算齒輪旋轉(zhuǎn)嚙合的各個(gè)位置，得到了合理的齒廓修形經(jīng)驗(yàn)值[9]。吳勇軍等對(duì)斜齒輪單齒模型進(jìn)行有限元嚙合仿真分析，直接提取接觸線上沿嚙合線方向的綜合彈性變形作為斜齒輪齒廓修形的修形量，取得了很好的修形效果[7]。尚振國(guó)等進(jìn)一步研究了斜齒輪多齒對(duì)分析模型，根據(jù)有限元分析結(jié)果，通過公式轉(zhuǎn)換計(jì)算出斜齒輪的齒廓修形量[10]。綜上所述，斜齒輪的齒廓修形研究正在和快速發(fā)展的有限元方法結(jié)合起來。本文進(jìn)一步建立了更為符合實(shí)際情況的全齒簡(jiǎn)化模型，同時(shí)通過對(duì)齒廓修形量進(jìn)行二次修正的方法，考慮了修形后齒面變化和齒根圓角改變對(duì)齒廓修形量的影響。通過對(duì)修形前后齒輪模型的嚙合性能、接觸區(qū)域與接觸性能的對(duì)比分析，全面的評(píng)價(jià)了斜齒輪的修形效果。

1 標(biāo)準(zhǔn)齒輪和修形齒輪建模

1.1 標(biāo)準(zhǔn)斜齒輪精確建模

精確的斜齒輪模型是有限元分析的基礎(chǔ)，本文采用ProE軟件進(jìn)行斜齒輪建模。要在Pro/ E 中精確構(gòu)建圓柱斜齒輪，必須引入齒形參數(shù)來控制輪齒形狀，用關(guān)系工具建立原始參數(shù)、非獨(dú)立參數(shù)以及輪齒結(jié)構(gòu)尺寸之間的聯(lián)系，利用曲線方程生成漸開線和螺旋線[11]。為了確保斜齒輪的精度，本文采用混合掃描切除材料的方法進(jìn)行齒輪建模。采用混合掃描方法，旋轉(zhuǎn)偏移草圖數(shù)量大于5個(gè)時(shí)，模型精度會(huì)比較高[11]，本文采用9個(gè)旋轉(zhuǎn)偏移草圖來確保斜齒輪模型的高精度。

1.2 修形斜齒輪建模

修形齒輪具有和標(biāo)準(zhǔn)齒輪相同的螺旋線，并在漸開線齒廓未修形的部分發(fā)生重合，本文通過修改標(biāo)準(zhǔn)斜齒輪模型的草圖的方法來建立修形斜齒輪的模型。草圖修改方法為：引用標(biāo)準(zhǔn)斜齒輪建模的草圖，根據(jù)計(jì)算得到的斜齒輪的修形參數(shù)，按照拋物線方程計(jì)算修形齒廓各處偏移距離（偏移距離的數(shù)值精確到1×10-5mm），通過二次曲線擬合得到修形齒輪的端面齒廓。

表1 斜齒輪基本幾何參數(shù)

本文所要研究的變位斜齒輪的基本幾何參數(shù)如表1所示，大小齒輪的材料如表2所示。

表2 齒輪材料特性

2 有限元模型建立

2.1 幾何剖分和網(wǎng)格劃分

根據(jù)分析要求可以在保留齒輪整體結(jié)構(gòu)不變的基礎(chǔ)上，將斜齒輪嚙合傳動(dòng)中不參與嚙合的輪齒進(jìn)行簡(jiǎn)化，同時(shí)考慮到圣維南原理的作用，在參與接觸的輪齒左右各保留一個(gè)不參與嚙合的輪齒，保證精度的同時(shí)也方便結(jié)果的提取。

在有限元分析中，高質(zhì)量的六面體網(wǎng)格不僅可以獲得比四面體網(wǎng)格更高的精度也能更好的保證計(jì)算結(jié)果的正確性。為了劃分出高質(zhì)量的六面體網(wǎng)格，我們首先需要在AnsysWorkbench軟件中對(duì)斜齒輪模型進(jìn)行合理的剖分如圖1所示。最終生成的六面體網(wǎng)格模型如圖2所示。

圖1 齒輪幾何剖分

圖2 最終網(wǎng)格模型

2.2 提取修形量時(shí)分析設(shè)置

在實(shí)際的齒輪工作中，大齒輪為主動(dòng)齒輪，通過齒面之間的接觸作用帶動(dòng)小齒輪旋轉(zhuǎn)，大齒輪的輸入扭矩為：137143N.mm。

在提取齒輪修形量的有限元計(jì)算時(shí)，按照本文3.1節(jié)中接觸面設(shè)置方法進(jìn)行。為了便于修形量的提取，設(shè)置小齒輪為主動(dòng)輪。對(duì)小齒輪內(nèi)孔施加Cylindrical類型約束，放開Tangential方向的位移約束。并對(duì)小齒輪內(nèi)孔施加120000N.mm的扭矩。對(duì)大齒輪的內(nèi)孔面施加Fixed Support約束，約束大齒輪內(nèi)孔的全部自由度。

2.3 結(jié)果驗(yàn)證時(shí)的分析設(shè)置

在進(jìn)行齒輪修形結(jié)果驗(yàn)證時(shí)，對(duì)參與接觸的齒面全部設(shè)置接觸。對(duì)大齒輪內(nèi)孔施加Cylindrical類型約束，放開Tangential方向的位移約束。并對(duì)大齒輪內(nèi)孔施加137143N.mm的扭矩。對(duì)小齒輪的內(nèi)孔面施加Fixed Support約束，約束小齒輪內(nèi)孔的全部自由度。這樣，就構(gòu)建了一個(gè)符合齒輪實(shí)際嚙合情況的有限元模型。

3 修形參數(shù)計(jì)算

齒廓修形包括修形量的計(jì)算，修形長(zhǎng)度的確定和修形曲線的選擇。修形長(zhǎng)度與修形曲線的研究都比較成熟，本文重點(diǎn)討論修形量的計(jì)算。

3.1 齒頂修形量

在標(biāo)準(zhǔn)漸開線斜齒輪進(jìn)入嚙合時(shí)，如圖3(a)所示，圖中主動(dòng)齒輪為大齒輪，被動(dòng)齒輪為小齒輪。理想的沒有彈性變形的齒輪副，主動(dòng)齒輪在①處進(jìn)入嚙合瞬間，主被動(dòng)齒輪恰好進(jìn)入嚙合狀態(tài)。而實(shí)際工作齒輪嚙合時(shí)，由于②、③處接觸輪齒的齒面彈性變形，輪齒的彎曲、扭轉(zhuǎn)變形等的綜合影響，主動(dòng)齒輪在進(jìn)入嚙合瞬間，被動(dòng)齒輪的齒頂會(huì)和主動(dòng)齒輪齒根部進(jìn)入嚙合的位置產(chǎn)生干涉從而導(dǎo)致嚙入沖擊的產(chǎn)生[12]。相對(duì)干涉量△1就是小齒輪的齒頂修形量。

在有限元求解計(jì)算時(shí)，我們考慮斜齒輪修形后的嚙合狀態(tài)。修形前①處的齒面由于彈性變形的影響會(huì)存在干涉量△1，而修形后①處的輪齒齒面剛剛進(jìn)入嚙合，①處齒面不受力。在有限元軟件中對(duì)齒輪接觸位置②③處設(shè)置面面接觸，而對(duì)接觸面①處按照自由狀態(tài)進(jìn)行處理。

有限元分析后，將位移結(jié)果轉(zhuǎn)換到以小齒輪內(nèi)孔為中心并以小齒輪軸線為旋轉(zhuǎn)軸的圓柱坐標(biāo)系下，提取圖3(a)中小齒輪上的A點(diǎn)的位移值既為干涉量△1，如表3所示。

3.2 齒根部修形量

在標(biāo)準(zhǔn)漸開線斜齒輪退出嚙合時(shí)，如圖3(b)所示，由于接觸面①②處齒輪齒面彈性變形，輪齒彎曲、扭轉(zhuǎn)等變形的綜合影響，導(dǎo)致大齒輪在嚙出時(shí)主動(dòng)齒輪的齒頂與被動(dòng)齒輪的齒根產(chǎn)生干涉，從而導(dǎo)致被動(dòng)齒輪齒面的刮傷。考慮到加工工藝性、減少修形工作量、降低修形成本等，通常只對(duì)小齒輪修形而大齒輪不修形[13,14]。圖3(b)所示被動(dòng)齒輪齒根部干涉量△2既為小齒輪齒根部的修形量。進(jìn)行有限元接觸設(shè)置時(shí)，圖3(b)中①②處設(shè)置面面接觸③處保持自由狀態(tài)。

有限元分析后提取圖3(b)中小齒輪上與大齒輪齒頂B相嚙合的點(diǎn)繞小齒輪軸線旋轉(zhuǎn)的位移值既為修形量△2如表3所示。

3.3 修形量二次修正

初步修形后小齒輪的齒面和齒根過渡圓角都會(huì)發(fā)生變化，這導(dǎo)致初步修形后得到的修形齒輪達(dá)不到理想的修形效果。對(duì)修形后的小齒輪按照3.1和3.2中相同的接觸設(shè)置方法重新進(jìn)行修形量的提取如表3所示?？梢姡涡拚笮↓X輪的齒頂修形量和齒根部修形量都有所增加。最終確定出小齒輪的齒頂修形量為17.3μ m，齒根部修形量為15μ m。

圖3 齒輪的嚙合

表3 修形量計(jì)算結(jié)果

3.4 修形長(zhǎng)度與修形曲線

本文斜齒輪重合度為2.24，重合度較小，適合采用短修形方式進(jìn)行修形，修形長(zhǎng)度公式為：

其中：lt為齒頂修形長(zhǎng)度；lr為齒根部修形長(zhǎng)度。

修形曲線選擇拋物線形式，修形曲線方程為：

其中：inx為任意點(diǎn)x的修整量；jn為最大修形量。

4 收斂性驗(yàn)證與數(shù)據(jù)可靠性

4.1 接觸假設(shè)與理論計(jì)算

由于斜齒輪接觸的復(fù)雜性，為了精確的計(jì)算斜齒輪的齒面接觸壓力。如圖4所示，我們以大齒輪端面齒廓分度圓處的曲率半徑為半徑建立一個(gè)各徑向截面都與小齒輪各徑向截面在小齒輪分度圓處嚙合的螺旋圓柱體，螺旋圓柱體的寬度等于大齒輪寬度，螺旋圓柱體的半徑R為：

式中：mt為大齒輪端面模數(shù)；zz為大齒輪齒數(shù)；α為斜齒輪壓力角。

根據(jù)接觸力學(xué)與機(jī)械設(shè)計(jì)[16,17]可知，齒面接觸應(yīng)力計(jì)算公式為：

式中：F為作用于接觸面上的總壓力；B為初始接觸線長(zhǎng)度。

小齒輪分度圓上的圓周力Ft為[18]：

式中：T1為小齒輪扭矩；T1為小齒輪分度圓直徑

垂直于接觸面的法向力F為：

由于螺旋圓柱體與斜齒輪在各徑向截面內(nèi)都在分度圓處嚙合，嚙合線為一條軸向的直線，因此接觸線長(zhǎng)度為：B=14.5mm。

又知：μ1= μ2=0.3

E1=E2=205000

假設(shè)小齒輪扭矩為T1=60000N.mm。帶入赫茲接觸公式可得бH=735MPa

圖4 螺旋圓柱體與小齒輪嚙合

4.2 齒面接觸力數(shù)據(jù)收斂與可靠性

按照2.2節(jié)的約束方式進(jìn)行設(shè)置，并對(duì)小齒輪內(nèi)孔施加60000N.mm的扭矩。通過不斷細(xì)化網(wǎng)格，小齒輪齒面的最大接觸應(yīng)力值逐漸收斂于720MPa，與理論計(jì)算結(jié)果基本一致。證明了三維模型與邊界條件的設(shè)置都是正確的。

圖5 接觸壓力分析結(jié)果

5 齒輪修形及修形效果驗(yàn)證

5.1 齒面受力變化

齒輪輪齒主要受拉或者受壓，因此我們考慮齒輪齒面的最大主應(yīng)力的變化如圖6所示。修形后的輪齒在嚙入和嚙出時(shí)刻齒面最大主應(yīng)力都有明顯的降低，這有利于改善齒輪的嚙合性能，使齒輪在嚙入與嚙出時(shí)的過渡更加平穩(wěn)?？梢?，本文的齒廓修形方法可以顯著地改善斜齒輪的傳動(dòng)性能，減小嚙入和嚙出沖擊。

圖6 齒面最大主應(yīng)力變化

5.2 接觸區(qū)域與接觸應(yīng)力分布

提取修形前后小齒輪在一個(gè)嚙合周期內(nèi)不同旋轉(zhuǎn)角度下的齒面接觸線，將各個(gè)角度下的接觸線整理到一個(gè)齒面上得到修形前后小齒輪的接觸區(qū)域的分布如圖7和圖8所示。修形前小齒輪的接觸區(qū)域在齒高方向分布于從小齒輪的齒頂邊界到小齒輪齒根部與大齒輪齒頂接觸的邊界。修形后小齒輪的接觸區(qū)域往分度圓的方向收縮，小齒輪齒頂和大齒輪齒頂都不再參與嚙合。

分別提取修形前后小齒輪齒面7°和21°接觸線上的接觸壓力分布如圖9和圖10所示，修形前小齒輪齒面載荷分別在齒根部和齒頂處出現(xiàn)尖峰，最大接觸應(yīng)力分別為1390MPa和1630MPa，都出現(xiàn)了明顯的邊緣接觸現(xiàn)象。修形后齒面載荷分布在齒根部和齒頂處的尖峰消失，接觸線載荷分布平穩(wěn)增大后又平穩(wěn)的減小，齒面最大接觸應(yīng)力分別變?yōu)?251MPa和1210MPa，消除了小齒輪齒根部和齒頂處的邊緣接觸現(xiàn)象，改善了斜齒輪齒面的嚙合性能。

圖7 修形前小齒輪齒面接觸區(qū)域

圖8 修形后小齒輪齒面接觸區(qū)域

圖9 小齒輪7°接觸線接觸應(yīng)力分布

圖10 小齒輪21°接觸線接觸應(yīng)力分布

6 結(jié)論

1）建立了有限元全齒簡(jiǎn)化模型并通過二次修正的方法提取了精確的齒廓修形量，解決了修形后齒面與齒根的變化對(duì)齒廓修形量的影響。

2）根據(jù)修形前后齒面應(yīng)力的變化、接觸區(qū)域的變化以及接觸線上接觸應(yīng)力的變化進(jìn)行對(duì)比，比較全面而系統(tǒng)的評(píng)價(jià)了修形效果。

3）分析對(duì)比修形效果可知，齒廓修形后齒輪動(dòng)態(tài)性能和齒面接觸性能都較修形前得到了明顯的提升。這也證明本文所采用的斜齒輪精確齒廓修形方法是精確有效的。

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