杜風(fēng)嬌，劉建剛，張小凱，梁珍瑛

(武夷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，南平 354300)

0 引言

只有3 mm的飛虱若蟲在跳躍時，一條腿上的輪齒與另一側(cè)腿上的輪齒相互嚙合傳動，驅(qū)動兩只腿能以相同的角速度完成同步傳動。正是因?yàn)橛辛撕笸壬线@對齒輪的嚙合，它可以把在跳躍時雙腿產(chǎn)生的誤差減小到30 μs，而其傳動的力由后腿來提供。后腿內(nèi)側(cè)的齒輪通過相互嚙合來驅(qū)動身體，跳躍到所設(shè)定的目標(biāo)地點(diǎn)，從而完成跳躍的一系列動作。Gregory Sutton等[1]通過對飛虱若蟲階段的后腿內(nèi)側(cè)嚙合齒輪的研究，首次揭開了齒輪在昆蟲跳躍動作中使用的神秘面紗。

目前國內(nèi)外學(xué)者在齒輪的齒形齒廓[2-4]、齒輪仿生組織結(jié)構(gòu)[5]、接觸疲勞性能[6]、雙圓弧齒輪嚙合性能[7-8]等方面進(jìn)行了大量的研究。盧海濤[9]通過對齒面進(jìn)行仿生表面形態(tài)的選取，研究了齒輪的耐磨性和疲勞壽命，發(fā)現(xiàn)仿生齒輪的耐磨性比普通齒輪要好，仿生齒輪齒面上的凹坑具有可改變齒輪嚙合摩擦?xí)r產(chǎn)生的磨削的運(yùn)動狀態(tài)，明顯降低了齒輪的磨粒磨損現(xiàn)象，提高了齒輪的使用壽命。石麗娟[10-11]通過研究樹干根部與地面銜接的生長外形設(shè)計(jì)出了一種載荷分布合理、應(yīng)力分布更低的仿生齒輪，較常規(guī)的漸開線齒輪具有更低的接觸應(yīng)力，其主要原因是仿生齒輪的齒廓的改變，使得嚙合剛度有了明顯的提高。

盡管漸開線齒廓被廣泛應(yīng)用于機(jī)械行業(yè)，且優(yōu)點(diǎn)明顯，但是，新型齒廓的研究一直沒有停滯，尤其是在高精密機(jī)械的傳動與應(yīng)用方面，以及一些依據(jù)漸開線無法設(shè)計(jì)的帶尖點(diǎn)和小曲率半徑的非圓節(jié)曲線齒輪。本文根據(jù)一種飛虱若蟲后腿的齒廓形狀，提出一種仿生齒廓齒輪。

1 新型仿生齒廓的設(shè)計(jì)

圖1所示是文獻(xiàn)[1]的作者利用高清高速攝像機(jī)獲得的飛虱若蟲后腿齒廓形狀及昆蟲后腿齒廓。

圖1 飛虱若蟲后腿齒廓形狀

該齒廓分為第一、二段齒廓及圓角過渡部分，圖1中ρfillet為過渡圓角的半徑。利用圖形處理技術(shù)，提取齒廓輪廓邊緣點(diǎn)坐標(biāo)，對單個齒廓提取了114個坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)，其部分?jǐn)?shù)值如表1所示。

表1 仿生昆蟲進(jìn)化齒輪齒廓的坐標(biāo)點(diǎn)

根據(jù)提取的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)，結(jié)合Matlab數(shù)據(jù)工具箱，采用8階傅里葉級數(shù)進(jìn)行擬合：

(1)

式中:a0、ai、bi、w均為傅里葉級數(shù)的擬合系數(shù)；i為傅里葉級數(shù)(i=1，2，…，8)。

擬合結(jié)果如圖2所示。擬合的參數(shù)為：

第一段齒廓：a0=-530.6，a1=-912.5，b1=-98.2，a2=-706.6，b2=-154.6，a3=-456.2，b3=-153.5，a4=-241.1，b4=-112，a5=-101.2，b5=-61.37，a6=-31.99，b6=-24.54，a7=-6.891，b7=-6.53，a8=-0.7868，b8=-0.8958，w=0.8145；第二段齒廓：a0=1.167e+11，a1=1.252e+11，b1=-1.666e+11，a2=-4.105e+10，b2=-1.419e+11，a3= -7.691e+10，b3=-2.92e+10，a4=-2.984e+10，b4=1.885e+10，a5=-9.145e+08，b5=1.124e+10，a6=1.894e+09，b6=1.68e+09，a7=3.494e+08，b7=-7.107e+07，a8=1.02e+07，b8=-2.145e+07，w=0.1727。

將圖2兩段擬合的齒廓曲線進(jìn)行相連，得到如圖3(a)所示單個齒輪齒廓形狀。

圖2 齒廓坐標(biāo)擬合

圖3 仿生齒廓齒輪

2 基于有限元仿真的齒廓接觸應(yīng)力分析

依據(jù)傅里葉函數(shù)及其系數(shù)，擬合的單個齒廓形狀如圖3(a)所示，圖3(b)為文獻(xiàn)[1]仿生齒廓結(jié)構(gòu)參數(shù)。將圖3(b)仿生齒廓等比例放大20倍進(jìn)行研究分析，并應(yīng)用該仿生齒廓設(shè)計(jì)一對齒輪，其參數(shù)為：齒數(shù)z=10，中心距a=8 mm，齒寬B=2 mm,基圓半徑r=4 mm，單個齒廓的角度Δθ=8.5±1.0°，設(shè)計(jì)出齒輪模型，圖4所示為1/4模型的扇形齒輪。齒輪材料參數(shù)如下:密度為7 850 kg/m3,楊氏模量為205 GPa,泊松比為0.3。

圖4 三維模型

為對比仿生齒廓與漸開線齒廓齒輪在同等載荷時的應(yīng)力情況，分別取一個仿生齒廓的輪齒和一個標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪的輪齒，賦予相同的材料及載荷，在ANSYS中進(jìn)行有限元仿真分析。以從動輪回轉(zhuǎn)軸線為中心，施加順時針、大小為4 N·mm的扭矩，主動輪轉(zhuǎn)速分別為0.05 rad/s和0.1 rad/s時，兩組不同齒廓齒輪接觸應(yīng)力和截面應(yīng)力的變化情況如圖5～12所示。

圖5 仿生齒輪轉(zhuǎn)速0.05 rad/s時接觸應(yīng)力

圖6 漸開線齒輪轉(zhuǎn)速0.05 rad/s時接觸應(yīng)力

圖7 仿生齒輪轉(zhuǎn)速0.05 rad/s時截面應(yīng)力

圖8 漸開線齒輪轉(zhuǎn)速0.05 rad/s時截面應(yīng)力

圖9 仿生齒輪轉(zhuǎn)速0.1 rad/s時接觸應(yīng)力

圖10 漸開線齒輪轉(zhuǎn)速0.1 rad/s時接觸應(yīng)力

圖11 仿生齒輪轉(zhuǎn)速0.1 rad/s時截面應(yīng)力

圖12 漸開線齒輪轉(zhuǎn)速0.1 rad/s時截面應(yīng)力

從圖5、圖6可以看出，仿生齒廓的齒輪在轉(zhuǎn)速0.05 rad/s時，嚙合傳動階段在齒根嚙合點(diǎn)出現(xiàn)38.948 MPa的接觸應(yīng)力，該應(yīng)力為最大接觸應(yīng)力，而標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪在轉(zhuǎn)速為0.05 rad/s時，嚙合點(diǎn)的最大接觸應(yīng)力為108.64 MPa。圖7、圖8是兩種齒輪在轉(zhuǎn)速為0.05 rad/s時的截面應(yīng)力云圖，圖11、圖12是轉(zhuǎn)速為0.1rad/s的截面應(yīng)力云圖，由4幅圖可知，隨著主動輪轉(zhuǎn)速的增大，仿生齒廓的齒輪和標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪在嚙合傳動時的截面應(yīng)力也隨之增大，但是漸開線齒廓的增幅明顯大于仿生齒廓。

通過圖9、圖10可知，在主動輪的轉(zhuǎn)速為0.1 rad/s時，仿生齒廓齒輪出現(xiàn)的最大接觸應(yīng)力為172.64 MPa，漸開線齒輪出現(xiàn)的最大接觸應(yīng)力為217.36 MPa。從圖11和圖12中可以看出，仿生齒廓的齒輪在轉(zhuǎn)速為0.1 rad/s時，出現(xiàn)的最大截面應(yīng)力為123.53 MPa，而漸開線齒輪出現(xiàn)的最大截面應(yīng)力為134.57 MPa。由圖9和圖10可以看出，漸開線齒廓和仿生齒廓在相同載荷工況下，仿生齒廓接觸應(yīng)力比漸開線齒廓應(yīng)力更小。因此，仿生齒廓齒輪的強(qiáng)度優(yōu)于漸開線齒輪的強(qiáng)度。

3 基于有限元仿真齒廓傳動誤差分析

根據(jù)仿生齒廓和漸開線齒廓的模型，設(shè)置主動輪旋轉(zhuǎn)速度為30(°)/s，設(shè)置齒輪旋轉(zhuǎn)3周，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)漸開線和仿生齒廓對應(yīng)從動輪旋轉(zhuǎn)角位移如圖13和14所示。

圖13 標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪三周期角位移曲線

圖14 仿生昆蟲進(jìn)化齒輪三周期角位移曲線

由圖13和14可知，標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒廓和仿生齒廓從動齒輪的角位移曲線相同。為進(jìn)一步驗(yàn)證仿生齒廓的可行性，分別對仿生齒廓齒輪的從動輪和標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒廓齒輪的從動輪添加0 N·m、1 N·m、4 N·m、8 N·m的扭矩負(fù)載，嚙合的主動輪的旋轉(zhuǎn)副添加一個速度為30(°)/s的驅(qū)動，設(shè)置仿真時間為36 s,在有限元仿真軟件中對兩組齒輪分別進(jìn)行運(yùn)動學(xué)仿真后，兩種齒輪的從動輪嚙合旋轉(zhuǎn)的角位移，分別減去理論的角位移可得出兩種齒廓在不同載荷的誤差曲線如圖15、16所示。

圖15 不同負(fù)載下仿生昆蟲進(jìn)化齒輪從動輪誤差曲線

圖16 不同負(fù)載下標(biāo)準(zhǔn)漸開線斜齒輪從動輪誤差曲線

從圖15、16可以看出，兩種齒廓隨從動輪載荷的增大，對應(yīng)的角位移誤差增大，即便從動輪空載，由于齒輪自身的重力作用，兩種從動輪角位移也存在一定的角位移誤差。對比發(fā)現(xiàn)齒廓線分兩段擬合的仿生齒廓，其不同載荷的傳動誤差與漸開線齒廓傳動誤差相當(dāng)，而傳動誤差與仿生齒廓模型的精度相關(guān)。本文對仿生齒廓僅采用兩段齒廓線進(jìn)行擬合，隨仿生齒廓線擬合段數(shù)增大(模型精度的提高)，仿生齒廓模型更精確，產(chǎn)生的傳動誤差也會更小。通過不同載荷的誤差分析進(jìn)一步證明了仿生齒廓在齒輪傳動應(yīng)用的可能性。

4 結(jié)束語

本文根據(jù)文獻(xiàn)[1]提供的照片，提出了一種新型仿生齒廓。利用Matlab數(shù)據(jù)工具箱，采用傅里葉級數(shù)對仿生齒廓形狀曲線進(jìn)行擬合，設(shè)計(jì)了一種新型仿生齒廓，同時設(shè)計(jì)了新型仿生齒廓齒輪傳動機(jī)構(gòu)。利用有限元軟件對該機(jī)構(gòu)分析了其表面的接觸應(yīng)力和不同載荷下新型齒廓的傳動誤差，最后驗(yàn)證了該新型仿生齒廓設(shè)計(jì)和應(yīng)用是可行的。