李新鵬，吳黎軍

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

1 預(yù)備知識

在保險實際應(yīng)用中，精算師的一個重要任務(wù)之一就是對給定的風(fēng)險制定一個合適的保費。現(xiàn)代信度理論起源于Bühlmann［1］得到了任意分布下的凈保費信度估計。信度理論是基于過去的索賠經(jīng)歷來制定保費的一種定量方法。信度保費為樣本均值和聚合保費的加權(quán)和，其中權(quán)重因子又被稱為信度因子。

令Xi表示保單持有人在第i個保單時期的索賠額，Xi的分布依賴于風(fēng)險參數(shù)Θ。由于風(fēng)險的非其次性，一般假設(shè)Θ是隨機變量，具有先驗分布為 π(θ)，若給定 Θ =θ，Xi(i=1，2…n)相互獨立，且有相同的分布函數(shù)F(x，θ)。信度理論的目的是在給定保單持有人的前n個時期根據(jù)索賠經(jīng)歷來計算第n+1個時期的保費。如果將估計限定在索賠額的線性函數(shù)中，則得到著名的信度公式:

其中:z=n/(n+k)為信度因子;k為條件方差的期望值與條件期望的方差值的比值;為樣本均值;μ為聚合保費。

經(jīng)典的信度理論中假定不同年份的索賠序列有共同的風(fēng)險參數(shù)，在風(fēng)險參數(shù)給定時，各年的索賠相互獨立，且具有相同的分布，沒有考慮不同年份之間風(fēng)險的時間效應(yīng)。溫利民等［2］在均方損失函數(shù)下研究了各年索賠風(fēng)險間具有時間變化效應(yīng)的信度模型，得到了相應(yīng)的信度保費。考慮時間方面相依性的信度模型與實際情況更為符合。溫利民等在2009年研究了各年索賠風(fēng)險間具有等相關(guān)的信度模型，得到了相應(yīng)的信度保費。Bolancé等［3］建立了索賠頻率風(fēng)險模型，得到了時間效應(yīng)為自相關(guān)時間序列時的信度保費。Purcaru與Denuit［4］在 Poisson索賠頻率風(fēng)險模型中討論了相依結(jié)構(gòu)對信度估計的影響。Frees等［5］研究了時間效應(yīng)為Student-t copula時的信度保費。

經(jīng)典的決策論中，損失函數(shù)的選擇通常取決于估計的精確性，然而，擬合的好壞也是一個重要的標(biāo)準。Zellner［6］引入了平衡損失函數(shù)的概念，它既反映了好的擬合度又反映了估計的精確性，函數(shù)如下:

其中:ρ為距離函數(shù);δ0為目標(biāo)估計，它通常由極大似然估計、最小二乘法或者無偏性條件獲得;δ為θ的估計值;距離函數(shù)通常選為均方誤差損失函數(shù)。

本文在平衡損失函數(shù)下考慮了具有時間變化效應(yīng)的信度模型，并且得到了相應(yīng)的信度保費［7-10］。

2 模型假設(shè)與準備

在信度理論中，假設(shè)保單組合的風(fēng)險參數(shù)為Θ，且有n年的索賠額，由于風(fēng)險的非齊次性，風(fēng)險參數(shù)Θ假定為隨機變量。本文的目標(biāo)為預(yù)測保單在未來1年的索賠Xn+1。但與經(jīng)典的信度理論不同，本文假設(shè)在風(fēng)險參數(shù)給定的條件下，索賠隨機變量 X1，X2，…，Xn有各自的風(fēng)險參數(shù) Θ1，Θ2，…，Θn，且這些風(fēng)險參數(shù)具有某種相依結(jié)構(gòu)。模型的基本假設(shè)如下:

假設(shè)1 給定時間變化效應(yīng)Θi=θi時，索賠額 Xi，i=1，…，n 互相獨立且同分布 E(Xi|Θi)=μ(Θi)，Var(Xi|Θi)=σ2(Θi)，i=1，2，…，n。

假設(shè)2 風(fēng)險參數(shù)Θi的分布函數(shù)為πi(θ)，且 E［μ(Θi)］=μ，E［σ2(Θi)］=和協(xié)方差Cov［μ(Θi)，μ(Θj)］= τiτj.i，j=1，…n。

假設(shè)3 本文中平衡損失函數(shù)為:

其中 δ0(X)為目標(biāo)估計，X=(X1，…，Xn)'且E［δ0(X)］= μδ，Cov［δ0(X)，Xi］=di，i=1，2，…，n，w為權(quán)重因子。

本文目標(biāo)為求解下面最優(yōu)化問題:

為求解最優(yōu)化問題(4)，記L(X，1)={a0+

引理1～3［2］表明了相依結(jié)構(gòu)的一些簡單但重要的性質(zhì)。

引理1 在假設(shè)1和假設(shè)2下，有:

①Xi的均值為

②過去索賠和未來索賠的協(xié)方差為

③X的協(xié)方差矩陣為

其中diag［…］為對角矩陣。

④X的協(xié)方差矩陣的逆為

引理2 假設(shè)(X'1×p，Y'1×q)'為一隨機向量，期望和協(xié)方差矩陣分別為(μ'X，μ'Y)和則當(dāng)時，期望損失E(Y-A-BX)'(Y-A-BX)達到最小。

引理3 風(fēng)險Xn+1的非齊次信度估計為Xn+1在L(X，1)上的正交投影，即

3 平衡損失函數(shù)下的信度估計

定理1為最優(yōu)化問題(4)的解，即未來索賠Xn+1的信度保費。

定理1 在假設(shè)1～3下，運用平衡損失函數(shù)，Xn+1的最優(yōu)線性非齊次估計為

其中:

證明引入一隨機變量Y=Iδ0(X)+(1-I)Xn+1，其中I為0-1隨機變量，它獨立于其他的隨機變量，并且P(I=1)=1-P(I=0)=w，w為式(4)中的權(quán)重因子。因此，最優(yōu)化問題(4)等價于

由引理2和引理3知，下一年保費的最優(yōu)估計為

根據(jù)Y的定義，均值μY為:

又因為E(XI)=E(X)為一常數(shù)，所以

定理得證。

注1 當(dāng)w=0時，此定理給出的保費與溫利民等在2012年提出的具有時間變化效應(yīng)信度模型的保費一致。

4 Bühlmann-Straub模型的信度估計

本節(jié)將給出在平衡損失函數(shù)下具有時間變化效應(yīng)的Bühlmann-Straub信度模型的保費。將假設(shè)1中的Var(Xi|Θi)=σ2(Θi)改為 Var(Xi|Θi)=σ2(Θi)/mi，i=1，2，…，n，mi為 Xi自然權(quán)重因子，其他假設(shè)不變。

引理4 在本文第3節(jié)的假設(shè)和上面的假設(shè)下，有以下結(jié)果:

①Xi的均值為

②過去索賠和未來索賠的協(xié)方差為

③X的協(xié)方差矩陣為

其中diag［…］為對角矩陣。

④X的協(xié)方差矩陣的逆為

定理2 在本文第3節(jié)假設(shè)和本節(jié)假設(shè)下，運用平衡損失函數(shù)，Xn+1的最優(yōu)線性非齊次估計為

其中:

定理2的證明與定理1的證明類似，所以只給出粗略的證明。

證明引入一隨機變量Y=Iδ0(X)+(1-I)·Xn+1，其中I為0～1隨機變量，它獨立于其他的隨機變量，并且P(I=1)=1-P(I=0)=w，w為式(4)中的權(quán)重因子。因此，最優(yōu)化問題(4)等價于

由引理2和引理3知:下一年保費的最優(yōu)估計為

其中

所以，下一年最優(yōu)非齊次信度保費為

5 結(jié)束語

本文運用平衡損失函數(shù)，研究了具有時間變化效應(yīng)的Bühlmann和Bühlmann-Straub信度模型的保費估計問題，并且推導(dǎo)出相應(yīng)的信度保費，但是對于參數(shù)的估計還需今后深入研究。

［1］Bühlmann H，Gisler A.A course in credibility theory and its applications［M］.Netherlands：Springer，2005：77-264.

［2］溫利民，鄭丹，章溢.具有時間變化效應(yīng)的信度模型［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，36(3)：249-252.

［3］Bolancé C，Guillé M，Pinquet J.Time-varying credibility for frequency risk models：estimation and tests for autogressive specification on the random effects［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2003，33(2)：273-282.

［4］Purcaru O，Denuit M.On the dependence induced by frequency credibility models［J］.Belgian Acturial Bulletin，2002，2(1)：73-79.

［5］Frees E W，Wang Ping.Credibility using copulas［J］.North American Acturial Journal，2005，9(2)：31-48.

［6］Zellner A.Bayesian and non-Bayesian estimation using balanced loss functions［M］.New York：Springer-Verlag，1994：377-390.

［7］Wen Limin，Wu Xianyi，Zhou Xian.The credibility premiums for models with dependence induced by common effects［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2009，44(1)：19-25.

［8］Wu Xianyi，Huang Weizhong.The credibility premiums with common effects obtained under balanced loss functions［J］.Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2012，28(2)：203-216.

［9］Wen Limin，Wang Wei，Yu Xueli.Credibility models with error uniform dependence［J］.Journal of East China Normal University：Natural Science，2009，5：118-126.

［10］Gómez-Deniz E.A generalization of the credibility theory obtained by using the weighted balanced loss function［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2008，42：850-854.