李新忠，臺(tái)玉萍，聶兆剛，張利平，李慧娟

(1.河南科技大學(xué)a.物理與工程學(xué)院;b.化工與制藥學(xué)院，河南洛陽(yáng)471023;2.洛陽(yáng)市光電功能材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南洛陽(yáng)471003;3.南洋理工大學(xué)數(shù)學(xué)物理學(xué)院，新加坡637371，新加坡)

0 引言

激光散斑測(cè)量技術(shù)［1－8］在測(cè)量物體的形變、位移、表面粗糙度等方面有著廣泛的應(yīng)用［9－11］，而與這些應(yīng)用緊密聯(lián)系在一起的便是測(cè)量散斑圖之間的相關(guān)系數(shù)。在提高散斑測(cè)量精度的發(fā)展中，圖像細(xì)分技術(shù)是有利的手段。

圖像細(xì)分技術(shù)可分為像素級(jí)別的與亞像素級(jí)別的配準(zhǔn)，其中，像素級(jí)別的包括:強(qiáng)度相關(guān)［12］、相位相關(guān)［13］;亞像素級(jí)別的包括:強(qiáng)度插值［14］、相位相關(guān)插值［15］等。這些方法中，像素級(jí)的配準(zhǔn)方法精度太低，而亞像素級(jí)的配準(zhǔn)方法卻過(guò)分依賴于插值算法的質(zhì)量，因此精度得不到保證。

文獻(xiàn)［13］提出了利用相位相關(guān)來(lái)進(jìn)行亞像素圖像配準(zhǔn)的思想，此種方法不需依靠插值，且能對(duì)圖像進(jìn)行高精度的配準(zhǔn)，隨后文獻(xiàn)［16］把這種方法廣泛用于測(cè)振工程上。

由于在工程應(yīng)用上沒(méi)有考慮到誤差所帶來(lái)的影響，所以不能使測(cè)量的精度達(dá)到最佳值，文獻(xiàn)［13］中已經(jīng)提到公式近似，圖像重疊所帶來(lái)的誤差以及消除辦法，本文不再敘述。本文主要研究由于降采樣導(dǎo)致頻率域重疊所引入的誤差以及消除誤差的辦法，將其應(yīng)用于激光散斑測(cè)量技術(shù)中，并利用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該算法的正確性。

1 圖像細(xì)分原理及其誤差分析

1.1 相關(guān)理論及應(yīng)用

相關(guān)在數(shù)學(xué)理論和信息處理理論中常用卷積來(lái)表示，因此，卷積被稱之為卷積相關(guān)。其實(shí)圖像相關(guān)來(lái)源于兩幅圖像f(x，y)和t(x，y)在圖像位分辨率上的卷積關(guān)系［17］，

對(duì)式(1)進(jìn)行展開(kāi)可得到:

由于t2(x - u，y - v)項(xiàng)為常量，如果f2(x，y)也為常量的話，那么剩下的相關(guān)項(xiàng)為:

但事實(shí)上，f2(x，y)由于激光照射條件的改變而改變，且相關(guān)項(xiàng)γ(u，v)隨著匹配模板t(x，y)大小的改變?cè)谕稽c(diǎn)(u，v)取值也隨之改變。

若此時(shí)引入概率統(tǒng)計(jì)論中的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)把f(x，y)和t(x，y)當(dāng)成隨機(jī)變量［18］，對(duì)它們的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行描述，則上述的缺點(diǎn)就可以迎刃而解，

此種對(duì)于灰度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述的方法在圖像處理上稱為“強(qiáng)度相關(guān)”，雖然強(qiáng)度相關(guān)系數(shù)C(u，v)對(duì)于計(jì)算兩幅圖的相關(guān)很有效，但是由于u、v 只能取整數(shù)值，所以精度只能達(dá)到整像素級(jí)，故此技術(shù)不能用來(lái)測(cè)量亞像素級(jí)的配準(zhǔn)，只能用來(lái)作為粗匹配和最后試驗(yàn)結(jié)果的檢驗(yàn)。即先采取別的辦法對(duì)圖像進(jìn)行亞像素配準(zhǔn)，然后再把圖像按照配準(zhǔn)的結(jié)果進(jìn)行插值平移，最后，再用強(qiáng)度相關(guān)系數(shù)計(jì)算平移后兩幅圖片的相關(guān)系數(shù)，從而驗(yàn)證亞像素配準(zhǔn)算法的正確性。

1.2 圖像細(xì)分原理

圖像的亞像素級(jí)的移動(dòng)是由于圖像的采樣率低，采樣間隔過(guò)大(降采樣)產(chǎn)生的，可以認(rèn)為當(dāng)數(shù)字圖像采樣間隔減小(過(guò)采樣)，就會(huì)使亞像素的移動(dòng)由非整數(shù)變成整數(shù)，即像素級(jí)的移動(dòng)。例如，對(duì)分辨率為128 Pixels×128 Pixels 的圖像移動(dòng)量為0.5 個(gè)像素，當(dāng)分辨率為1 280 Pixels×1 280 Pixels 時(shí)，其移動(dòng)量為5 個(gè)像素。

因而，降采樣后的歸一化交叉能量譜為［13］:

其中，W、H 為降采樣前圖像的寬和高，事實(shí)上常用一個(gè)sinc 函數(shù)來(lái)取代式(8)，

考慮

可以得到亞像素移動(dòng)［20］，

上述兩式的±號(hào)主要是決定于M、N 的奇偶性，若為奇數(shù)則取正號(hào)，若為偶數(shù)則取負(fù)號(hào)。

1.3 圖像細(xì)分算法的誤差分析

在1.2 描述的亞像素配準(zhǔn)過(guò)程中，主要考慮以下3 個(gè)方面的誤差源:

(Ⅰ)用式(9)代替式(8)的公式替代誤差。

(Ⅱ)兩幅圖像中非重疊區(qū)域帶來(lái)的噪聲。

其中，誤差來(lái)源(Ⅰ)和(Ⅱ)分別在文獻(xiàn)［20］和文獻(xiàn)［13］中提到，現(xiàn)在考慮誤差來(lái)源(Ⅲ)。

那么，只要當(dāng)M ＞K 和N ＞L，就能發(fā)生頻率混疊的情況，至于混疊的嚴(yán)重性就決定于M、N 分別比K、L大的倍數(shù)。一旦頻率域出現(xiàn)混疊的情況，那么h^mn(u，v)就不再是理想的帶通濾波器，從而式(7)的逆傅里葉變換就不再是式(8)，從而產(chǎn)生誤差。

假設(shè)M = SK 和N = TL，其中S，T ＞1，那么可以通過(guò)在交叉頻率譜采用低通濾波來(lái)解決頻域混疊所帶來(lái)的誤差，其中要濾掉的高頻部分，即濾波條件是:

這時(shí)式(7)應(yīng)寫(xiě)為:

式(16)中的逆傅里葉變換為:

同樣，可以通過(guò)C'(1，0)、C'(0，0)、C'(0，1)來(lái)求(x0/S)/K = x0/M = △x，同理求得△y。

2 試驗(yàn)結(jié)果及討論

2.1 激光散斑試驗(yàn)

散斑測(cè)量試驗(yàn)光路如圖1 所示，在圖1 中，RS 為粗糙毛玻璃;GT 為可以使RS 旋轉(zhuǎn)及測(cè)量旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)載臺(tái)。

當(dāng)RS 為豎直方向時(shí)，用一束與RS 法線方向成θ 角的激光(氦氖激光器)對(duì)RS 表面進(jìn)行照射，然后在另外一個(gè)相對(duì)的方向用電荷耦合元件(CCD)拍攝RS 表面形成的散斑圖，如圖2 所示。

圖1 激光散斑試驗(yàn)原理圖

然后，讓GT 旋轉(zhuǎn)δθ 角度，使RS 旋轉(zhuǎn)同樣的角度，此時(shí)把CCD按同樣方向也旋轉(zhuǎn)δθ 角度，對(duì)RS 表面形成的散斑圖進(jìn)行拍攝，如圖3 所示。由圖3 可以看出:在RS 旋轉(zhuǎn)δθ 角度后，反射光線應(yīng)按相同的方向旋轉(zhuǎn)2δθ，而此時(shí)CCD 卻只按相同方向旋轉(zhuǎn)了δθ，因而能夠拍攝出兩幅散斑圖之間的相對(duì)位移。

2.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

在對(duì)圖像進(jìn)行配準(zhǔn)以前，由于圖片部分區(qū)域曝光過(guò)強(qiáng)，CCD 產(chǎn)生飽和，因此需要對(duì)配準(zhǔn)區(qū)域進(jìn)行人工選擇，這里選擇兩幅圖片的左上角坐標(biāo)(310，0)，右下角坐標(biāo)(500，250)作為配準(zhǔn)區(qū)域。

以下是對(duì)這兩幅圖像進(jìn)行分析的步驟:

(Ⅰ)用強(qiáng)度相關(guān)對(duì)圖像進(jìn)行粗匹配，得出配準(zhǔn)結(jié)果為(△x，△y)=(0，0)。

(Ⅱ)強(qiáng)度相關(guān)公式(4)計(jì)算出圖2 和圖3 兩幅圖像的相關(guān)系數(shù)c=96.34%。

(Ⅲ)用圖像細(xì)分公式(9)～(13)算出配準(zhǔn)結(jié)果為(△x，△y)=(0.278，0.310)。

(Ⅳ)根據(jù)配準(zhǔn)結(jié)果對(duì)圖像進(jìn)行(△x，△y)=(0.278，0.310)的平移。

(Ⅴ)利用強(qiáng)度相關(guān)公式(4)算出平移后圖像的相關(guān)系數(shù)c=97.67%。

從上面步驟V 得到的相關(guān)系數(shù)可以看出:在對(duì)圖像進(jìn)行亞像素配準(zhǔn)后，圖像相關(guān)精度有了明顯的提高，初步顯示出亞像素配準(zhǔn)技術(shù)的改善效果。

圖2 δθ=0°時(shí)的激光散斑圖像

圖3 δθ=1°時(shí)的激光散斑圖像

利用濾波條件(15)對(duì)圖像進(jìn)行濾波，嘗試進(jìn)一步減小誤差。進(jìn)行以下處理:

(Ⅰ)利用式(15)的濾波帶寬對(duì)圖像2 和圖像3 進(jìn)行濾波。

(Ⅱ)通過(guò)式(7)計(jì)算濾波后兩幅圖像的交叉能量譜，得到誤差修正模型(17)。

(Ⅲ)利用C'(1，0)、C'(0，0)、C'(0，1)，算出配準(zhǔn)結(jié)果為(△x，△y)=(0.282，0.320)。

(Ⅳ)同樣根據(jù)配準(zhǔn)結(jié)果對(duì)圖像進(jìn)行(△x，△y)=(0.282，0.320)的平移。

(Ⅴ)同樣的利用強(qiáng)度相關(guān)公式(4)統(tǒng)計(jì)相關(guān)，算出平移后圖像的相關(guān)系數(shù)c=98.25%。

可以看出:在對(duì)圖像進(jìn)行濾波后，圖像相關(guān)精度有了進(jìn)一步的提高，從而說(shuō)明了誤差分析的正確性。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)分析圖像細(xì)分過(guò)程中誤差產(chǎn)生的原因，引入誤差矯正模型，可以進(jìn)一步提高圖像配準(zhǔn)精度，在試驗(yàn)上說(shuō)明了其精度小于0.01 個(gè)像素的可能。另外，目前只考慮到頻率域的一階重疊所引入的誤差，若考慮高階的頻域重疊，則將進(jìn)一步提高配準(zhǔn)精度，使此技術(shù)在微機(jī)電系統(tǒng)中的振動(dòng)測(cè)量精度達(dá)到納米水平。

由于在激光散斑檢測(cè)技術(shù)中，兩幅散斑圖之間除了平動(dòng)以外可能還存在著轉(zhuǎn)動(dòng)，所以在下一步研究中，擬采用互信息配準(zhǔn)來(lái)對(duì)散斑圖進(jìn)行配準(zhǔn)［21］，但散斑圖由于其特殊性，在特征點(diǎn)的提取上有一定的難度，這將成為下一步工作的重點(diǎn)。

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