劉衛(wèi)鋒，何霞

鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系，鄭州 450015

一種基于殘缺語言判斷矩陣的群決策模型

劉衛(wèi)鋒，何霞

鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系，鄭州 450015

1 引言

在決策過程中，決策者的偏好信息常常以兩兩比較的判斷矩陣形式給出，其中，由于語言判斷矩陣更加能反映出人類思維判斷的模糊性、不確定性以及決策問題的復(fù)雜性，從而受到?jīng)Q策者的青睞。目前，關(guān)于語言判斷矩陣的決策問題研究已經(jīng)成為決策領(lǐng)域研究的一個熱點，并取得了豐碩的研究成果。文獻(xiàn)[1]利用文獻(xiàn)[2]給出的加性語言評估標(biāo)度定義了加性語言判斷矩陣；文獻(xiàn)[3]對加性語言判斷矩陣進(jìn)行了研究，給出了一致性加性語言判斷矩陣；文獻(xiàn)[4]對語言判斷矩陣的決策方法進(jìn)行了系統(tǒng)的研究；文獻(xiàn)[5-7]分別研究了不同粒度語言判斷矩陣形式偏好信息的群決策問題；文獻(xiàn)[8-9]研究了二元語義語言判斷矩陣的決策問題；文獻(xiàn)[10-11]分別研究了基于語言判斷矩陣的群決策方法；文獻(xiàn)[12-15]對語言判斷矩陣的一致性及其決策問題進(jìn)行了深入的研究。但是，在進(jìn)行兩兩比較過程中，可能會出現(xiàn)決策者對某些比較判斷缺少把握，不感興趣，或者不想發(fā)表意見的情況，此時就會導(dǎo)致語言判斷矩陣中某些元素的缺失，即會出現(xiàn)殘缺語言判斷矩陣。目前，關(guān)于殘缺語言判斷矩陣的研究報道并不多見，仍然需要繼續(xù)研究。文獻(xiàn)[3]對殘缺加性語言判斷矩陣決策方法進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[16]研究了殘缺積性語言判斷矩陣決策模型；文獻(xiàn)[17]提出了殘缺語言判斷矩陣的一種可能值推斷方法；文獻(xiàn)[18]提出了一種基于殘缺語言判斷矩陣的群決策方法；文獻(xiàn)[19]研究了基于殘缺互反判斷矩陣、殘缺互補判斷矩陣和殘缺語言判斷矩陣的群決策問題。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文繼續(xù)研究專家偏好信息為殘缺語言判斷矩陣的群決策問題。在創(chuàng)建一個轉(zhuǎn)換公式的基礎(chǔ)上，將語言判斷矩陣轉(zhuǎn)化為互補判斷矩陣，并探討了判斷矩陣轉(zhuǎn)換的一致性，然后，把該轉(zhuǎn)換公式應(yīng)用到殘缺語言判斷，將專家個體殘缺語言判斷矩陣轉(zhuǎn)化為殘缺互補判斷矩陣；在此基礎(chǔ)上，通過和行歸一法求出殘缺互補判斷矩陣的排序向量，并通過建立一個規(guī)劃模型求出專家群組排序向量公式，從而實現(xiàn)對備選方案的排序擇優(yōu)。最后，通過算例說明了方法的可行性與有效性。

2 相關(guān)概念

設(shè)X={x1，x2，…，xn}為方案集，專家利用加性語言評估標(biāo)度[2]S={sα|α=-τ，…，-1，0，1，…，τ}對X中方案進(jìn)行兩兩比較，并構(gòu)造加性語言判斷矩陣[1]A=(aij)nn，其中s-τ≤aij≤sτ，aij⊕aji=s0，aii=s0，i，j=1，2，…，n。

定義1[3]設(shè)A=(aij)nn是加性語言判斷矩陣，若aij= aik⊕akj，i，j，k=1，2，…，n，則稱A為一致性加性語言判斷矩陣。

定義2[3]設(shè)A=(aij)nn是加性語言判斷矩陣，若A的部分元素是缺失的，則稱A為殘缺加性語言判斷矩陣，其中缺失元素用x表示，已知的元素滿足下列性質(zhì)：

s-τ≤aij≤sτ，aij⊕aji=s0，aii=s0，i，j=1，2，…，n

為方便起見，令Ω為A中所有已知元素的集合。

定義3[3]設(shè)A=(aij)nn是殘缺加性語言判斷矩陣，若所有已知元素滿足aij=aik⊕akj， aij，aik，akj∈Ω，則稱A為一致性殘缺加性語言判斷矩陣。

定義4設(shè)A=(aij)nn是加性語言判斷矩陣，若滿足：（1）當(dāng)aik≥s0，akj≥s0時，有aij≥s0；（2）當(dāng)aik≤s0，akj≤s0，有aij≤s0。則稱A為滿意一致性加性語言判斷矩陣。

定義5[2]若矩陣B=(bij)nn滿足bij+bji=1，bii=0.5，i，j=1，2，…，n，則稱B是互補判斷矩陣。

定義6[2]若互補判斷矩陣B=(bij)nn滿足bij=bik+bkj-0.5，i，j，k=1，2，…，n，則稱B是一致性加性互補判斷矩陣。

定義7設(shè)B=(bij)nn是互補判斷矩陣，若滿足：（1）當(dāng)bik≥0.5，bkj≥0.5時，有bij≥0.5；（2）當(dāng)bik≤0.5，bkj≤0.5時，有bij≤0.5。則稱B為滿意一致性互補判斷矩陣。

定義8[20]設(shè)B=(bij)nn是判斷矩陣，若其中既含有殘缺元素又含有非殘缺元素，且非殘缺元素滿足bij+bji=1，bii=0.5，bij≥0，則稱B為殘缺互補判斷矩陣。

3 決策方法

3.1 轉(zhuǎn)換公式

設(shè)X={x1，x2，…，xn}為方案集，E={e1，e2，…，em}為專家群組，專家el根據(jù)加性語言標(biāo)度S={sα|α=-τ，…，-1，0，1，…，τ}對X中方案進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造加性語言判斷矩陣

定義9設(shè)加性語言標(biāo)度為S={sα|α=-τ，…，-1，0，1，…，τ}，則sα∈S所對應(yīng)的下標(biāo)α和α所對應(yīng)的語言短語可以分別由下面的函數(shù)I和I-1得到：

定理2說明，通過定義10中的轉(zhuǎn)換公式，將語言判斷矩陣轉(zhuǎn)換為互補判斷矩陣之后，決策者事先對任意兩個方案優(yōu)劣關(guān)系的判斷，并沒有發(fā)生改變，改變的只是判斷的表達(dá)形式。因此，該定理保證了本文對偏好信息進(jìn)行形式上的轉(zhuǎn)換是合理且可行的。

3.2 殘缺語言判斷矩陣轉(zhuǎn)化為殘缺互補判斷矩陣

現(xiàn)將定義10中的轉(zhuǎn)換公式推廣應(yīng)用于殘缺語言判斷矩陣。

3.3 專家群組排序向量確定

假設(shè)專家el對方案X提供的殘缺互補判斷矩陣為，由文獻(xiàn)[20]提出的和行歸一法可求出Bl的排序向量為同時，令w=(w1，w2，…，wn)為反映出專家群組偏好的排序向量，顯然，專家群組排序向量w=(w1，w2，…，wn)，應(yīng)該與每個專家給出的殘缺互補判斷矩陣Bl的排序向量l=1，2，…，m的離差越小越好。為此，在考慮到專家權(quán)重向量λ=(λ1，λ2，…，λm)基礎(chǔ)上，可以構(gòu)造偏差函數(shù)：

顯然，F(xiàn)(w)越小越好，能夠反映出專家群體偏好的排序向量w應(yīng)使偏差函數(shù)F(w)取得最小值。于是，得到如下定理。

定理7設(shè)決策方案為X={x1，x2，…，xn}，群組專家為E={e1，e2，…，em}，專家權(quán)重向量為λ=(λ1，λ2，…，λm)，專家el對方案X提供的殘缺互補判斷矩陣為Bl=(blij)nn，由和行歸一法可得到Bl的排序向量為l=1，2，…，m，專家群組排序向量為w=(w1，w2，…，wn)，則

證明建立下面的規(guī)劃模型：

為了求解上述非線性規(guī)劃模型，構(gòu)造Lagrange函數(shù)：

將上述方程組中的前n個方程相加，并結(jié)合第n+1個方程得到α=0，于是得到：

3.4 決策方法及其優(yōu)越性

在上述研究的基礎(chǔ)上，得到將殘缺語言判斷矩陣轉(zhuǎn)化為殘缺互補判斷矩陣的一種群決策模型，具體步驟如下：

步驟1利用本文定義11中的轉(zhuǎn)換公式，將專家個體殘缺加性語言判斷矩陣轉(zhuǎn)化為殘缺互補判斷矩陣。

步驟2利用文獻(xiàn)[20]中的和行歸一法求出殘缺互補判斷矩陣的排序向量。

步驟3利用定理7中公式求出專家群組排序向量。

步驟4由專家群組排序向量對方案進(jìn)行排序擇優(yōu)。

由本節(jié)上述分析論證及決策方法的步驟可以看出，本文決策方法具有以下特點和優(yōu)越性：

（1）與語言判斷矩陣相比，互補判斷矩陣的相關(guān)理論產(chǎn)生的更早，更為成熟，應(yīng)用范圍也更廣，這是本文決策方法產(chǎn)生的最基本的原因，也說明了將語言判斷矩陣轉(zhuǎn)換為互補判斷矩陣的合理性與優(yōu)越性。

（2）所建立的轉(zhuǎn)換公式不僅簡單而且具有良好的性質(zhì)，且由定理2可知，通過轉(zhuǎn)換公式將語言判斷矩陣轉(zhuǎn)化為互補判斷矩陣，改變的只是判斷的表達(dá)形式，而方案的優(yōu)劣關(guān)系并沒有發(fā)生改變，這說明了將語言判斷矩陣轉(zhuǎn)換為互補判斷矩陣的合理性。

（3）本文決策方法只需將殘缺語言判斷矩陣轉(zhuǎn)化為殘缺互補判斷矩陣，不需要計算殘缺元素，即可利用現(xiàn)成的方法得到殘缺互補判斷矩陣的排序向量，而文獻(xiàn)[3]中需要求出殘缺語言判斷矩陣中的殘缺元素，計算量較大而繁瑣。

4 計算實例

例[3]考慮某大學(xué)的學(xué)院評估問題，一個主要的評估指標(biāo)為“科研”。設(shè)8個學(xué)院xi(i=1，2，…，8)將被評估，3位專家e1、e2、e3參與決策，其權(quán)重向量λ=(0.5，0.3，0.2)，在評估指標(biāo)“科研”下利用加性語言評估標(biāo)度：

對方案xi(i=1，2，…，8)進(jìn)行兩兩比較，并分別構(gòu)造了如下殘缺加性語言判斷矩陣Al(l=1，2，3)：

根據(jù)3位專家的殘缺加性語言判斷矩陣，對8個學(xué)院的科研情況進(jìn)行排序擇優(yōu)。

首先，利用轉(zhuǎn)換公式，將殘缺加性語言判斷矩陣轉(zhuǎn)換為殘缺互補判斷矩陣：

其次，利用文獻(xiàn)[20]中提出的和行歸一化方法求出殘缺互補判斷矩陣B1、B2、B3的排序向量分別為：

于是，由定理7中的計算公式得到專家群組排序向量為：

所以，8個學(xué)院的排序為x4?x2?x7?x3?x6?x8?x5?x1，最佳學(xué)院為x4，這與文獻(xiàn)[3]中得到的結(jié)果是一致的。

5 結(jié)束語

研究了專家偏好信息為殘缺語言判斷矩陣的群決策方法。首先，通過建立一個簡單有效的轉(zhuǎn)換公式，將語言判斷矩陣轉(zhuǎn)化為互補判斷矩陣，同時對判斷矩陣的一致性進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究，并將轉(zhuǎn)換公式推廣應(yīng)用到殘缺語言判斷矩陣；然后，在利用和行歸一法求出殘缺互補判斷矩陣排序向量的基礎(chǔ)上，通過非線性規(guī)劃模型求出專家群組的排序向量，從而實現(xiàn)備選方案的排序和擇優(yōu)。最后，通過算例說明了方法的可行性和有效性。

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LIU Weifeng,HE Xia

Department of Mathematics and Physics,Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management,Zhengzhou 450015,China

This paper discusses group decision-making problem,which preference information is incomplete linguistic judgment matrices.Firstly,by constructing a transformation formula,additive linguistic judgment matrix is transformed into complementary judgment matrix,and a consistency of transformation of judgment matrices is analyzed.Then,additive incomplete linguistic judgment matrix of each expert is transformed into incomplete complementary judgment matrix by using the transformation formula,and the priority vector of each expert is obtained by using normalizing rank aggregation method for priority of incomplete complementary judgment matrix.Thirdly,according to the priority vector of each expert,the priority vector of expert group is obtained by building and solving a nonlinear programming model,and the priority of alternatives is determined based on the priority vector of expert group.Finally,an example is used to illustrate the feasibility and applicability of the proposed method.

group decision making;incomplete linguistic judgment matrix;incomplete complementary judgment matrix;nonlinear programming model

研究了偏好信息為殘缺語言判斷矩陣的群決策問題。通過創(chuàng)建一個轉(zhuǎn)換公式，將加性語言判斷矩陣轉(zhuǎn)化為互補判斷矩陣，探討了判斷矩陣轉(zhuǎn)換的一致性；應(yīng)用轉(zhuǎn)換公式將專家個體的加性殘缺語言判斷矩陣轉(zhuǎn)化為殘缺互補判斷矩陣，并利用殘缺互補判斷矩陣排序向量的和行歸一法，求出專家個體的排序向量；根據(jù)專家個體的排序向量，通過建立并求解一個非線性規(guī)劃模型，得到專家群組的排序向量，從而實現(xiàn)備選方案的排序和擇優(yōu)。通過算例說明了方法的可行性與有效性.

群決策；殘缺語言判斷矩陣；殘缺互補判斷矩陣；非線性規(guī)劃模型

A

O223；C934

10.3778/j.issn.1002-8331.1111-0004

LIU Weifeng,HE Xia.Group decision-making model based on incomplete linguistic judgment matrices.Computer Engineering and Applications,2013,49（13）：114-117.

河南省自然科學(xué)基金(No.102102310159）；河南省哲學(xué)社會科學(xué)規(guī)劃項目（No.2011BJJ021）；鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年科研基金（No.2011113003）。

劉衛(wèi)鋒(1976－)，男，講師，主要研究領(lǐng)域為數(shù)學(xué)建模。E-mail：lwf0519@163.com

2011-11-07

2012-01-14

1002-8331（2013）13-0114-04

CNKI出版日期：2012-04-25http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120425.1723.100.html