孫北奇，于曉凱，楊虎，徐俊，屈馳飛

(洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039)

在科學(xué)技術(shù)和工程應(yīng)用中，如機(jī)械設(shè)計(jì)、固體計(jì)算力學(xué)、天氣預(yù)報(bào)及控制領(lǐng)域等非線性方程組的求解仍是難題之一[1]。N-R算法存在收斂性依賴于初值，不適的初值將導(dǎo)致算法失效；N-R的修正形式雖擴(kuò)大了收斂范圍，但慣性因子難以選取，往往收效甚微；非線性方程組的區(qū)間Newton算法雖然具有收斂性不依賴初值，較點(diǎn)Newton算法具有更好的全局收斂性，且具有事后誤差的估計(jì)功能，但區(qū)間迭代程序的計(jì)算量要比點(diǎn)迭代大很多，實(shí)用效果不好。

為此，需要找到一種應(yīng)同時(shí)具有全局收斂性和收斂性不依賴于初值特性的算法。以往的研究中，將粒子群算法與混沌計(jì)算相結(jié)合[2]，或應(yīng)用遺傳算法[3]進(jìn)行了廣泛研究并取得了很多成果。但是，以上各種算法僅適用于求解一般的非線性方程組，而在求解根差異大(如x=[10 000,2,0.03])的非線性方程組時(shí)，各種微粒群算法均存在種群多樣性及早熟問題，特別是在求解大根差異的高速球軸承非線性方程組時(shí)更是如此。因此，探索微粒群算法在大根差異高速球軸承非線性方程組的改進(jìn)形式具有重要意義。

下文把非線性方程組轉(zhuǎn)化為智能優(yōu)化問題后，通過尺度變換保持了極小值點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的相對(duì)位置，改變了群體的期望輸出，從而徹底改善了微粒群算法在種群多樣性不適時(shí)易陷入早熟的問題。

1 微粒群算法對(duì)根差異大的不適應(yīng)性分析

設(shè)優(yōu)化問題表述為

minf(x)=f(x1,x2,…,xn) ，

(1)

其中，x∈S?Rn，(S為約束域；R為n維有理數(shù)集合)。

微粒群算法(PSO)[4]是通過某種群體搜索現(xiàn)象的簡(jiǎn)化模擬而設(shè)計(jì)的，每個(gè)微粒的學(xué)習(xí)進(jìn)程由個(gè)體認(rèn)識(shí)和社會(huì)認(rèn)識(shí)兩部分組成。當(dāng)每個(gè)微粒在個(gè)性和社會(huì)性之間達(dá)到一定的平衡時(shí)，每個(gè)微粒才能不斷從群體環(huán)境中獲取足夠多信息來調(diào)整自身的行為[5]。因此，如果想從根本上改善微粒群算法的性能，就應(yīng)當(dāng)從個(gè)體認(rèn)識(shí)和社會(huì)認(rèn)識(shí)去考察算法模型?？紤]到優(yōu)化問題，則可以將目標(biāo)問題的全局解視為群體系統(tǒng)的期望輸出：一是希望群體在尋優(yōu)過程中具有個(gè)性，以較大概率收斂于目標(biāo)問題的全局解；二是希望每個(gè)微粒不脫離群體，具有一定的社會(huì)性，即每個(gè)微粒從群體感知有效的群體狀態(tài)信息并正確調(diào)整自身的行為。

根據(jù)上述分析，對(duì)于函數(shù)形式f(x,y)=x2+(y-25 000)2,x,y∈[-50,100 000](此函數(shù)在[x,y]=[0,25 000]時(shí)取得最小值)，由于目標(biāo)函數(shù)的期望輸出為[0，25 000]，從根本上決定了算法在搜索過程中每個(gè)個(gè)體的差異性過大，種群多樣性過高，使每個(gè)微粒不能從群體中感知有效的群體信息來調(diào)整自己，導(dǎo)致算法不能較好地收斂于極小值點(diǎn)。

為此，應(yīng)改善種群多樣性，提高每個(gè)微粒的個(gè)體認(rèn)識(shí)和社會(huì)認(rèn)識(shí)，以提高算法的收斂性。

2 變尺度微粒群優(yōu)化算法

2.1 變換原理

尺度變換技巧能顯著地改進(jìn)幾乎所有極小化方法的收斂性質(zhì)[6]。對(duì)于一般的優(yōu)化問題

minf(x)=f(x1,x2,…,xn),s.t.x∈S?Rn。如果進(jìn)行尺度變換x←x′β，其中

則在新的坐標(biāo)系中，原優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為

minf(x)=minf(x′β)=ming(x′)，

s.t.x′∈S?Rn。

尺度變換沒有改變極小值點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的相對(duì)位置，因此這種轉(zhuǎn)換是等價(jià)轉(zhuǎn)換。這樣的變換可以改變?nèi)后w的期望輸出，從根本上改變?nèi)后w在進(jìn)化過程中種群的多樣性。

應(yīng)用上述方法時(shí)，需先將非線性方程組轉(zhuǎn)化為智能優(yōu)化問題。

考慮含n個(gè)未知量n個(gè)方程的非線性方程組一般形式是

(2)

將a=(a1,a2,…,an)T作為非線性方程組(1)的一組解。構(gòu)造優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為

(3)

其中，x=(x1,x2,…,xn)T。

將求解非線性方程組轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)極小值。給定目標(biāo)函數(shù)收斂停止標(biāo)準(zhǔn)，在求解區(qū)域內(nèi)搜索a=(a1,a2,…,an)T，使得Φ(a)<ε，則a是(2)式的一組近似解。

2.2 算法的步驟

針對(duì)上述優(yōu)化問題，變尺度微粒群優(yōu)化算法的主要步驟為：

(1)調(diào)整種群期望輸出，利用目標(biāo)函數(shù)的信息，選取尺度變換矩陣β，將群體期望輸出X轉(zhuǎn)變?yōu)閄′，優(yōu)化函數(shù)轉(zhuǎn)換為g(X′)；

(3)計(jì)算各微粒的適應(yīng)值g(X′)；

(4)對(duì)于每個(gè)微粒，將其適應(yīng)值與所經(jīng)歷過的最好位置Pi的適應(yīng)值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前最好位置；

(5)對(duì)每個(gè)微粒，將其適應(yīng)值與全局所經(jīng)歷的最好位置Pg的適應(yīng)值進(jìn)行比較，若較好，則將其作為當(dāng)前的全局最好位置；

(6)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)微粒群算法進(jìn)化方程，對(duì)微粒的速度和位置進(jìn)行進(jìn)化；

(7)如未達(dá)到收斂標(biāo)準(zhǔn)，則返回第2步繼續(xù)計(jì)算；

(8)利用尺度變換矩陣β進(jìn)行矩陣反變換，得出原優(yōu)化問題的解。

3 計(jì)算與驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述方法的有效性，以下面幾個(gè)根差異較大的非線性方程組為例，通過計(jì)算機(jī)仿真評(píng)價(jià)比較微粒群算法和變尺度微粒群算法的可靠性。

例1：

例2：

以上兩組非線性方程組的根差異性較大，例1的精確解x=[10 000,2]，例2的精確解x=[10 000,1]。不同方法求解得到的成功率(ε<10-6，算法求解成功)的對(duì)比情況見表1。

表1 收斂可靠性對(duì)比 %

以上結(jié)果表明，在求解根差異較大的高速球軸承非線性方程組時(shí)，變尺度微粒群算法要比基本微粒群算法和擬Newton算法的成功率高很多，這主要是變尺寸改善了微粒群的種群差異性，增強(qiáng)了每個(gè)微粒的搜索能力。

4 算法應(yīng)用

高速球軸承的受載變形(微米級(jí))量和軸承幾何參數(shù)(厘米級(jí))屬于典型的大根差異問題，其參數(shù)相互耦合且數(shù)量與球數(shù)成正比，應(yīng)用傳統(tǒng)的Newton法與粒子群算法求解均不能得到較好的收斂效果，進(jìn)而對(duì)軸承關(guān)鍵參數(shù)，如內(nèi)、外接觸角的計(jì)算造成困難。高速球軸承往往用于軸向受載的工況，其計(jì)算式[7]為

(A1-X1)2+(A2-X2)2-[(fi-0.5)Dw+δi]2=0，

式中：A1為內(nèi)、外圈溝道溝曲率中心間的軸向距離，A1=(fe+fi-1)Dwsinα+δi，mm；A2為內(nèi)、外圈溝道溝曲率中心間的徑向距離,A2=(fe+fi-1)Dwcosα，mm；X1為球心終位置與外圈溝道溝曲率中心在x軸方向的投影，mm；X2為球心終位置與外圈溝道溝曲率中心在y軸方向的投影，mm；fi為內(nèi)圈溝道溝曲率(無量綱)系數(shù)；fe為外圈溝道溝曲率(無量綱)系數(shù)；Dw為鋼球直徑，mm；δi為內(nèi)圈與鋼球中心之間的變形量，mm；δe為外圈與鋼球中心之間的變形量，mm；Mg為鋼球的陀螺力矩，N·mm;Fa為軸承所受的軸向載荷，N；Ki,Ke為載荷-位移常數(shù)；λ為套圈控制系數(shù)，對(duì)于外溝道控制，取λi=0,λe=2，否則取λi=λe=1。其中A1，A2，X1，X2，δi和δe為未知數(shù)，其他參數(shù)可由軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)直接得到或根據(jù)轉(zhuǎn)速等條件求得。

利用文中所述方法對(duì)B218軸承的接觸角進(jìn)行求解計(jì)算，結(jié)果如圖1所示。該結(jié)果與文獻(xiàn)[7]中的數(shù)據(jù)完全一致，其收斂可靠性達(dá)到96%。

圖1 軸向受載高速球軸承的計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)束語

在綜合分析考慮微粒群算法與變尺度的各自特點(diǎn)后，將變尺度的方法引入到微粒群算法中，增強(qiáng)了算法的優(yōu)化性能，并用以求解非線性方程組，克服了初始點(diǎn)難確定的弊端，同時(shí)提高了算法的收斂可靠性與求解精度，經(jīng)典型方程和典型工程實(shí)際問題的求解驗(yàn)證，證實(shí)了該方法的正確性和有效性。