但召江，樓洪梁，李興林，郭明月，陳炳順

(1.中國計量學院 質(zhì)量與安全工程學院，杭州 310018；2. 杭州軸承試驗研究中心 博士后工作站，杭州 310022；3.杭州誠信汽車軸承有限公司，杭州 310024)

隨著軸承質(zhì)量的提高，在可靠性定時截尾試驗過程中會出現(xiàn)大量的無失效數(shù)據(jù)。由于缺乏足夠的試驗信息，傳統(tǒng)的估計方法無法對其做出適當?shù)目煽啃怨烙?。因此有必要對無失效數(shù)據(jù)下軸承的可靠性估計方法展開研究。軸承壽命服從兩參數(shù)Weibull分布，兩分布參數(shù)估計的準確性決定軸承可靠性估計的準確性。在無失效數(shù)據(jù)這種乏信息的試驗過程中，Bayes估計方法能充分利用驗前信息和試驗信息，顯示了其獨特的優(yōu)越性。無失效數(shù)據(jù)的產(chǎn)品可靠性研究起源于文獻[1]，自該文獻發(fā)表以來，對無失效數(shù)據(jù)的研究逐漸受到重視，并取得一定的成果。

目前，在無失效數(shù)據(jù)情況下，Weibull分布參數(shù)的估計中，由于參數(shù)的先驗信息難以獲取，大多數(shù)都從失效概率入手。在無失效情況下，失效概率大的可能性小，小的可能性大，根據(jù)這一特性利用共軛分布方法確定失效概率的先驗分布，然后通過Bayes估計方法得出一組不同時刻的失效概率估計值，再通過最小二乘法求得分布的2個參數(shù)[2-3]。事實上，形狀參數(shù)是Weibull分布中極其重要的參數(shù)，其數(shù)值決定了Weibull分布曲線的形狀，如果能獲得形狀參數(shù)的先驗信息，對提高參數(shù)估計的準確度具有較大意義。文獻[4]用數(shù)理統(tǒng)計方法對軸承形狀參數(shù)進行了深入研究，提出了軸承形狀參數(shù)的具體分布，為軸承可靠性估計帶來方便。

下文將Weibull分布轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布，以指數(shù)分布的失效率為切入點，在無失效數(shù)據(jù)下，利用共軛分布方法確定失效率的先驗分布。Weibull分布形狀參數(shù)的先驗信息用2種方法取得：(1)通過文獻[4]的研究成果，擬合一分布作為形狀參數(shù)的先驗分布；(2)根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗以某一區(qū)間上均勻分布作為先驗分布，然后利用無失效試驗數(shù)據(jù)，得出失效率和形狀參數(shù)的Bayes估計，進而計算得到軸承壽命的估計值，并在先驗信息和截尾時間改變的情況下討論其穩(wěn)定性。

1 無失效數(shù)據(jù)模型

軸承壽命T服從形狀參數(shù)為m,特征壽命參數(shù)為η的Weibull分布，其分布函數(shù)F(t)為

(1)

其中，m,η未知?，F(xiàn)從中隨機抽取n個樣品分成k組，各組樣品數(shù)分別為n1,n2,n3,…，nk，且n1+n2+n3+…+nk=n，各組樣品分別獨立地進行定時截尾試驗，截尾時間分別為t1,t2,t3,…，tk，結(jié)果無一失效，則獲得一組無失效數(shù)據(jù)(ti,ni),i=1,2,3,…，k。

若令λ=η-m,t*=tm，則Weibull分布形狀參數(shù)和特征壽命的估計可轉(zhuǎn)化為討論指數(shù)分布的失效率估計[5]。

設(shè)產(chǎn)品壽命T*服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為

F(t*)=1-exp(-λt*),λ>0,t*>0。

(2)

影響B(tài)ayes估計準確性的關(guān)鍵因素是先驗分布。將Weibull分布轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布有利于先驗信息的獲取。文獻[5]提出先驗分布應(yīng)取共軛分布(Gamma分布)。

2 先驗信息的獲取

針對以上模型，在無失效數(shù)據(jù)下指數(shù)壽命型產(chǎn)品的失效率λ小的可能性大，大的可能性小，因此應(yīng)選取減函數(shù)作為失效率λ的先驗分布，由于模型中關(guān)于λ的信息極少，故采用共軛的方法確定先驗分布。

在給定形狀參數(shù)m情況下取Ga(a,b)為λ的先驗分布密度，其中a,b為分布的超參數(shù)，由文獻[6]可知，當00時，概率密度遞減。則在給定m條件下λ的先驗分布密度函數(shù)為

(3)

其中,a,b由2種方法確定[7]：(1) 由專家經(jīng)驗確定；(2) 用2個分位數(shù)確定，分位數(shù)可以根據(jù)先驗信息和歷史資料確定。例如用上下四分位數(shù)λU和λL，則a,b須滿足

對于形狀參數(shù)m的先驗信息，可以從產(chǎn)品的歷史信息中獲得，例如對于某一型號的軸承，可以從歷史試驗數(shù)據(jù)中取得m的先驗分布函數(shù)，至少根據(jù)生產(chǎn)方的經(jīng)驗可以確定形狀參數(shù)的分布范圍，最壞的情況下取形狀參數(shù)m的先驗分布為某一區(qū)間的均勻分布。關(guān)于形狀參數(shù)的分布，文獻[4]分別以滾子軸承、球軸承和軸承總體為母體討論了其分布范圍和平均值，并繪出了柱狀圖，這為以后軸承可靠性的評價提供了便利。在此根據(jù)文獻[4]提供的數(shù)據(jù)，以球軸承為母體，將擬合得到的形狀參數(shù)的概率分布作為先驗信息。

對于文獻[4]中的數(shù)據(jù)，通過擬合試驗，在95%的置信水平下，形狀參數(shù)m的先驗分布符合Weibull分布。用Matlab提供的方法擬合得到形狀參數(shù)m的分布密度函數(shù)π(m)為

(4)

式中：d=1.743 9；c=2.176 0。

對于某一型號的軸承，通常無法確定形狀參數(shù)的具體值，但可以根據(jù)以往的生產(chǎn)經(jīng)驗，確定形狀參數(shù)的區(qū)間，因此，也可以用該區(qū)間內(nèi)的均勻分布作為形狀參數(shù)的先驗分布。在得到所有的先驗信息的基礎(chǔ)上，就可以利用試驗數(shù)據(jù)對參數(shù)λ,m進行Bayes估計。

3 參數(shù)λ,m的Bayes估計

由(3)和(4)式得λ,m的先驗聯(lián)合密度分布π(λ,m)為

π(λ,m)=π(λ|m)π(m)=

(5)

在無失效數(shù)據(jù)下，相應(yīng)的似然函數(shù)L(0|λ,m)為[8-9]

(6)

根據(jù)(5)和(6)式得λ,m的后驗聯(lián)合密度函數(shù)h(λ,m|0)為

(7)

由(7)式得到m,λ的后驗邊緣分布h(m|0)，h(λ|0)為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

有了Weibull分布的參數(shù)后，就可以對壽命和可靠度作出估計，即

(13)

(14)

對形狀參數(shù)m服從區(qū)間為[m1,m2]均勻分布的情況，只需將(4)式改為

(15)

將(15)式代替(4)式，進行(5)～(14)式計算，即可得到形狀參數(shù)服從均勻分布情況下軸承壽命的可靠度估計。

4 實例分析

利用文獻[10]中6203軸承定時截尾試驗結(jié)果(表1)對上述方法進行驗證，得到的一組無失效數(shù)據(jù)見表2，表2的截尾時間靠近失效時間。

文獻[10]用最佳線性不變估計(BLIE)、最佳線性無偏估計(BLUE)和最大似然函數(shù)(MLE)3種方法得到估計結(jié)果，見表3。根據(jù)方法1和表2的數(shù)據(jù)，用(4)式作為形狀參數(shù)的先驗分布，先驗信息中超參數(shù)a=0.01,b=1.5時，得到的估計結(jié)果見表3；用方法2，在先驗信息中超參數(shù)a=0.05,b=5, 形狀參數(shù)先驗分布取[0.5,4]區(qū)間的均勻分布，得到的估計結(jié)果見表3。

表1 6203軸承定時截尾試驗數(shù)據(jù)

表2 無失效數(shù)據(jù)的截尾時間

表3 文獻[10]的估計結(jié)果和文中估計結(jié)果的對照

當先驗信息不變，截尾時間分別為表2的0.4，0.6和0.8倍時，2種方法的估計值見表4。

表4 截尾時間按比例變化的Bayes估計結(jié)果

由表4可以看出，隨著截尾時間延長，形狀參數(shù)的變化不明顯，但特征壽命在不斷增加。對于方法2，當截尾時間取表2中的0.5倍，形狀參數(shù)先驗信息的均勻分布區(qū)間伸縮與平移變化時，估計結(jié)果的變化見表5。

由表5可以看出，當形狀參數(shù)的均勻分布區(qū)間伸縮變化時，形狀參數(shù)變化不大，特征壽命的變化較大。當形狀參數(shù)的均勻分布區(qū)間平移變化時，特征壽命變化不大，形狀參數(shù)的變化較大。這說明先驗信息的改變對估計結(jié)果的影響比截尾時間改變帶來的影響更大些。

表5 形狀參數(shù)的均勻分布區(qū)間變化時估計結(jié)果

5 結(jié)論

(1)在無失效數(shù)據(jù)Bayes估計方法中，先驗信息的選取對結(jié)果的影響很大。在先驗信息準確的情況下，可以得到相對準確的估計結(jié)果。

(2)在Bayes估計中，先驗信息的改變對估計結(jié)果的影響更明顯，截尾時間的影響相對較小。

(3)從理論上說，方法1更可靠些，但需要較多的形狀參數(shù)歷史數(shù)據(jù)；方法2則相對簡單易行。因此，具體使用哪種方法需要根據(jù)實際情況而定。

此外，文中提出的方法能否在軸承可靠性估計中推廣使用，還需要更進一步的實踐檢驗，畢竟Bayes法先驗信息的取得在很大程度上是主觀的。