爺爺年齡中的秘密

趙國瑞

在《趣味數(shù)學(xué)大全》上面有這樣一道趣題：小明的年齡乘4，加上65，減去小明年齡的3倍，再加上15，再減去小明的年齡，得到的數(shù)就是爺爺?shù)哪挲g，那么爺爺多少歲？

如果知道小明的年齡，那么我們可以輕松地算出爺爺?shù)哪挲g，然而題目并沒有告訴小明的年齡，這使得我們無從下手.應(yīng)該怎么辦呢？

假定小明還是一個7歲的小學(xué)生，那么爺爺?shù)哪挲g應(yīng)該是7×4+65-7×3+15-7=80（歲）.假定小明已是13歲的初中生，那么爺爺?shù)哪挲g應(yīng)該是13×4+65-13×3+15-13=80（歲）.假定小明是16歲的高中生，那么爺爺?shù)哪挲g應(yīng)該是16×4+65-16×3+15-16=80（歲）.假定小明剛出生，此時他的年齡是1歲（注意：剛出生是1歲，而不是0歲！），仍然可以得出爺爺?shù)哪挲g是80歲！我們干脆一不做，二不休，假定小明是0歲，竟然還可以得出爺爺?shù)哪挲g是80歲！五種情況下所得的結(jié)果竟然完全一樣！

這真是一道怪題！試試看用所學(xué)的整式知識能不能揭穿這道題的怪異之處.假設(shè)小明的年齡是a歲，那么根據(jù)題目的意思，爺爺?shù)哪挲g就是4a+65-3a+15-a=80（歲）.原來爺爺?shù)哪挲g與小明的年齡無關(guān)！

我們把類似上面的問題叫做“無關(guān)”型問題.所謂“無關(guān)”型問題，就是某一整式的值與其所含字母或部分字母無關(guān)的問題.那么怎樣解答這類“無關(guān)”型問題呢？一些同學(xué)不知從何下手，其實很簡單.假設(shè)某一整式的值與字母x無關(guān)，那么無論x取任意值，該整式的值都不變.根據(jù)“0乘任何數(shù)都得0”，于是我們可先合并所有含字母x的項的系數(shù)，然后令字母x的系數(shù)為0即可.

例1 已知2a-b=1，如果6a-nb+2010的值與a的值無關(guān)，你能求出n的值嗎？并求出6a-nb+2013的值.

分析：由于6a-nb+2010的值與a的值無關(guān)，可先根據(jù)已知條件，用含a的式子表示b，然后再將式子6a-nb+2010中的b用含a的式子進(jìn)行代換，最后合并含a的項，令系數(shù)等于0即可.

解：由2a-b=1，得b=2a-1.

將b=2a-1代入6a-nb+2010中，

得6a-nb+2010=6a-n（2a-1）+2010=6a-2na+n+2010=（6-2n）a+n+2010.

由于6a-nb+2010的值與a的值無關(guān)，所以6-2n=0，即n=3.

此時6a-nb+2010的值為3+2010=2013.

則6a-nb+2013=2013+3=2016.

例2 已知：M=-3p2+pq+2p-1，N=4p2-2pq+1，且無論p取何值，4M+3N的值都不變，求q的值.

分析：由題意知4M+3N的值與p無關(guān).所以可先將M=-3p2+pq+2p-1，N=4p2-2pq+1代入4M+3N中，然后再合并含p的項，令系數(shù)等于0即可.

解：因為4M+3N=4（-3p2+pq+2p-1）+3（4p2-2pq+1）=-2pq+8p-1=（-2q+8）p-1.

由題意知4M+3N的值與p無關(guān)，所以-2q+8=0，即q=4.

例3 在學(xué)完合并同類項后，李老師給學(xué)生出了這樣一道題：當(dāng)m=0.35，n=-0.28時，求多項式7m3-6m3n+3m2n+3m3+6m3n-3m2n-10m3-2的值.

題目出完后，同學(xué)們都認(rèn)真進(jìn)行了解答.過了一會兒，小明說：“老師給出的條件m=0.35，n=-0.28是多余的.沒有這個條件，也能求出多項式的值.”小強馬上反對說：“這不可能，多項式中含有m和n，不給出m、n的值怎么能求出多項式的值呢？”

兩人爭論不休，都認(rèn)為自己的觀點是對的.你同意哪位同學(xué)的觀點？請說明理由.

分析：要看哪位同學(xué)說得有道理，關(guān)鍵是看多項式的值是否與m、n有關(guān)，這只需要看含有m和n的項的系數(shù)合并后是否都等于0.

解：因為7m3-6m3n+3m2n+3m3+6m3n-3m2n-10m3-2=（7+3-10）m3+（-6+6）m3n+（3-3）m2n-2=-2.

可見含字母m和n的項都已消去，即這個多項式的值與m、n無關(guān).

事實上，無論m、n的值等于多少，多項式的值都不變，恒等于-2.

所以小明的觀點正確.

例4 “藍(lán)星電腦”店有A型電腦和B型電腦共120臺，A型電腦每臺4000元，B型電腦每臺2520元.我市諸葛亮中學(xué)購買了全部B型電腦和部分A型電腦.經(jīng)過核算后發(fā)現(xiàn)應(yīng)付款的總數(shù)與A型電腦的數(shù)目無關(guān).則購買部分A型電腦數(shù)是A型電腦總數(shù)的百分之幾？各買了A型電腦和B型電腦多少臺？

分析：可設(shè)“藍(lán)星電腦”店有A型電腦x臺，諸葛亮中學(xué)購買了A型電腦總數(shù)的a%，可先表示出付款總數(shù).由于付款總數(shù)與A型電腦的數(shù)目無關(guān)，因此x的系數(shù)必然等于0.

解：設(shè)“藍(lán)星電腦”店有A型電腦x臺，則有B型電腦（120-x）臺，諸葛亮中學(xué)購買了A型電腦總數(shù)的a%，則應(yīng)付總款為4000·x·a%+2520（120-x）=302400+（40a-2520）x.

∵總付款與x無關(guān)，即x的系數(shù)應(yīng)為0，

所以40a-2520=0，解得a=63，即諸葛亮中學(xué)購買了A型電腦總數(shù)的63%.

因為63% x為整數(shù)且0

120-x=120-100=20.

所以諸葛亮中學(xué)購買了A型電腦總數(shù)的63%，買了A型電腦63臺，B型電腦20臺.

練習(xí)：

1.已知：A=2x2+3xy-2x-1，B=-x2+xy-1，且3A+6B的值與x無關(guān)，求y的值.

2.非洲某國王為了獲得貧窮老百姓的支持，決定施舍國民中的每個男人2美元，每個女人1.4美元.某村里共有成年人口3000人，兒童忽略不計，國王施舍的時候，有部分男人外出打獵去了，假設(shè)國王施舍錢的總數(shù)與村莊里的男人數(shù)無關(guān)，那么外出打獵的男人占村莊里男人的百分之幾？國王一共施舍了多少錢？

參考答案：

1. 0.4.

2.外出打獵的男人數(shù)占村莊里男人總數(shù)的30%，國王一共施舍了4200美元.