宋傳峰，秘金鐘，黨亞民，薛樹強

（中國測繪科學研究院，北京 100830）

1 引言

隨著GEO （Geostationary Earth orbit）與IGSO （Inclined Geo Synchronous orbit）衛(wèi)星在導航定位領(lǐng)域中的應(yīng)用，對其軌道的精度要求越來越高［1］。利用數(shù)值算法積分衛(wèi)星軌道是人造衛(wèi)星軌道預(yù)報與精密定軌中的基礎(chǔ)工作［2］。由于二體問題可以直接得出衛(wèi)星位置、速度和加速度的解析解，因此本文避開復(fù)雜的攝動力計算，在二體意義下分別對GEO和IGSO衛(wèi)星進行了軌道數(shù)值積分，并與其理論值進行了分析比較，得出了有益結(jié)論。若考慮攝動力，則不便于結(jié)果比較。

目前，在MEO定軌中使用的積分方法有RKF與Admas預(yù)測－校正系統(tǒng)結(jié)合的方法 （如Gamit軟件），Collocation方法 （如Bernese軟件）等。本文驗證了RKF與Admas預(yù)測－校正系統(tǒng)結(jié)合的方法在GEO與IGSO衛(wèi)星軌道積分時的適用性。

2 數(shù)值積分方法

2.1 變步長RKF7（8）階單步積分法

Runge－Kutta－fehlberg方法 （RKF）是一種嵌套的RK方法，即同時給出n階和n＋1階兩組RK計算公式，用兩組公式計算出來的xi＋1之差來估計截斷誤差，根據(jù)截斷誤差的大小來控制步長［3］。以下給出7階和8階的RKF公式

截斷誤差

式中，h為積分步長，ck，βkλ為積分算法的系數(shù)。

2.2 定步長Adams線性多步積分法

在衛(wèi)星運動方程的數(shù)值積分中，單步法只是用于多步法的起步算法，當采用單步法推出足夠的步點后，就可采用高精度的多步法往前推算［3］。本文使用變步長的RKF7（8）階積分法積分10步后，再使用定步長的10階Adams預(yù)測－校正系統(tǒng)進行積分。以下給出顯式的Adams－Bashforth公式和隱式的Adams－Moulton公式。

顯式

隱式

3 GEO與IGSO衛(wèi)星二體問題

3.1 GEO衛(wèi)星二體問題

在二體意義下，GEO地球同步靜止軌道衛(wèi)星在地心地固坐標系中的坐標為一固定值，但軌道積分是在慣性坐標系下進行的，因此需要計算二體問題下地固坐標系與慣性坐標系間的相互轉(zhuǎn)換矩陣。

假設(shè)積分初始時刻t0（s），兩坐標系坐標軸完全重合，則任意t（s）時刻，地固系向慣性系轉(zhuǎn)換的矩陣為

在慣性系下，GEO衛(wèi)星繞Z軸旋轉(zhuǎn)的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相等，因此易得下式

慣性系下GEO衛(wèi)星在X－Y平面內(nèi)運動，即Z≡0，由此可得：

式中，X、Y、Z表示衛(wèi)星在慣性系下的坐標。

在二體意義下，GEO衛(wèi)星的軌跡為圓，且其在地固坐標系下的速度為0，因此給定初始坐標可得任意時刻GEO衛(wèi)星在地固和慣性坐標系下的位置、速度和加速度。

3.2 IGSO衛(wèi)星二體問題

IGSO衛(wèi)星軌道是特殊的地球同步圓軌道，軌道高度跟GEO一樣，均屬于地球同步軌道［4］。由于IGSO衛(wèi)星軌道在慣性系下也是圓軌道，因此可看做由GEO衛(wèi)星軌道繞X或Y軸或X－Y平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)i角，i為IGSO衛(wèi)星軌道傾角，本文中按繞X軸旋轉(zhuǎn)i角計算。

若t0時刻，IGSO衛(wèi)星在其軌道直角坐標系（慣性系繞X軸旋轉(zhuǎn)i角）下坐標為（，，0）T，速度為（－ωe，ωe，0）T，則t時刻其在軌道直角坐標系中坐標為（X＊，Y＊，0）T＝Rz（α），，0）T，速度為（－ωeY＊，ωeX＊，0）T。ωe，α與3.1節(jié)的意義相同。

t時刻IGSO衛(wèi)星在地心慣性坐標系下位置和速度：

式中，X、Y、Z、VX、VY、VZ為衛(wèi)星在慣性坐標系下位置和速度，i表示軌道傾角，X＊、Y＊為衛(wèi)星在軌道直角坐標系下平面坐標。

將慣性系下位置左乘矩陣RT，R同式 （6），即可得地固系下衛(wèi)星位置，再轉(zhuǎn)成大地坐標系 （B，L，H）即可得IGSO衛(wèi)星的星下點軌跡，圖1為經(jīng)度為45°，傾角為10°和30°的IGSO衛(wèi)星星下點軌跡 （二體意義下）。

4 算例分析與比較

對不同經(jīng)度的GEO衛(wèi)星、不同經(jīng)度和傾角的IGSO衛(wèi)星，先使用變步長的RKF7（8）階積分法積分10步，截斷誤差設(shè)定為10－12，再使用定步長75s的10階Adams預(yù)測－校正系統(tǒng)進行積分48h（2圈），每隔15min輸出一組結(jié)果。不同經(jīng)度的GEO衛(wèi)星在地心地固坐標系下的積分初值見表1，其速度均為0；不同經(jīng)度和傾角的IGSO衛(wèi)星在慣性坐標系下的積分初值見表2。

圖1 IGSO衛(wèi)星星下點軌跡 （二體意義）

表1 GEO衛(wèi)星積分初值

表2 IGSO衛(wèi)星積分初值

由于篇幅原因，僅給出了Y方向差異的統(tǒng)計信息和經(jīng)度為30°的GEO衛(wèi)星差異變化圖。圖2是經(jīng)度為30°的GEO衛(wèi)星軌道數(shù)值積分結(jié)果與二體意義下結(jié)果在地心地固坐標系下的差異，歷元間隔為15分鐘，表3是GEO衛(wèi)星軌道積分結(jié)果與真值 （二體意義）在地固系下Y方向差異的統(tǒng)計信息。

圖2 GEO衛(wèi)星軌道數(shù)值積分差異

表3 GEO衛(wèi)星軌道數(shù)值積分Y方向差異統(tǒng)計信息

由于篇幅原因，僅給出了X方向差異的統(tǒng)計信息和經(jīng)度為45°傾角為30°的IGSO衛(wèi)星差異變化圖。圖3是經(jīng)度為45°傾角為30°的IGSO衛(wèi)星軌道數(shù)值積分結(jié)果與二體意義下結(jié)果在地心地固坐標系下的差異，歷元間隔為15min，表4是IGSO衛(wèi)星軌道積分結(jié)果與真值 （二體意義）在地固系下X方向差異的統(tǒng)計信息。

表4 IGSO衛(wèi)星軌道數(shù)值積分X方向差異統(tǒng)計信息

圖3 IGSO衛(wèi)星軌道數(shù)值積分差異

5 結(jié)論

由以上圖表可以得出，二體意義下GEO、IGSO衛(wèi)星軌道數(shù)值積分結(jié)果與真值相差甚小，均在亞毫米級或以內(nèi)，與現(xiàn)有精密定軌精度相比可以忽略，適當減小積分步長可獲得更小的理論值差異，但這將明顯增加計算耗時。結(jié)果表明對MEO（如GPS）衛(wèi)星適用的軌道數(shù)值積分方法對GEO和IGSO衛(wèi)星也同樣適用。

本文僅在二體意義下驗證了數(shù)值積分方法的適用性，現(xiàn)實中導航衛(wèi)星攝動力復(fù)雜多變，因此建立合適的力學模型再結(jié)合數(shù)值積分方法進行軌道積分是統(tǒng)計定軌中的重要步驟。

［1］劉吉華，歐吉坤，鐘世民，等.GEO與IGSO衛(wèi)星星間差分的精密定軌［C］//中國衛(wèi)星導航學術(shù)年會組委會.第一屆中國衛(wèi)星導航學術(shù)年會文集.北京：出版社不詳，2010：1－7.

［2］李得海，袁運斌，歐吉坤，等.12階Runge－kutta2次算法的衛(wèi)星軌道積分研究［J］.武漢大學學報：信息科學版，2010，35（11）：1335－1338.

［3］趙齊樂.GPS導航星座及低軌衛(wèi)星的精密定軌理論和軟件研究［D］.武漢：武漢大學，2004.

［4］楊 洋，范 麗，董緒榮.IGSO星座分析與優(yōu)化設(shè)計［J］.兵工自動化，2008，27（11）：53－55.

［5］ES－HAGH M.Step Variable Numerical Orbit Integration of a Low Earth Orbiting Satellite［J］.Journal of the Earth ＆Space Physics，2005，31（1）：1－12.

［6］XU Guo－chang.GPS Theory Algorithms and Applications［M］.Berlin：Springer－Verlag，2003.

［7］IERS Convention Centre.IERS Conventions：2010［M］.Frankfurt am Main：Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geod?sie，2010.

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